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第 13 讲 矩形的判定与性质
板块一 矩形的判定
典 例 精 讲
【例】如图, ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O,∠ABD=∠CBD,分别过点C,D 作CE∥BD,DE∥AC,CE 和 DE 交于点E.
(1)求证:四边形ODEC 是矩形;
(2)当 时,求 EA 的长.
实 战 演 练
1.如图,BE 平分△ABC 的外角 ,BF 平分 ,连接 EF.求证:EF∥BC.
2.如图，在 中,D,E 分别是AC,AB 的中点,BD 与CE 交于点O,M 为BO 的中点,N 为OC 的中点.试问 满足何条件时，四边形 DEMN 为矩形 请说明理由.
板块二 矩形的性质(一)边、角计算
典 例 精讲
【例1】如图,在矩形 ABCD 中,DE 平分∠ADC 交BC 于点E, 求 的度数.
【例2】如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AE 垂直平分OB,E 是垂足,若 求CE 的长.
实 战 演 练
如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF 与对角线AC 交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
(2)若 求AB 的长.
板块三 矩形的性质(二)隐等腰
矩形 ABCD. 若 ED 平分∠AEC,则. 若AE=AD,则ED 平分 矩形ABCD, 若 则 若AE=EF,则(
典 例 精 讲
【例1】如图,在矩形ABCD 中,E 为BC 上一点,ED 平分∠AEC,ED=13,AB=12.求AD的长.
【例2】如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 上一点,AE=1,F 为DE 上一点,且BE=EF=2,∠BFC=90°.求 AD 的长.
实 战 演 练
1.如图,在矩形ABCD 中,E为BC上一点,且AE=AD=5,AB=4,F为DE 上一点,且CF∥AE,求 CF 的长.
2.如图,在矩形 ABCD 中,E 为AD 上一点,F 为BE 上一点,CD=12,DE=4,BF=BC,且∠DFC=90°.求 BC 的长.
板块四 矩形的性质(三)构等腰
条件:矩形ABCD,BE=AC. 方法：连接BD. 结论： 条件:矩形ABCD,∠CEB=2∠EBF. 方法:延长BF,CD 交于点 N. 结论：
典 例 精 讲
题型① 等线段构等腰
【例1】如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 延长线上一点,且 BE=AC.若求AB 的长.
题型② 倍角构等腰
【例2】如图,在矩形 ABCD 中,F 为AD 的中点,E 为CD 上一点,BE=13,DE=5, 且∠BEC=2∠ABF.求 BC 的长.
实 战 演 练
1.如图,在矩形ABCD 中,E 为DA 延长线上一点,且DE=AC.若∠ACD=34°,则∠E 的度数为 .
2.如图,在矩形ABCD 中,E为AB 的中点,点F 在AD 上,且∠FEC=3∠BCE.求证:EF=FD.
板块五 矩形与折叠(一)找等腰
模型1 沿对角线翻折 条件:将矩形ABCD 沿BD 翻折. 结论:BE=ED,△ABE≌△C'DE. 模型 2 翻折后顶点落在边上 条件:将矩形ABCD 沿EF 翻折. 结论：
典 例 精 讲
题型① 沿对角线翻折
【例】如图,将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠,点C 的对应点为点C',BC'与AD 交于点E.若AD=8cm ,AB=4 cm,求△BDE 的面积.
实 战 演 练
题型② 翻折后顶点落在边上
1.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿BF 折叠，使点C 的对应点落在AD 边上的点E 处.若BC=10,AB=6.求 CF 的长.
题型③ 翻折后顶点落在顶点上
2.如图,点E,F 分别在矩形ABCD 的边AD,BC上,将此矩形沿EF 折叠,使点 D 与点B 重合,点 C 落在点 G 处.
(1)判断△BEF 的形状，并说明理由；
(2)若AB=4,AE=3.求△BEF 的面积.
板块六 矩形与折叠(二)得全等
典 例 精 讲
【例】将一张矩形纸片(四边形 ABCD)按如图所示的方式对折，使点 C落在AB 上的点(C'处,折痕为 MN,点 D 落在点D'处,C'D'交AD 于点E,且BM=AC'.
(1)求证:△BC'M≌△AEC';
(2)若 BM=3,BC'=4,求 DN 的长.
实 战 演 练
1.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,E 是BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE,点 B的对应点为点 F，延长 AF 交CD 于点 P，已知 求 AD 的长.
2.如图,在矩形ABCD 中,E 是边AB 上的一点,将△BCE 沿CE 折叠,点 B 恰好落在AD 边上的点F 处,CH 平分∠DCF 交AD 于点H,且EF=FH.求证:AF=DH.
第13讲 构造平行四边形
板块一 构平四(一)
知平行作平行
典例精讲
【例1】解:过点 D 作 DE∥AB 交 BC于点E.∵AD∥BC,
∴四边形ABED 为平行四边形，
∴AD=BE=2,DE=AB,
∠DEC=∠ABC.
∵∠ABC+∠C=90°,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°.∵DE=3,DC=4,
∴BC=CE+BE=7.
【例2】解:过点 D 作 DF∥AE 交 BC 的延长线于点 F.作 DM⊥BF 于点 M,
∴四边形 DAEF 为平行四边形.
∵AE⊥BD,∴DF⊥BD.
∵E 为BC 的中点,
∴BE=EC=CF=5,
∴BF=15,∵AE=DF=9,∴BD=12,
实战演练
1.54 解:作AE∥BD 交CB 延长线于点 E.由 AE = BD = 9,AC = 12,CE=15,得∠EAC=90°,∴BD⊥AC,∴四边形 ABCD 的面积为 BD=54.
2.证明:过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点E.∵AD∥BC,
∴四边形AECD 为平行四边形，
∴AD=CE,AE=CD,∴AE=CE.
∵AD= BC,∴CE=BE=AD=AE,
∴∠CAE=∠ACE,∠BAE=∠ABE.
∵∠CAE + ∠ACE + ∠BAE +∠ABE=180°,
∴∠BAE+∠CAE=90°,
∴∠BAC=90°,∴AC⊥AB.
板块二 构平四(二)平移线段
典例精讲
【例1】证明:过点 B 作 BF∥AC,且BF=AD=CE,连接AF,EF,∴四边形 ADBF 为平行四边形，∠AMD=∠FAE.∵BF∥AC,
∴∠FBE+∠ACB=180°.
∵∠ACB=90°,∴∠FBE=90°.
∵AC=BE,∴△ACE≌△EBF,
∴AE=EF,∠CAE=∠FEB.
∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°,
∴∠FEB+∠AEC=90°,
∴∠AEF=90°.∵AE=EF,
∴∠EAF=∠EFA=45°,
∴∠AMD=45°.
【例2】60° 解:平移AC 至 BF,使点C与点B 重合,连接AF,DF,
∴四边形 AFBC 为平行四边形，∠CEB =∠DBF,∴BF = AC =BD,AF=CB=CD,AF∥BC,
∴∠FAB = ∠CBA = ∠DBA +∠CBD.
∵CD=CB,∴∠CDB=∠CBD.
∵∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,
∴∠FAD = ∠FAB + ∠DAB =∠ABD+∠DAB+∠CBD=90°+∠CDB.
∵∠CDA =∠ADB+∠CDB
∴∠FAD=∠CDA.
∵AF=CD,AD=DA,
∴△FAD≌△CDA,
∴DF=AC=BD=BF,
∴△DFB 为等边三角形,
∴∠DBF=60°,∴∠CEB=60°.
【例3】解:作 DF∥BC,DF=BC,连接EF,CF,
∴四边形 BDFC 为平行四边形，
∴CF∥DB,CF=DB.
∵AD=CE,AB=AC,
∴AE=BD,∴AE=CF.
∵AD∥CF,∴∠EAD=∠ECF,
∴△EAD≌△FCE,∴EF=ED.
∵ED=BC,BC=DF,
∴ED=DF=EF,
∴△EDF 为等边三角形,
∴∠EDF =60°.设∠BAC=x,则
∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°, ∴x=100°,∴∠BAC=100°.
实战演练
1.证明:过点 D 向左作DF∥AE,DF=AE,连接AF,CF,则四边形AFDE 为平行四边形，
∴AF=DE,AF∥DE,
∴∠FAD=∠ADE=90°
.∵DE=DB,∴AF=DB.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠FAC=90°-∠CAB=45°,
∴∠FAC=∠B,
∴△CAF≌△CBD,
∴∠ACF=∠BCD,CF=CD,
∴∠FCD=∠ACB=90°,
2.证明:过点 A 向下作 AM∥CE,且AM=CE,连接DM,ME,
∴四边形AMEC 为平行四边形，
∴EM=AC=CB,
∠AME=∠ACB=90°,ME∥AC,
∴∠MED=∠CDE.
∵CA=CB,∠ACB=90°,AM∥CB,
∴∠MAB=∠B=∠CAB=45°,
∴∠DAM=90°.∵AD=CE=AM.
∴∠AMD=∠ADM=45°,
∴∠DME=45°=∠B.∵CF⊥DE.
∴∠FCB+∠CED=90°.
∵∠CDE+∠CED=90°,
∴∠FCB=∠CDE=∠MED,
∴△MED≌△BCF,∴DE=CF.
3.解:平移线段 AD 到 BE,连接 DE,CE，则四边形ADEB 为平行四边形，
∴∠CDE=∠AOD=45°,
∠DEB=∠A=105°,
∵∠ABC=15°,∴∠CBE=90°,
倍长 EB 到点F,连接CF,则
∴△CEF 为等边三角形,
∴∠CEB=60°,∴∠CED=45°,
∴△CDE 为等腰直角三角形，
4.解:平移线段 BC 到 EF,则四边形CBEF 为平行四边形，
设EF 交AC 于点O,连接 DF,CF.
∴∠FCD=∠A,
∵AD=DE=BE=BC,
∴∠DEA=∠A=∠FCD,
CF=BE=DE,
又∵AB=AC,∴AE=CD,
∴△FCD≌△DEA,
∴DF=DA=DE=BC=EF,
∴△DEF 为等边三角形,
∴∠EDF=60°.
∵∠FDE =∠FDC+∠CDE
=∠A+2∠A=3∠A,
∴∠A=20°.
板块三 构平四(三)
解密“脚拉脚”
典例精讲
【例】解:平移线段 AD 到 CF,连接DF,EF,设 DF 交AB 于点O,则四边形ADFC 为平行四边形，
∴DF=AC=AB,DF∥AC,
∴DF⊥AB,∵∠BDE=90°,
∴∠ABD + ∠BDO = ∠EDF +∠BDO=90°,
∴∠ABD=∠FDE,
∵DB=DE,AB=DF,
∴△ABD≌△FDE,
∴AD=EF=CF,∠DAB=∠EFD,
∵∠DAC=∠DFC,
∴∠BAC=∠EFC=90°,
∴△CEF 为等腰直角三角形，
解:延长 DP 至点 F,使 PF=DP,连接CF,AF.延长BD 交CF 于点O,
∵P 为CE 的中点,∴DP=PF,
∴四边形 EDCF 为平行四边形，
∴DE=CF=DB,DE∥CF,
∵∠BDE=90°,
∴∠BOC=∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠ACO,
∵AB=AC,BD=CF,
∴△ABD≌△ACF,
∴AD=AF,∠BAD=∠CAF,
∴∠DAF=∠BAC=90°,
∴△ADF 为等腰直角三角形，

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