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福建省厦门集美中学 2025-2026 学年 (下) 学期高一 2 月阶段性测试 数学学科试题
班级:_____ 姓名:_____ 学号:_____
本试卷共 4 页, 满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的.
1. 命题 ,则 是( )
A. B.
C. D.
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 如果 ,那么下列不等式中,一定成立的是( )
A. B.
C. D.
5. 函数 的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
6. 在 中, 为 的中点,则
A. 0 B. 16 C. 40 D. 32
7. 已知 ，则( )
A. B. C. D.
8. 如图,矩形 中, ,周长为 12. 将 沿 翻折到 的位置，使得 与 交于点 ,则 的面积 的最大值为 ( ).
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
10. 不等式 解集为 ,下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 不等式 的解集是
D. 不等式 的解集是
11. 若函数 的定义域是 ,对于 ,定义集合 . ( )
A. 若 ，则
B. 若 ,且 ,则
C. 若 ,且 ,则
D. 若 ,当 时, ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 则 _____.
13. 已知 ，则 _____.
14. 如图,在平面直角坐标系 中,角 的始边为 轴的非负半轴,终边与单位圆 交于点 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 . 若记点 到直线 的距离为 , 则 的值域为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 记不等式 的解集为 ,不等式 的解集为 .
(1)求集合 ；
(2)若集合 ,写出 的所有子集.
16. 已知函数 .
(1)求 的值；
( 2 )将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，解关于 的不等式
17. 已知函数 .
(1)设 的图象恒过点 ，求点 的坐标；
(2)试判断 的奇偶性，并说明理由；
(3)当 时,不等式 在 上恒成立,求 的取值范围.
18. 某游乐园的摩天轮匀速旋转, 旋转一周需要 30 分钟, 摩天轮的圆心距离地面高度为 40 米,半径为 30 米,某个观光舱从最低点开始运动,其高度 (米) 随时间 (分钟) 的变化规律为: .
(1)求 的表达式；
( 2 )当观光舱的高度满足 (其中 为参数)时，观光舱内会有阳光直射.
(i) 若 时,求观光舱在一个旋转周期内,有阳光直射的持续时间;
(ii) 若要求观光舱在每个旋转周期内,有阳光直射的时间不少于 10 分钟,求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1)根据定义证明 在 上单调递增,并写出 的单调区间及每一单调区间上的单调性;
(2)求函数 的值域；
(3)若方程 在 有且仅有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
1. A
是“ ”.
故选: A.
2. C
由 ,则 ,而 ,
则 .
3. D
对于 ,函数 的定义域为 ,不是奇函数, 不是;
对于 ,函数 是 上的偶函数, 不是;
对于 ,幂函数 在 上单调递减, 不是;
对于 ,幂函数 是奇函数,且在 上单调递增, 是.
故选: D
4. C
对 ,当 ,则 ,故 错误;
对 ,举例 ,满足 ,但 ,故 错误;
对 ,因为 ,则 ,则 ,则两边同除以 得 ,故 正确;
对 ,当 ,则 ,则 ,故 错误.
故选: C.
5.
根据正切函数图象性质令 ,
解得 ,
若 ,不满足题意, A 错误;
若 ,可得 时,此时的对称中心为 正确;
若 ,不满足题意, 错误;
若 ,不满足题意, D 错误.
故选: B
6. D
在 中，由 ，得 ，则 ， 由 为 的中点,得 ,
所以 .
故选: D
7. D
由题意 ,
所以 ,
即 ,
故选: D
8. C
由题意可知, ,
所以 ,所以 ,
所以 ，
所以 的周长为 6; 设 ,所以 ,
在 Rt 中,由勾股定理可得 ,解得 ,
且 ,解得 或 ,
当且仅当 时取等号;
因为 ,所以 ,所以 ,则 ;
所以在 中, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以当 时， 的面积 取得最大值 ，
故选: C.
9. BC
因为函数 ,
所以 ,即得 , A 选项错误, B 选项正确;
又因为 ,所以 选项正确;
又因为函数过 ,所以 ,即得
又因为 ,所以 ,所以 ,即 , D 选项错误;
故选: BC.
10. ABD
因为 解集为 ,
所以 ,解得 ,
因为 ,所以 ,故选项 正确;
选项 C: 不等式 可化为 ,
即 ,解得 ,不等式解集是 ,选项 错误;
选项 D: 不等式 可化为 ,
即 ,解得 或 ,
不等式的解集为 ,进项 正确.
故选: ABD.
11. ABD
对于 ,由 可得 ,所以 正确;
对于 ,因为 为增函数, ,所以 ,
,所以 , B 正确;
对于 ,因为 是偶函数,且在 上单调递减,在 上单调递增,
等价于 ,
,所以 不正确;
对于 ,因为 是偶函数,且在 的单调性由 决定,
因为 ,所以当 时, 的解集包含 的解集, 所以 在 单调递减,即 , D 正确.
故选: ABD
12. 1
由题得 .
故答案为: 1
13.
.
故答案为:
14.
由题意 , 由 ,
得 ,
所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
易知 的最小正周期为 ,
所以只考虑 在 上的值域即可,
又 ,
所以 的值域为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 不等式 ,即 ,解得 , 所以集合 .
(2)由 ，解得 ，即 .
又因为 ,所以 , 因此,集合 的子集有 .
16.
(2)
(1)因为 ,
所以 .
(2)由题知 ，所以 即 ，
所以 ,解得 ,
所以原不等式的解集为 .
17. (1) 令 ,则 ,可得 ,
故函数 的图象恒过点 ；
(2)函数 是奇函数，证明如下:
由题意得函数 的定义域为 ,
且 ,
因为 ,即 ,
所以函数 是奇函数;
(3)当 时，函数 ，
不等式 在 上恒成立，
即当 时, ,
因为 在区间 上单调递增,
所以函数 在区间 上单调递减,
当 时,函数 有最大值,即 ,
所以 的取值范围为 .
18. (1) .
(2) (i) 5 分钟; (ii) .
(1) 旋转一周需要 30 分钟,故 ,
由 ,依题意取 ,
当 时, ,解得 .
故 .
(2)由(1)知 ，化简得:
(i) 若 时, ,
代入得 ,即 ,
因 ,结合余弦函数的图象可得 ,解得 ,
故 时,观光舱在一个旋转周期内,有阳光直射的持续时间为 5 分钟.
(ii) 若要求观光舱在每个旋转周期内, 有阳光直射的时间不少于 10 分钟,
根据 (i) 可知, ,化简得: .
设 ,则 ,
设 的解集为 ,
由题意知有阳光直射的时间长度 ,即 ,
在 内, 的解 关于 对称,其长度为 ,最大为
,最小为 0,
当 时,区间的解为 .
故 ,即 的最大值为 .
19.(1) 证明: 任取 且
因为 ,所以 ,故 ,
因此 ,即 在 上单调递增.
同理可得 在 上单调递减,因为 ,所以 为奇函数,
所以在 在 上单调递减, 上单调递增.
(2)由(1)知，当 时， ；当 时， ； 所以函数 的值域为 .
(3)令 ，因为 ，所以 ，
当 时， 仅有唯一解 ；
当 时, 有两个不相等的正实数根,
又 ,
代入方程得: ，
题中要求原方程有且仅有两个不相等的实数根,
则关于 的方程 有且仅有一个根在区间 上,
设 ,
当 时， ，不合题意；
当 时， 为二次方程，则必有 ；
当 时, ,得 或 ;
时, ,符合题意; 时, ,不合题意;
当 时,得 或 ,
若 ,此时 开口向上,且 只有一个大于 2 的根,
只需 ,可得 .
若 ,此时 开口向下,且 ,
方程 没有大于 2 的根,不合题意.
若 ,此时 开口向上, ,对称轴 ,
,方程 没有大于 2 的根,不合题意.
综上可得,实数 的取值范围是 .

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