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第九章 解三角形
9.1.1 正弦定理
9.1 正弦定理与余弦定理
如图所示，若想知道河对岸一点与岸边一点之间的距离，而且已经测量出了的长，也想办法得到了与的大小，能借助这3个量求出的长吗
问题可转化为:在△ABC中，已知，B，，求.
B
C
a
c
C
B
正弦定理的证明
A
B
C
b
a
c
sinA=，sinB=
A
B
C
b
a
c
A
B
C
b
a
c
D
AD=csinB=bsinC
D
AD=csin(π-B)=bsinC
csinB=bsinC





①在锐角△ABC中，如图1，连接BO并延长，交外接圆于点A′，
连接A′C，
则圆周角A′＝A.
∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，
②若∠A为直角(如图2所示)，
在Rt△BAC中，可直接得a＝2Rsin A；
③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，
则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，
BC＝A′Bsin A′＝2Rsin(π－A)＝2Rsin A，
即a＝2Rsin A.
题型一：已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.
题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形.
∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
引申探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
题型三：三角形形状的判断
求证：△ABC为等腰直角三角形.
∴a2＝b2即a＝b，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴△ABC为等腰直角三角形.
例4 在△ABC中，证明下列各式：
(1)(a2-b2-c2)tan A+(a2-b2+c2)tan B=0. (2).
证明 (1)左边=-2bccosAtanA+2accosBtanB
=2acsinB-2bcsinA
=2c(asinB-bsinA)
=0=右边.
题型四：与正弦定理有关的证明问题
(2)左边=
=
=
1.在△ABC中，若sin A＝sin C，
则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解析】由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
【答案】B
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边.若b+a(sin C-cos C)=0，则A=（ ）
【解析】由正弦定理得
sin B+sin A(sin C-cos C)=0，
sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0，
所以(cos A+sin A)sin C=0，
又sin C≠0，所以cos A+sin A=0，
所以tan A=-1，又因为A∈(0，π)，所以A= . 【答案】 C
定理形式
定理证明
综合应用
角为正弦，比例形式
转化为直角三角形、向量法、构造外接圆
边角互化

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