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4.2.4.2 离散型随机变量的方差
第四章
1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.掌握二项分布的方差.
3.掌握离散型随机变量的方差的性质.
1.离散型随机变量的数学期望
2.数学期望的性质
4.样本方差
3.特殊分布----两点分布的均值
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
若随机变量X服从两点分布，则
设在一组数据，
是数据的平均数，那么
叫做这组数据的方差.
某省要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.如果从平均水平和发挥稳定性角度考虑，要你来决定谁参加全运会 你会怎样决定？说明理由.
思考
甲的环数X1 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
乙的环数X2 8 9 10
P 0.4 0.2 0.4
计算得到E(X1)=E(X2)=9.
即如果仅从平均水平角度考虑，是不能决定选谁参加的.
怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？
设甲、乙两人每人都重复射击足够多次(设为n次)，则甲所得环数可估计为
8，8，…，8， 9 ，9，…，9 ， 10 ，10，…，10.

0.2n个

0.6n个

0.2n个
甲这组数的方差为
类似的，乙这组数的方差为
由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，应该派甲参加全运会.
离散型随机变量的方差
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则
这称为离散型随机变量X的方差.
随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
说明：称为离散型随机变量X的标准差.
更进一步，如果将甲、乙射击环数的分布列用直观地表示，如图所示，则从图上也可看出D(X1)与D(X2)的相对大小.
例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， ，在前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、期望和方差.
解：依题意知， 的取值范围为 ，
则，，
，
例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， ，在前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、期望和方差.
0 1 2
故 ，
.
归纳总结
求离散型随机变量方差的步骤：
(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值；
(2)求出 X 取每个值的概率；
(3)写出 X 的分布列；
(4)计算E(X)；
(5)计算D(X)．
名称 两点分布 二项分布
X~B(n，p)
公式 D(X)=p(1-p) E(X)=np(1-p)
常见分布的方差
思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
性质：
与无关
D(X+b) =
D(aX) =
D(aX+b) =
加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)= D(X)
乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=a2D(X)
例2 已知的分布列如表所示：
(1)求的分布列；
(2)计算的方差；
(3)若，求的均值和方差.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
例2 已知的分布列如表所示：
(3)若，求的均值和方差.
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求离散型随机变量的方差？
2.两点分布、二项分布的均值分别是什么？
3.离散型随机变量方差有怎样的性质？
1.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为 ( )
D
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A.3.56 B. C.3.2 D.
2.随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，若 P(X ＝0)＝， E(X )＝1，则
D(X )＝ ( )
A. B. C. D.
B
3.(多选)已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则下列说法正确的是( )
A.E(Y)＝2 B.E(Y)＝6
C.D(Y)＝2.4 D.D(Y)＝5.6
4.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
AC
1.96

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