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第九章 解三角形
9.1.2 余弦定理
9.1 正弦定理与余弦定理
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.
2.能解决一些简单的三角形度量问题.
1.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角
的余弦的积的____.即
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
平方的和
2倍
2.变形公式
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
cos A= ;
cos B= ;
cos C= .
【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b= ,C= ,则c= (　　) 　
A.1 B.2 C.3 D.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.
【思维导引】1.利用余弦定理计算.
2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.
探究点一　利用余弦定理计算边长
【解析】1.选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+3-2×2× cos =13,
所以c= .
2.由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,
且A+B+C=π,可得B= .
AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,
得AD=
在△ABD中,因为AB2+AD2 =BD2,
所以∠BAD= ,∠ADB= .
利用余弦定理计算的注意事项
1.如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.
2.注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.
探究点二　利用余弦定理计算角
【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值
为 (　　)
2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A.
(2)若 a+b=2c,求sin C.
【思维导引】1.设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理计算.
2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再计算A.
(2)利用正弦定理将三边的等式转化为三角函数关系式,利用整体角代换法
及和差角的正弦公式计算sin C=
【解析】1.选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,
依题意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为
cos A=
2.(1)由(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C
得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A=
因为0°(2)由(1)知B=120°-C,由 a+b=2c及正弦定理得 sin A+sin(120°－C)
=2sin C,即 cos C+ sin C=2sin C,
可得 sin C-cos C= ,即
所以cos(C+60°)= - .
由于0°故sin C=sin(C+60°－60°)
=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin 60°=
由余弦定理求角的方法技巧
1.如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形
公式计算.
2.由余弦定理的变形公式cos C= ,容易得到下列常用的结论:
C=90° c2=a2+b2,C<90° c290° c2>a2+b2.
提醒:若C是三角形的最大的角,则C≥60°,若C是三角形的最小的角,
则C≤60°.
探究点三　由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状
为 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到 =1,且c为最大的边,通过不等式的性
质转化为 >1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
【解析】选A.依题意知c边最大.因为a3+b3=c3,
所以 =1,所以0 < <1,0 < <1,
所以
所以 >1,
即a2+b2-c2>0,cos C= >0,
所以0< C< ,所以△ABC为锐角三角形.
判断三角形形状的方法技巧
判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:
(1)一个方向是转化为角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理进行边化角.
(2)另一个方向是转化为边,走代数变形之路,通常是正弦定理、余弦定理结合使用.
1.在△ABC中, 三边长a,b,c的对角分别为A,B,C,已知a=2,b=3,cos C= ,
则c的值为 (　　) 　
A.2 B.3 C. D.
【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3× =9,所以c=3.
2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值 (　　)
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
【解析】选C.cos B=
所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.
3.已知三角形的三边长度分别为6,3 ,3 ,则三角形的最大内角的度数
为 (　　)
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】选C.因为三角形的三边长度6,3 ,3 中,3 是最大的边,
则三角形的最大内角θ满足cos θ=
所以θ=135°.
4.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根,
则边BC=________.
【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+8=0
的两个正实数根,
则AB+AC=9,AB×AC=8,所以BC2=AB2+AC2-2×AC×AB×cos A=
(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cos A)=92-2×8× =57.所以BC= .
答案:

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