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第 9讲 平行四边形的判定与性质
板块一 平行四边形的判定
典 例 精 讲
题型① 利用边的关系判定平行四边形
【例1】如图,△ABE,△BCF,△DEF 都是等边三角形.求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
题型② 利用对角线的关系判定平行四边形
【例2】如图,在 ABCD 中,E,F 分别是边AB,CD 上的点,AE=CF,G,H 是BD 上的两点,EH∥GF.求证:四边形 EGFH 是平行四边形.
实 战 演 练
如图，已知 ，连接AD，以 AD 为边向右作 使∠DAF=90°,AD=AF.连接CE,CF.求证:四边形 DECF 为平行四边形.
板块二 平行四边形的性质(一)角度计算
典例精讲
题型① 直接求角
【例1】如图，在 ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交 DC于点E，连接 BE.若AE=AB，求∠EBC的度数.
题型② 方程求角
【例2】如图，在 ABCD中，E为边 BC上一点，连接 AE，DE，且 AE=DE=BE.若∠CDE=24°，求∠B的度数.
实战演练
1.如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，且AD=AE=BE.若∠D=102°，则∠BAC的度数是 .
2.如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BE=AB，∠DAB的平分线交BC于点F，则∠EFA的度数为 .
板块三 平行四边形的性质(二)长度计算
典 例 精 讲
【例1】如图,E 为 ABCD外一点,∠E=∠ADB=90°,BC=3,CE=BD=8,求AE 的长.
【例2】如图,在 ABCD 中,∠B=45°,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点 F,BE=4,DF=3
(1)求 EC 的长;
(2)求 EF 的长.
实 战 演 练
1.如图,在 ABCD 中,AE 垂直平分BC 于点E, 求BD的长.
2.如图,在 ABCD 中,∠A=75°,E为AB 的中点,DE=BC,CH⊥DE 于点H,若AD=2,求EH 的长.
板块四 平行四边形的性质(三)角平分线
条件:□ABCD,BE 平分∠ABC. 结论:AB=AE,CB=CF. 条件: ABCD, BE 平分∠ABC, DF 平分∠ADC. 结论：四边形 BEDF 为平行四边形. 条件:□ABCD,BE 平分∠ABC,CF 平分∠BCD.结论:BE⊥CF.
典 例 精 讲
题型① 单角平分线
【例1】如图,在 ABCD 中,AB⊥AC,BE 平分∠ABC 交AD 于点 E,交 AC 于点 F.若AE=3,ED=2,则AF 的长为
题型 ② 对角平分线
【例2】如图,在 ABCD 中,BE 平分∠ABC 交AD 于点E,DF 平分∠ADC 交BC 于点F.若AE=13,ED=7,DF=6 则 ABCD 的面积为 .
题型③ 邻角平分线
【例3】如图,在 ABCD 中,∠ABC,∠BCD 的平分线与AD 分别交于点E,F,BE 与CF交于点O.若CD=5,ED=3,CE⊥AD,则CO 的长为 .
实 战 演 练
在 ABCD 中,AB=3,BC=5,BE 平分∠ABC,CF 平分∠BCD 分别交AD 于点E,F, 则 BE 的长为 .
板块五 平行四边形的性质(四)面积转化
典 例 精 讲
题型① 等积变形
【例1】如图,F 是 ABCD 的边CD 上的一点,Q是BF 的中点,连接CQ 并延长交AB 于点E,连接 AF 与DE 相交于点 P.若S△APD=2,S△BQC=8,则阴影部分的面积为( )
A.24 B.17 C.18 D.10
题型② 面积法的运用
【例2】如图,E,F 分别为 ABCD 的边AB,AD 上一点,BF,DE 交于点M,若ED=BF,连接MC,求证:MC 平分∠BMD.
实 战 演 练
1.如图， ABCD 的对角线交于点O，EF，GH 都经过点O，与平行四边形的边分别交于点E，F，G，H.记 若 则 S□ABCD = ,S△AOE = .
2.在 ABCD中,AB=6,AD=4,∠DAB=60°.
(1)如图1,点 E 在 ABCD 的内部,则S△ABE+S△DEC= ;
(2)如图2,点 E 在 CD 的上方,S△ABE-S△DEC= .
板块六 平行四边形的性质(五)高的分类讨论
AE,AF 都是 ABCD 的高
为钝角 为锐角
点 E，F都在边上 点 E 在BC 的延长线上,点 F 在边CD 上 点 E，F都在边的延长线上
典 例 精 讲
【例】在 ABCD中,过点A 作AE⊥直线 BC 于点E,若AB=5,BC=6,AE=3,则CE 的长为 .
实 战 演 练
1.已知AE,AF 是 ABCD 的高,∠EAD=30°,则∠EAF 的度数为 .
2.在 ABCD 中,AE 为边BC 上的高,AB=26,AE=24,CE=6,则 BC的长为 .
板块七 平行四边形的性质(六)角平分线的分类讨论
在□ABCD 中,AE,DF 分别平分∠BAD 和∠ADC
AD2AB
结论:EF=2AB-AD 结论:EF=2AB-AD 结论：点E，F重合 结论:EF=AD-2AB
典 例 精 讲
【例】在 ABCD 中,AD=10,∠BAD 和∠ADC 的平分线AE,DF 分别交直线BC 于点E,F,若 EF=2,则 AB 的长为 .
实 战 演 练
在 ABCD 中,∠BAD 和∠ADC 的平分线AE,DF 分别交直线BC 于点E,F.若CE=1,EF=3,则 ABCD 的周长为 .
板块八 平行四边形的性质(七)动点问题
典 例 精 讲
【例】如图, ABCD 的面积为48,AD=5,AB=12.点 P 从点D 出发,以每秒1个单位长度的速度向点C 运动；点Q 从点B 同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点 A 运动.规定其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动.设点 P 运动的时间为t秒，当PQ=BC时，求t的值.
实 战 演 练
1.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且AAD=8cm,BC=6cm,点 P ,Q 分别从点A,C 同时出发,点 P 以1 cm/s的速度由点A 向点D 运动,点 Q 以2cm /s的速度由点C 向点B 运动.当点 P，Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.几秒时四边形ABQP 是平行四边形
2.如图，在 中，BC=10,,过点 A 作AD∥BC,且点 D 在点 A 的右侧,点 P 从点 A 出发沿射线AD 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点 E 从点C 出发沿射线CB 方向以每秒2个单位的速度运动，连接PE，设点 P 的运动时间为t 秒.试问t 为何值时，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形
第9讲 多边形
板块一 多边形的边与角
典例精讲
【例1】解：设边数为n，由题意，
得180°(n-2)=1800°,
解得n=12,
∴对角线条数为 54(条).
【例2】解:由题意,得(n-2)·180°=2×360°,解得n=6,
∴(6-2)×180°÷6=120°.
【例 3】解:∵在五边形 ABCDE 中,∠A+∠B+∠E=300°,
∴∠EDC+∠BCD=240°,
又∵DP,CP 分别平分∠EDC,∠BCD,
∴∠PDC+∠PCD=120°,
∴在△CDP 中,
∠P =180°-(∠PDC+∠PCD)
=180°-120°
=60°.
【例4】解:(1)∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,
∠1+∠A+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)∵∠1=∠2+∠F
=∠B+∠E+∠F,
∠1+∠A+∠C+∠D=360°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
实战演练
1. A解：根据n边形的内角和可以表示成(n—2)·180°,可以得到增加一条边时，边数变为n+1，则内角和是(n-1)·180°,因而内角和增加(n-1)·180°-(n-2)·180°=180°.故选 A.
2.解:∵EF 平分∠AED,
CF平分∠BCD,
设∠AEF=∠DEF=α,
∠BCF=∠DCF=β,
∵AE∥BC,
∴∠A+∠B=180°.
∵五边形的内角和为540°，
∴∠AED+∠D+∠BCD=540°-180°=360°,
即2α+80°+2β=360°,
∴α+β=140°,
∵∠EDC=80°,
∴∠EFC =360°-∠D-(α+β)
=360°-80°-140°
=140°.
3.解:
∴∠EOF=180°-72°-60°=48°,
∴∠AOB =360°-108°-48°-120°=84°.
4.证明:(1)∵∠A=∠D=∠BFC=90°,
∴ ∠CBF + ∠BCF = ∠DCE +∠DEC=90°,
∵CE 平分∠BCD,
∴∠DCE=∠BCF,
∴∠CBF=∠DEC.
∵∠A+∠BFE=180°,
∴ ∠ABF + ∠AEF = ∠DEC +∠AEF=180°,
∴∠DEC=∠ABF=∠CBF,
(2)∵CE 平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE,
又∵∠BFC=∠D,
∴∠CBF=∠DEC.
∵∠A=∠BFC,
∴∠A+∠BFE=180°,
∴∠ABF + ∠AEF = ∠DEC +∠AEF=180°,
∴∠DEC=∠ABF=∠CBF,
∴BF 平分∠ABC.
板块二多角求和
典例精讲
【例】解:(1)连接AB,
∠A+∠B +∠C+∠D+∠E =∠EAB+∠EBA+∠E=180°;
(2)360°;
(3)360°.
实战演练
1.解：连接BE，构造“对顶三角形”，得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,再根据五边形内角和为540°，得出∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°,
进而得到∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°.
2.(1)360°;
(2)720°;
(3)(n-2)·360°.

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