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4.2.4.1 离散型随机变量的均值
第四章
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望(均值).
2.掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值.
3.掌握离散型随机变量的数学期望(均值)的性质，能用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题.
某人射击10次，射中的环数分别是： 7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
则他射中的平均环数是多少？
算术平均数
加权平均数
权数
甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
思考
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，.
甲次射箭射中的平均环数为.
当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
假设乙射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，.
甲次射箭射中的平均环数为.
当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65，
这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
上述两个平均值的计算有什么共性？
稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
权数恰好是随机变量
X取相应值得概率
权数
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
离散型随机变量的均值
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
则称
为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
说明：离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值.
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
解：X的可能取值为1，2，3，4，
则P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，
P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，
P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024.
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
∴在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
归纳总结
求离散型随机变量 X 的均值的步骤:
思考：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).
解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下
X 1 0
P p 1-p
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p.
常见分布的均值
名称 两点分布 二项分布 X~B(n，p) 超几何分布
X~H(N，n，M)
公式 E(X)=p
E(X)=np
思考：若X，Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？
例2 已知随机变量的分布列如下表所示，若，则 等于( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
D
解析：依题意可得 ，
∴ .故选D.
例3 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，
并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题的完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可过关．
(1)记甲抽取的3道题中，甲答对的题数为，求 的分布列和期望；
(2)记乙答对的题数为，求 的分布列和期望．
解：(1)由题意得的取值范围为，2， ，
则，，，
∴ 的分布列为
方法一： .
方法二： .
1 2 3
(2)由题意得，则, ，1，2，3，
∴， ，
，,
∴ 的分布列为
0 1 2 3
方法一： .
方法二： .
根据今天所学，回答下列问题：
1.求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？
2.离散型随机变量的均值有什么性质？
1.已知随机变量的分布列如下表所示，则 ( )
A
1 2 3
A. B.2 C. D.3
2.设随机变量，则 ( )
A.0.6 B.1.2 C.2.2 D.3.2
C
3.设口袋中有大小、形状完全相同的黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为 ，则口袋中白球的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.2
4.已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为( )
A.1.2 B.5 C.1 D.31
A
C

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