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第 14 讲 直角三角形斜边上的中线
板块一 斜边中线(一)知斜边中线
条件:∠ACB=∠ADB=90°,E 为AB 的中点.
方法:设∠DAB=x,∠CBA=y.
结论:①∠DEB=2x,∠CEA=2y;∠AFC=x+y;
典 例 精 讲
题型① 整体思想求角度
【例1】如图,∠ACB=∠ADB=90°,E 为 AB 的中点,AD 与BC 交于点 F.若 56°,则∠AFB 的度数为 .
题型② 隐直角求长度
【例2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,D 是AB 的中点,将 沿CD翻折得到△ECD,连接 AE.求 AE 的长.
实 战 演 练
如图，在 中， ,D 为AB 的中点,连接CD,将 沿CD 翻折得到 连接AE.求 AE 的长.
板块二 斜边中线(二)隐斜边中线
条件： 结论:AE=CE=EF. 条件： 方法：作 结论:EH=
典 例 精 讲
题型① 隐中点
【例1】如图,在矩形 ABCD 中,E 为CD 的中点, 于点H.求证：DA=DH.
题型② 隐直角
【例2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,M 为AC 的中点,D 为 内一点，且 MC=MD.若S△BCD=2,求 CD 的长.
实 战 演 练
如图,在△ABC 中,. ,E 为AC 上一点,F 为 CB 的延长线上一点,且BF=AE,连接 EF 交AB 于点D,探究 CD 与EF 的数量关系.
板块三 斜边中线(三)构斜边中线
条件:∠ABC=∠ADC=90°. 方法：取AC 的中点O. 结论:①OD=OA=OB=OC;②∠DOB=2∠DAB. 条件： 方法：取DB 的中点E. 结论： ②CE=CA.
典 例 精讲
题型① 连中点
【例1】 如图,在Rt△AEB 和 Rt△AFB 中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB 的中点,连接EF,OE.已知∠EAF=α,求∠OEF 的大小(用含有α的式子表示).
题型② 取中点
【例2】 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD∥BC,BD 交AC 于点E, 求证:DE=2AB.
实 战 演 练
1.如图,A,B,D 三点共线,∠ABC=∠EBD=90°,AB=EB,CB=BD,M,N 分别为AC,ED的中点，则 的值为 .
2.如图,在 ABCD 中,∠ABC=45°,∠ADB=15°,AE⊥BC 于点 E,交 BD 于点 F.求 的值.
板块四 斜边中线(四)联姻中位线
条件:∠B=2∠C,AD⊥BC,E 为 BC 的中点. 方法：取AB 的中点F. 结论： 条件:∠AEB=∠AFC=90°,∠EAB=∠FAC, D 为BC 的中点. 方法:取AB,AC的中点M,N. 结论:①EM=DN,DM=NF;②△EMD≌△DNF.
典 例 精 讲
【例1】如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,E 为BC的中点,BD=6,DE=5.求 AE 的长.
【例2】如图,∠AEB=∠AFC=90°,∠EAB=∠FAC,D 为BC的中点.求证:DE=DF.
实 战 演 练
如图,∠BAC=∠CED=90°,∠ABC=∠EDC,O 为BD 的中点,F 为AE 的中点.求证:OF⊥AE.
板块五 斜边中线(五)最值中的运用
条件：AC 为定长， 方法：取AC 的中点O. 结论： 条件:AC,BC 为定长, 方法：取AC 的中点O. 结论：
典 例 精 讲
题型① 定斜边
【例1】如图,在四边形ABCD 中, ,当点B,D运动时，BD 的最大值为 .
题型② 两定长
【例2】如图, ,矩形ABCD 的顶点A,B 分别在射线OM,ON 上运动.若AB=4,AD=3,则OD 的最大值为 .
实 战 演 练
如图,在矩形 ABCD 中, ,E,F 分别是边 AD,BC上的一动点,且ED=BF,EF 交 BD 于点 O,过点 B 作. 垂足为G，则CG 的最小值为 .
第 14讲 矩形的判定与性质
板块一 矩形的判定
典例精讲
【例】解:(1)∵DE∥OC,CE∥OD,∴四边形OCED 是平行四边形.由 ABCD 知OB=OD,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD,
∴AB=AD,∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∴四边形OCED 是矩形;
(2)∵四边形ODEC 为矩形,
∴CE=OD,OC=DE=3,
∠OCE=90°.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AO=OC=3.
∵AC⊥BD,
实战演练
1.证明:设 AB 与EF 交于点O.
∵BE 平分∠ABD,BF 平分∠ABC,
∴ ∠EBF = ∠ABE + ∠ABF = 90°.∵AE⊥BE,AF⊥BF,
∴∠AEB=∠AFB=90°,
∴四边形 AEBF 为矩形,
∴OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB.
∵∠OBF=∠FBC,
∴∠OFB=∠FBC,∴EF∥BC.
2.解:当AB=AC 时,四边形 DEMN为矩形.理由如下：∵D，E分别为AC,AB 的中点,M,N 分别为 BO,CO的中点，
∴DE∥BC,MN∥BC,
∴DE∥MN,DE=MN,
∴四边形 DEMN 为平行四边形，
∴OD=OM,OE=ON.
∵OM=BM,ON=NC,
∴OD=OM=BM,OE=ON=CN,
∵D,E 分别为 AC,AB 的中点,AB=AC,∴AD=AE.
∵∠A=∠A,∴△AEC≌△ADB,
∴BD=CE,∴MD=EN,
∴□DEMN 为矩形.
板块二 矩形的性质(一)边、角计算
典例精讲
【例1】解:∵四边形 ABCD 为矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,
OA=OC=OB=OD.
∵DE 平分∠ADC,
∴CE=CD.
∵∠ODE=15°,
∴∠ODC =∠CDE+∠ODE
∴△OCD 为等边三角形,
∴∠COD=∠OCD=60°,OC=CD=CE,
∴∠OCE =∠BCD-∠OCD
【例2】解:过点 C 作CF⊥BD 于点F.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OA=OB.
∵AE 垂直平分OB,∴AB=AO,
∴OA=AB=OB=
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF,AO=OC,
∴△AOE≌△COF,
实战演练
解:(1)∵AB∥CD,∴∠FCO=∠OAE,∠CFO=∠OEA.
∵AE=CF,∴△OFC≌△OEA,
∴OE=OF;
(2)连接 BO,由(1)得AO=OC,
∵∠ABC=90°,∴AO=BO,
∴∠OAB=∠OBA.
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,∴∠EOB=90°,
∵∠BEF=2∠BAC,
∴设∠BAC=x,则∠BEF=2x,在 Rt△OEB 中,2x+x=90°,
∴x=30°,∴∠CAB=30°,
板块三 矩形的性质(二)隐等腰
典例精讲
【例1】解:∵四边形 ABCD 为矩形,
∴CD=AB=12,AD=BC,
∠B=∠C=90°,AD∥BC.
∵ED 平分∠AEC,
∴∠AED=∠DEC,
∴∠AED=∠ADE,
∴AE=AD=BC.设BE=x,则AE=AD=BE+EC=x+5,
∴AD=11.9+5=16.9.
【例2】解:∵四边形ABCD 为矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,
CD=AB=AE+BE=3,
∴∠ABF + ∠FBC = ∠FCB +∠DCF =90°.
∵BE=EF,∠BFC=90°,
∴∠ABF=∠EFB,∠EFB+∠DFC=90°,
∴∠ABF+∠DFC=90°,
∴∠DFC=∠FBC=∠DCF,
∴DF=DC=3,∴DE=EF+DF=5,
∵∠A=90°,
实战演练
1.解:∵四边形ABCD 为矩形,
∴BC=AD=5,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∴EC=BC-BE=2.
∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE,
∴∠AED=∠DEC.
∵CF∥AE,∴∠CFE=∠AED,
∴∠DEC=∠CFE,∴CF=CE=2.
2.解:设AE=x.
∵四边形ABCD 为矩形,
∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠A=90°,CD=AB=12,BC=AD=AE+ED=x+4,
∴ ∠ADF + ∠FDC = ∠FCB +∠DCF =90°.
∵BF=BC, ∴∠BFC=∠BCF.
∵∠DFC=90°,
∴∠FDC + ∠DCF = ∠DFE +
∴∠ADF=∠EFD,
∴EF=DE=4,∵∠A=90°,
,解得x=5,
∴BC=x+4=9.
板块四 矩形的性质(三)构等腰
典例精讲
【例1】解:连接DB.设AB=x,
则AE=5+x,DB=AC=BE=5.
∵∠DAB=90°,
解得x=4,∴AB=4.
【例2】解:延长 BF,CD 交于点 N.
∵四边形 ABCD 为矩形,
∴CD∥AB,∠C=90°,CD=AB,
∴∠N=∠ABF,∠NDF=∠A.
∵F为AD 的中点,
∴DF=AF,∴△NDF≌△BAF,
∴ND=AB.
∵∠BEC=∠N+∠EBN=2∠ABF,∠N=∠ABF,∴∠N=∠EBN,
∴EN=BE=13,
∴DN=EN-DE=8,
∴CD=AB=ND=8,
∴EC=CD-DE=3,
实战演练
1.62° 解:连接 BD 交AC 于点O,则DB=AC=DE,OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD=56°,
∴∠E=∠DBE=62°.
2.解:延长CE,DA 交于点 N,连接DE.
∵四边形ABCD 为矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠EAD=90°,
∴∠N=∠BCE,∠NAE=∠B.
∵E为AB 的中点,∴AE=BE,
∴△AEN≌△BEC,
∴AN=BC=AD.
∵∠EAD=90°,即EA⊥ND,
∴EN=ED,
∴∠EDN=∠N=∠BCE.
∵∠FEC =∠EFA+∠N
=∠EFA+∠BCE,
∴∠FEC =∠EFA+∠BCE=3∠BCE,
∴∠EFA=2∠N=2∠EDN.
∵∠EFA=∠EDN+∠FED,
∴∠EDN=∠FED,∴EF=FD.
板块五矩形与折叠(一)找等腰
典例精讲
【例】解:设 DE=x cm,
则AE=(8-x) cm.由题意,得
∠ADB=∠DBC=∠EBD,
∴BE=DE=x cm.在△ABE 中,
,解得x=5,
∴△BDE 面积为
实战演练
1.解:设CF=x,则EF=CF=x.
∵四边形ABCD 为矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
AD=BC=10,CD=AB=6.
∵BE=BC=10,
∴ED=AD-AE=2.
∵DF=CD-CF=6-x,
解得
2.解:(1)△BEF 为等腰三角形.理由如下:∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB.由折叠的性质可得∠DEF=∠BEF,
∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,
∴△BEF 为等腰三角形;
(2)过点 E 作 EM⊥BC 于点 M.
∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=90°.
∴BF=BE=5,∴△BEF 的面积=
板块六 矩形与折叠(二)
得全等
典例精讲
【例】解:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠B = 90°,∠D'C'M =∠D'=∠D=∠C=90°,
∠AC'E=90°,∴∠BC'M=∠AEC'.
又
∴△BC'M≌△AEC';
(2)∵△BC'M≌△AEC',
BC=AD=BM+CM=3+5=8,
∴DE=AD-AE=8-4=4.
D'E=C'D'-C'E=7-5=2.
设DN=D'N=x,则 EN=4-x.
在 Rt△D'EN 中, N ,即 解得x=
实战演练
1.解:连接EP.∵∠AFE=∠B=90°,
∵EF=BE=EC,
∴Rt△EFP≌Rt△ECP,∴FP=CP.
∴CP=FP=2,PD=1,AP=5,
2.证明:过点 H 作 HN⊥CF 于点 N.
∵CH 平分∠DCF,CD⊥HD,∴HN=DH.
由题意,得∠CFE=90°,
∴ ∠AEF + ∠AFE = ∠AFE +∠HFN=90°,
∴∠AEF=∠HFN.
∵∠A=∠HNF=90°,EF=FH,
∴△AEF≌△NFH,
∴AF=NH,∴AF=DH.

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