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4.3.1.1 相关关系与回归直线方程
第四章
1.结合实例，了解两个变量之间的相关关系的含义，知道线性相关关系及正相关、负相关、散点图等概念.
2.结合具体实例，了解一元线性回归模型的概念及最小二乘法原理，掌握回归直线方程的求法.
3.会用回归模型对实际问题进行预测.
“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆.但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗
为了研究两个变量之间的关系，我们通常借助图象来探究.
案例 某校高二(1)班同学为检验“个子高的人，体重一定也重”这句话的准确程度，随机从本班同学中抽取了12名学生，测量出他们的身高与体重，得到下表所示数据：
人物编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
身高Hi/cm 159 160 161 162 164 165 166 168 168 170 171 172
体重Wi/kg 52 52 53 54.5 54 54.5 55 56 57 57 58 57
以身高的取值为横坐标，以体重的取值为纵坐标，建立直角坐标系，则每对数据(Hi，Wi)都可在直角坐标系中用一个点Pi(i=1，2，…，12)来表示. 这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图.
散点图直观地描述了变量之间的关系形态.
如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为相关关系.
如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则称它们线性相关，这实际上就是函数关系.
如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关.
如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.
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y
x
o
正相关
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y
x
o
负相关
由散点图可以直观地看出，学生的体重随身高的增加而增加，并且这些散点大致在一条直线附近. 也就是说，从大体上看，学生的身高与体重之间具有相关关系.
找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系. 这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程. 有了回归直线方程，就可以由一些变量的值去估计或预测另一些变量的值.
某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据
第x年 1 2 3 4 5 6 7
污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
(1)作出这些成对数据的散点图，则污染指数y与x是否线性相关？如果是，判断是正相关还是负相关.
y与x是具有线性相关关系，且为负相关.
（2）如何找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式？
例如：过点(1，6)和(7，3)，得 y=-0.5x+6.5.
y=-0.5x+6.5是最好的直线吗？衡量标准是什么呢？
过点(1，6)和(6，3.4)，得
y=-0.54x+6.52.
......
第x年 1 2 3 4 5 6 7
污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
预测值-0.5x+6.5
误差(残差)
6
5.5
4.5
5
4
3
0.1
-0.3
-0.5
0.2
-0.2
-0.1
0.1
3.5
由函数表达式y=-0.5x+6.5可得下表：
“最好”的直线
误差平方和最小.
取得最小值，
则 称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).
一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值
最小二乘法.
方法
如果一次函数 能使残差平方和即
最小二乘法确定回归直线方程
给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程 总是存在的，
其中称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率.
而且
例1 下列关系中，属于相关关系的是 .（填序号）
①圆的半径与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
②④
例2 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格，记 x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这 x 个分店的年收入之和.
x/个 2 3 4 5 6
y/百万元 2.5 3 4 4.5 6
(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型来拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 ＝ x ＋ ；
(2)假设该公司在A区获得的总年利润 z （单位：百万元）与 x ， y 之间的关系为 z ＝ y －0.05 x2－1.4，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.
参考公式： ＝ x ＋ ， ＝ ＝ ， ＝ － .
x/个 2 3 4 5 6
y/百万元 2.5 3 4 4.5 6
解：(1)由表中数据得 ＝4， ＝4，
xiyi ＝88.5， ＝90.
∴ ＝ ＝ ＝0.85，
＝ － ＝4－4×0.85＝0.6，
故 y 关于 x 的线性回归方程为 ＝0.85 x ＋0.6.
x/个 2 3 4 5 6
y/百万元 2.5 3 4 4.5 6
(2)由题意可知总年利润 z 的估计值 与 x 之间的关系为 ＝－0.05 x2＋0.85 x －0.8.
设A区平均每个分店的年利润为 t ，则 t ＝ ，
故 t 的估计值 与 x 之间的关系为
＝－0.05 x － ＋0.85＝－0.01 ＋0.85，
则当 x ＝4时， 取得最大值，
故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.
(1)画出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．(2)计算 等相关数据．(3)代入公式求出 中参数 的值．(4)写出回归方程并对实际问题作出估计．
求线性回归方程的步骤：
归纳总结
根据本节课所学，回答下列问题：
1.线性相关关系可以分为哪几类？
2.用什么方法求回归直线方程中，，公式是什么？
3.求回归直线方程的步骤是什么？
1.(多选)有关线性回归的说法，正确的是( )
A.相关关系的两个变量是一种不确定关系
B.散点图能直接反映数据的相关程度
C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D.任意一组数据都有回归方程
ABC
2.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图1；对变量u，v观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定( )
A.x与y正相关，u与v正相关
B.x与y正相关，u与v负相关
C.x与y负相关，u与v正相关
D.x与y负相关，u与v负相关
C
3.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是_________________.
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5

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