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4.2.5.2 正态分布
第四章
1.了解标准正态分布与正态分布的关系.
2.了解3σ原则，会用正态分布以及标准正态分布解决实际问题.
正态曲线的解析式：
如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)
与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ 和σ的正态分布，记作
X~N(μ ，σ2 ).
x
φμ，σ(x)
μ
a
b
正态分布
其中μ=E(X)， ，σ2=D(X)
此时 称为X的概率密度函数.
μ =0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0 ，1 ).
标准正态分布：
x
φ(x)
O
1
2
3
-1
-2
-3
如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X＜a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积.
思考：Y~N(μ，σ2)与X~N(0，1)之间有怎样的关系？
令
即Y~N(μ，σ2)
X~N(0，1)
若Y~N(μ，σ2)，则
结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
令
此时
例1 若X~N(μ，σ2)，说说下列概率大小为多少？(1)P(X≤μ)； (2)P(|X-μ|≤σ)；
(3)P(|X-μ|≤2σ)； (4)P(|X-μ|≤3σ).
解：(1)P(X≤μ)= P(X≥μ)=50%.
(2)P(|X-μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ) ≈68.27％.
(3)P(|X-μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈95.45％.
(4)P(|X-μ|≤3σ)= P(μ-3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈99.73％.
正态分布的“3σ原则”：
在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取
[μ－3σ ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么：
P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5，
P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.27％，
P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.45％，
P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.73％.
说明：解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格. 判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格.　
例2 某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm) X~N(10, 0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为 9.52 cm 和 9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
例2 某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm) X~N(10, 0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为 9.52 cm 和 9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
解：∵正态变量在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率是99.7%，
∴认为尺寸落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]外的零件是非正常状态下生产的，
∵X～N(10，0.22)，∴μ＋3σ＝10.6，μ－3σ＝9.4，
∵9.52∈[9.4, 10.6]，9.98∈[9.4, 10.6]，
∴该厂这一天的生产状况是正常的.
由对称性可知，且
例3 如图是正态分布 所对应的正态曲线，下面4个式子中能表示图中阴影部分面积的个数为 ( )
；
；
；
.
A.1 B.2 C.3 D.4
，
，
C
根据本节课所学，回答下列问题：
1.正态分布的均值和方差如何表示？
2.什么是正态分布的“3σ原则”？
3.如何将一般的正态分布转化为标准正态？
1.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)
A.4.56% B.13.55% C.27.18% D.31.74%
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
3.已知X～N(0，1)，且Φ(0.36)＝0.640 6，则Φ(－0.36)＝________.
B
C
0.359 4

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