资源简介

(共19张PPT)
4.3.2 独立性检验
第四章
1.了解2×2列联表、随机变量χ2的意义.
2.理解独立性检验中P(χ2≥k)的具体含义.
3.掌握独立性检验的方法和步骤，并能解决实际问题.
有关医学研究表明，心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等多种疾病都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.为此，世界卫生组织规定每年5月31日为世界无烟日.那么这些疾病与吸烟有怎样的关系呢？
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了100人，得到如下结果（单位：人）
患肺癌 未患肺癌 总计
吸烟 39 15 54
不吸烟 21 25 46
总计 60 40 100
那么吸烟是否对患肺癌有影响？
这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表
72.22%
①初步估计：
在不吸烟者中患肺癌的比重是
在吸烟者中患肺癌的比重是
45.65%
结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异.
问题：有多大把握认为吸烟和患肺癌有关？
患肺癌 未患肺癌 总计
吸烟 39 15 54
不吸烟 21 25 46
总计 60 40 100
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”为此先假设：
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
患肺癌 未患肺癌 总计
吸烟 a b a+b
不吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d n=a+b+c+d
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌相互独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
A
B
在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生
的频数.由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有：
P(AB)=pAB==0.39，P(B)=pB==0.21，P(A)=pA==0.15，P()=p==0.25，
P(A)=pA==0.54，P()=p==0.46，P(B)=pB==0.6，P()=p==0.4，
患肺癌 未患肺癌 总计
吸烟 a b a+b
不吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d n=a+b+c+d
A
B
因为假设X，Y独立，所以μAB=|pAB-pApB|，μB=|pB-ppB|，μA=|pA-pAp|，μ=|p-pp|都相应比较小，用表示μAB，μB，μA，μ的总体大小，记
当的取值较小 时，表示假设H0成立，当的取值较大时，表示假设H0不成立.
经计算
这个取值是较大还是较小？
患肺癌 未患肺癌 总计
吸烟 39 15 54
不吸烟 21 25 46
总计 60 40 100
统计学家已经有明确的结论：如果2×2列联表中的两个分类变量X，Y是独立的，即在H0成立的情况下，且当随机调查的数据a，b，c，d都不小于5时，随机事件“χ2≥6.635”发生的概率约为0.01，即P(χ2≥6.635)≈0.01，
也就是说，在H0成立的情况下， χ2的观测值大于或等于6.635的概率非常小，近似于0.01. 即在H0成立的情况下，观测值超过6.635的概率不大于0.01.
7.307＞6.635，所以我们有[1-P(χ2≥6.635)]×100%=99%的把握认为H0不，即认为吸烟与患肺癌之间有关系.
上面这种利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.
独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：
（1）零假设 提出零假设X和Y相互独立，并给出在实际问题中的解释.
（2）计算χ 2 根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值χ2 .
（3）作比较 查临界值表确定临界值x0，然后作出判断.
常用显著性水平α以及对应的分位数k如下表.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
常用显著性水平α以及对应的分位数k如下表.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
①当≥时，我们就推断 H0 不成立，即认为X和Y不独立.
②当<时，我们没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为X和Y独立.
该推断犯错误的概率不超过
例1 近年电子商务蓬勃发展，某年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1 682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.
对快递满意 对快递不满意 总计
对商品满意 80
对商品不满意
总计 200
解：2×2列联表:
由于1.59<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.
对快递满意 对快递不满意 总计
对商品满意 80 60 140
对商品不满意 40 20 60
总计 120 80 200
例2 为了考察某种新疫苗预防疾病的作用，科学家对动物进行试验，所得数据(单位：只)如下表所示.
发 病 没发病 合 计
接种疫苗 8 15 23
没接种疫苗 18 9 27
合 计 26 24 50
能否作出接种疫苗与预防疾病有关的结论？
解: 提出统计假设H0：接种疫苗与预防疾病无关.
由于5.024＜5.059＜6.635，查临界值表可知，我们至少有97.5%的把握认为接种疫苗与预防疾病有关，即疫苗有效.
发 病 没发病 合 计
接种疫苗 8 15 23
没接种疫苗 18 9 27
合 计 26 24 50
1.为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，用什么方法最有说服力( )
A.平均数 B.方差
C.回归分析 D.独立性检验
2.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2=4.013，则有 的把握认为两个变量有关系.
D
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
95%
3.为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效 有效 总计
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
总计 21 79 100
则统计量χ2≈　　　　(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为　　　.
4.882
5%

展开更多......

收起↑