资源简介

2025-2026 学年 (下) 厦门大学附属科技中学高三 3 月限时 训练 数学试题
时长:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位，则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. i D. -i
3. 已知等差数列 的公差 ，则 的最小值为 ( )
A. 2 B. C. 4 D.
4. 若函数 是奇函数，则 的值为( )
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
5. 若平面向量 两两的夹角相等,且 ,则 ( )
A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1
6. 已知圆 与直线 相交于 两点，当 最小时， 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知四面体 满足 均为等腰三角形,若 ，则该四面体外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
8. 若 ,则下列不等关系一定不成立的是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.为分析两种疗法效果是否有差异，为对治疗情况进行检查，随机抽取了 136 名患儿，
得到如下数据:
疗法 疗效
未治愈 治愈
甲( ) 15 52
乙 6 63
附:常用小概率值及其相应的临界值表为:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
计算得 ，则下列说法正确的是( )
A. 以频率估计概率,有
B. 以频率估计概率,有
C. 若取 ,可以认为疗效与疗法独立
D. 若取 ,可以认为疗效与疗法独立
10. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 为 的右焦点，点 在 上,且关于 轴对称,其中点 在第一象限. 分别为线段 的中点,点 , 为坐标原点,则( )
A. 的方程为 B.
C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为
11. (多选) 如图,三棱台 中， 是 上一点， 平面 ,则 ( )
A. 过点 有四条直线与 所成角均为
B. 平面
C. 棱 上存在点 ,使平面 平面
D. 若点 在侧面 上运动,且 与平面 所成角的正切值为 4,且 长度的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 函数 的部分图像如图所示,设 是图象的最高点, 是图象与 轴的交点,记 ，则 _____.
14. 已知 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 .
(1)求 ；
(2)已知 是边 的中点，求 的最大值.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,侧面 是正三角形, 侧面 底面 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ， 若存在求出 的值,若不存在,请说明理由.
17. 2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华,小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ，假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
(2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望.
18. 已知双曲线 离心率为 为坐标原点， 、 为左、右焦点,直线 过右焦点 与右支交于 两点,当 轴时, .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动点 ( )在双曲线 右支上，设 的平分线分别与 轴、 轴交于点 ,直线 与双曲线左、右支分别交于 两点,如图所示:
① 求实数 的取值范围；
② 求 面积的最大值.
19. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3) 设 ,且 ,证明: .
1. C
因为 ,
所以 ,
所以 .
故选: C.
2. A
,虚部为 -1
故选: A.
3. B
由 ,所以 ,即 ,则 , 所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立, 故 时, 的最小值为 .
故选: B
4. D
是奇函数, 为偶函数,
为奇函数
,
.
故选: D.
5. C
当 的夹角均为 时,
则
,
;
当 的夹角均为 时,
所以
综上 或 0 ;
故选: C
6. A
,得 .
,解得 .
所以直线 过定点 .
由 ,得 .
所以圆心 的坐标为 ,圆 的半径为 5 .
过圆心 作 交直线 于点 ,因为 ,所以 .
所以当 最小时, 也最小.
,且 在 上单调递减,
所以当 最小时, 最大.
显然 ,当 ,即 重合时, 取得最大值.
此时,直线 的斜率为 ,
所以直线 的斜率为 ,解得 .
故选: A.
7. B
由 为等腰直角三角形( ， )，得 ，
由 为等腰三角形 ( )，用余弦定理:
验证 ,故 ,
又 , ,得 平面 ;
建立空间直角坐标系 ( 在 轴, 在 轴), 点: 由 几何关系,可以得 ,过 点作 轴的垂线,依据勾股定理自然可得 ;
设外接球心为 ,则 ,
由 ,
由 ,
由 ,
化简得 ;
因此,球心 ,半径: ,
故选: B
8. C
当 时,显然 不成立,
当 时,由 ,
令 ,设 ,
在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示:
由数形结合思想可知: 只有选项 C 不可能,
故选: C
9. ABD
求出列联表如下:
疗法 疗效 总数
未治愈 治愈
甲( ) 15 52 67
乙 6 63 69
总数 21 115 136
对于 项，由列联表以频率估计概率，有 ，故 正确；
对于 项，由列联表以频率估计概率，有 ，故 正确；
对于 项，零假设 : 认为疗效与疗法独立，由 ，所以若取小概率值 ,则零假设 不成立,即认为疗效与疗法不独立,故 错误;
对于 项，零假设 : 认为疗效与疗法独立，由 ，所以若取小概率值 ,则零假设 成立,即可以认为疗效与疗法独立,故 正确.
10. ABD
设 的焦距为 ,由题意知 解得 ,所以 ,所以 的方程为 ,故 正确;
如图,设 的左焦点为 ,连接 ,由 的对称性知 ,
因为 分别为线段 的中点,
所以 ,
由椭圆的定义知 ，故 B 正确；
设 ,则 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,故 错误;
,而 ,
所以 ,即 的面积的取值范围为 ,故 正确.
故选: ABD.
11. ACD
选项 ,由异面直线所成角的定义考察过点 的直线,如图,直线 是 的平分线,
即 ,
在过直线 且与平面 垂直的平面内. 把直线 绕点 旋转,
旋转过程中始终保持该直线与 的夹角相等,
旋转到与平面 垂直位置时,直线与 的夹角为 ,因此中间必有一个位置,使得夹角为 ,
以 为旋转中心， 点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样 点
(如图, 点在 的反向延长线上) 向上移有一个位置,向下移也有一个位置,共四个位置得四条直线,
由于夹角为 ,这四条直线不重合,再过 作这四条直线的平行线,满足题意,故 正确,
选项 B,因为 平面 平面 ,所以 ,
因此 是直角梯形, ,则 ,但 , 因此 与 不垂直,从而 与平面 不垂直, B 错;
选项 C,如下图,由 得 ,
又 ，即 得 ，
所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
过 作 交 于点 是平行四边形, ,
点在线段 上),同理可得 平面 ,
又 是平面 内两相交直线,所以平面 平面 正确;
选项 D,因为 平面 平面 ,所以 ,又 , 平面 ,所以 平面 ,
而 平面 ,所以平面 平面 ,
过 作 ,垂足为 ,由面面垂直的性质定理得 平面 ,
在直角梯形 中, ,
所以在直角 中, ,
与平面 所成角的正切值为 4,即 ,
所以 ,
因此 点轨迹是以 为圆心, 为半径的圆在侧面 内圆弧, 的最小值为 正确.
故选: ACD.
12. -1
,
由题意可得 ,解得 .
故答案为: -1 .
13. 8
过 作 轴,如图所示:
由 是图象的最高点,所以 ,
又 ,所以函数的最小正周期为 2,
因为 之间的距离为一个周期的长度,所以 ,
设 ,
所以在直角 与直角 中有:
,
在 中， ，所以 ，
所以 .
14.
由题可知 即为 项的系数,即是 “从 中任取两项乘积”的和, 分为以下 类进行求和讨论:
记第 1 类的和 ,
记第 2 类的和
记第 类的和 ,
则 ,
设 ,
则 ,
所以
而 ,
则
,
所以
.
15. (1)
(2) .
(1)因为 ,
由正弦定理得: ，
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 .
(2)因为 ，所以 ，
因为 是 的中点,所以 ,
所以
,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立. 所以 的最大值为 .
16. (1)由题意可知 ,
侧面 底面 ,侧面 底面 平面 ,
平面 ,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)如图，分别取 的中点 ，连接 ，
已知 两两垂直，则以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系
由题意可知 ,
设 ,则 ,又
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
代入数值可得 ,
不妨令 ,则 ,故 ,
由题意可知, 即为平面 的法向量,则有 ,
所以 ,等号两边平方,化简后可得 ,
解得 或 (舍去),所以 .
17. (1)记 3 人中通过第一轮的人数为 ，
由题意可知 ,
记“3 人中至多有 2 人通过第一轮”为事件 ，
则 .
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 ，通过第二轮的事件记为 ， 则由题意可知 ,
则 ,
所以 .
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 ，
则 ,
由 相互独立可知 ,
所以 的分布列是
0 1 2 3
则 的数学期望是 .
18.
(2)①
(1) 设双曲线的焦距为 ,把 代入双曲线方程可得 ,
由题意可知 ,解得 ,所以双曲线 的方程为 .
(2)①由(1)可知 ，由角平分线性质可得 ， 又 ,联立两式可得 , 因为 在双曲线 右支上,所以 且 ,即 ,所以
所以 ,解得 ,又 ,所以 的取值范围为 .
②由①可知；当 时， ， ，此时直线 的方程为
即 ,令 ,得 ,直线 的斜率 最小, ,且 ,
设 ,直线 的方程为 ,则 ,
由 消去 得 ,
则 ,
由图可知 ,
令 ,
因为 ,所以 在 上单调递增,所以 , 所以 面积的最大值为 .
19.(1)函数 的定义域为 ,所以 , 因为 ,所以 .
所以当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 的单调递减区间是 ; 单调递增区间是 ;
(2)当 时， ，即 ，
设 ,
则 ,
令 ,则 .
当 时, ,所以存在 ,使得当 时, 单调递增,
故当 时， ，即 ，不符合题意；
当 时, ,且当 时, . 令 ,
则当 时，因为 ，所以 ，
故当 时， 单调递减，此时 ，
所以当 时, 单调递减,即当 时, ,即 综上, 的取值范围是 ;
(3) 由 (2) ,
又 ,可知 ,
因为函数 在区间 上单调递减,故 ,
令 ,
所以 在 上单调递减, 在 上单调递增,
所以 ,
令 ,
设
故 单调递增, ,
即 单调递减, ,即 ,
所以 得证;
综上, .

展开更多......

收起↑