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(共28张PPT)
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
1.利用正弦定理、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.
2.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度测量的问题.
3.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题.
蜂窝是大自然最奇妙的建筑之一,它排列形状极有规则,所有的蜂窝都是六边形.六边形像三角形一样有稳定性,因而蜜蜂在建窝时为了使其更稳定,便建成六边形.更使人惊讶的是法国科学家马拉尔的发现,马拉尔通过对蜂窝的多年研究,发现所有蜂窝的钝角都是109°28',所有的锐角都是70°32'.这不能不说是蜜蜂建筑的奇迹.那么当你研究蜂窝的特征时,需要什么数学知识呢
知识点一:测量中的基本术语
名称 定义 图示
基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线
仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫做仰角
俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫做俯角
名称 定义 图示
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角叫做方向角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)
南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)
名称 定义 图示
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角叫做方位角
视角 观察物体的两端视线张开的角度,叫做视角
在点A处观察一物体的视角为50°
名称 定义 图示
坡角 坡面与水平面的夹角.如图中的角α
坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比.如图中的
知识点二:解三角形应用题
1.解题思路
2.基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下:
①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);
②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;
④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
3.主要类型
探究一 测量高度问题
例1如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.
求高度(距离)问题应注意的两点
(1)根据题意,如果没有图形,先画出示意图,然后选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都有可能,则选择更便于计算的定理.当题目中出现互补(余)的角时,注意补角(余角)之间的关系.
探究二 测量角度问题
例2 如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30°,相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援
解:如图所示,连接CB.
在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 120°.
又AC=10,AB=20,得
又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°.
作CM⊥BA,交BA的延长线于点M,
则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.
解答角度问题的解决策略
解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.
探究三 正弦定理、余弦定理在力学中的应用
例3 如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12 N的灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大小.
解答力学问题的解决策略
解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡的关系,准确进行受力分解.
答案: B
2.(2020天津一中高一期末)雕塑是大学校园不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,
∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高
度为(　　)(最后结果精确到0.1米,参考数
据:sin 70.5°≈0.943,cos 70.5°≈0.334,
tan 70.5°≈2.824)
A.4.0米 B.4.2米 C.4.3米 D.4.4米
答案: B
3.一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向,经过40分钟后,测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向,则灯塔和轮船原来的距离是　　　海里.
解析:如图所示:M为灯塔,C为轮船,
∠MBC=180°-75°-30°=75°,
4.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以a n mile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是 a n mile/h,则甲船应沿着　　 方向前进,才能最快与乙船相遇
答案: 北偏东30°
解析:如图,设经过t h两船在点C相遇,
因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
5.要测量对岸两点A,B之间的距离,工作人员选取了相距200 m的C,D两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A,B两点之间的距离.
解:在△ACD中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,
所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.

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