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4.2.3.2 超几何分布
第四章
1.理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，这两种方式中随机变量X服从二项分布吗？
1.有放回抽样
2.不放回抽样
每次抽到次品的概率为 0.08，且各次抽样的结果相互独立，
此时 X 服从二项分布，即 X～B(4，0.08).
每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布.
探究：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件时. 抽取的4件产品中次品数X的分布列.
由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4. 从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.
2 3 4
其中4件产品中恰有件次品的结果数为.
由古典概型的知识，得的分布列为
计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示.
可以根据古典概型求的分布列
超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M产品共有N件
抽取的n件
M件甲类
N-M件乙类
取k件甲类
取n-k件乙类
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M则X称为服从参数N，n，M的超几何分布，记作
(其中 )
X~H(N，n，M).
二项分布、超几何分布有什么区别和联系？
超几何分布 二项分布
试验类型 抽样 抽样
试验种数 有 种物品 有 种结果
总体容量 个 个
随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算
联系 不放回
放回
两
两
有限
无限
古典概型
独立重复试验
（当总体容量很大时）
超几何分布可近似看做二项分布
例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题
(3)(4)符合超几何分布的特征，是超几何分布
(5)没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
归纳总结
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点:
例2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列 .
解：依题意随机变量X服从超几何分布，∴P(X=k)=(k=0，1，2，3，4).
∴P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，P(X=4)==，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
变式：某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出5人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列 .
解：由题意得P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)，
∴P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，
P(X=4)==，P(X=5)==.
故X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
归纳总结
(1)辨模型：结合实际情景分析所求分布列的问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
(2)算概率：可以直接借助公式P(X=k)=求解，也可以利用排列组合
及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.
(3)列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来.
超几何分布的求解步骤:
例3 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( )
A.都不是一等品 B.恰有1件一等品
C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品
解析：设抽取的2个产品中一等品数为，则服从超几何分布X~H(5，2，3).
的分布列为
A：都不是一等品的概率为
B：恰有1件一等品的概率为
C：至少有1件一等品的概率为
D：至多有1件一等品的概率为
根据本节课所学回答下列问题：
1.超几何分布X~H(N，n，M)中各参数表示什么意义？
2.求超几何分布列的步骤是什么？
3.二项分布和超几何分布有什么区别和联系？
1. (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A.在10件产品中有3件次品，依次不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
ABD
2.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A. B.
C.1- D.
C
3.某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社
科类校本课程为X门，则下列概率中等于的是( )
A.P(X≤3) B.P(X=3)
C.P(X≤5) D.P(X=5)
4.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A. B. C. 　 D.
D
C

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