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第 12 讲 构造平行四边形
板块一 构平四(一)知平行作平行
条件:AD∥BC. 方法:作DE∥AB. 结论:□ABED. 条件:□ABCD,CE⊥BD. 方法:作 DF∥EC. 结论:□DECF.
典 例 精 讲
题型①作平行拼直角
【例1】如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=2,AB=3,CD=4,∠ABC+∠C=90°.求BC 的长.
题型② 作平行转化直角
【例2】如图,在 ABCD 中,AE⊥BD 交BC 于点E.若E 为BC 的中点,AE=9,AD=10,求 ABCD 的面积.
实 战 演 练
1.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=5,BD=9,AC=12,BC=10,则四边形 ABCD 的面积为 .
2.如图,在四边形 ABCD 中, 连接AC.求证：
板块二 构平四(二)平移线段
模型1 平移线段得全等 条件:AD=BC,BD=CE,∠B=90°. 方法：平移线段CE. 结论:△AFD≌△BDC. 模型2 平移线段得等边 条件:AB=CD,∠BOD=60°. 方法：平移线段AB，连接 DE. 结论:等边△CDE.
典 例 精 讲
题型① 平移线段得全等
【例1】如图,∠ACB=90°,E,D 分别为BC,AC上一点,BE=AC,AD=CE,AE 与DB 交于点M.求证:∠AMD=45°.
题型② 平移线段得等边
【例2】如图,在四边形ABCD 中,CD=CB,AC=BD,∠ADB=90°,AC与BD 交于点E,则∠CEB 的度数为 ° .
【例3】如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,延长边AB 到点D,延长边CA 到点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE.求∠BAC 的度数.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为AB 上一点, ,连接AE,CD.求证:
2.如图,在△ABC 中, ,D,E 分别为AC,BC上一点,AD=CE,,过点 C 作CF⊥DE 交AB 于点F.求证:DE=CF.
3.如图,AB,CD 交于点O,. 求 AB的长.
4.如图，在 中，AB=AC,D,E 分别是AC,AB 上的点,AD=DE=BE=BC.求 的度数.
板块三 构平四(三)解密“脚拉脚”
等腰 和等腰
模型 1 顺向“脚拉脚” 方法:平移AD 到CF,连接EF. 结论： 模型 2 逆向“脚拉脚” 方法:平移DE 到CF,连接EF. 结论：
典 例 精 讲
【例】如图,在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DBE 中,AB=AC,DB=DE,连接AD,CE,求证：
实 战 演 练
如图,在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DBE 中,AB=AC,DB=DE,P 为CE 的中点,连接AD,DP.求证:
第12讲 平行四边形与全等板块一 平行四边形与全等(一)线段倍分
典例精讲
【例1】解:(1)①∵△ABC 和△ADE都是等边三角形，四边形 BCFD 是平行四边形，
∴ AB = BC = DF, AD = DE,∠BAD=∠ADE=∠ACB=60°.
∵DF∥BC,∴∠CDF=∠ACB=60°,
∴△ABD≌△DFE(SAS),
∴EF=BD=CF;
②∵△ABD≌△DFE,
∴∠EFD=∠ABD,
∵四边形 BCFD 是平行四边形，
∴∠DFC=∠CBD,
∴∠EFC=∠ABC=60°;
(2)成立.延长 ED 交 BC 于点 G.同
(1)可得AB=DF,AD=DE.
∵DF∥BC,∴∠EDF=∠DGC.
∵∠ADE=∠ABC=60°,
∴∠ADG+∠ABG=180°,
∴∠DGC=∠BAD=∠EDF,
∴△ABD≌△DFE,
∴EF=BD=CF,
同(1)得∠EFC=∠ABC=60°,
故(1)中的结论都成立.
【例2】解:(1)①∵△ABC 和△ADE都是等腰直角三角形，
四边形 BCEF 是平行四边形，
∴AC=BC=EF,AE=DE,
∠CAB=∠ABC=∠DAE=45°.
∵EF∥BC,∴∠FEB=∠ABC=45°,
∴∠DEF=45°=∠CAB,
∴△ACE≌△EFD(SAS),
∴DF=CE=BF,∠EFD=∠ACE,
∵四边形CEFB 是平行四边形，
∴∠EFB=∠ECB,
∴∠DFB=∠ACB=90°;
②∵DF=BF,∠DFB=90°,
∴△BDF 为等腰直角三角形，
(2)成立.延长 AE 交 BC 于点G.则∠DEG=90°,
∴∠DEF+∠FEG=90°,
∵∠FEG=∠AGC,∠CAE+∠AGC=90°,
∴∠DEF=∠CAE,
又∵DE=AE,EF=BC=AC,
∴△ACE≌△EFD,
同(1)可得∠DFB=∠ACB=90°,DF=CE=BF,
∴△BDF 为等腰直角三角形，
故(1)中的结论都成立.
【例 3】解:(1)连接 AE,延长 DC 交AB 于点G.
∵AB = AC,CD = CE,∠BAC =∠DCE=90°,
四边形 BCDF 是平行四边形，
∴AC=AB,CE=CD=BF.
∵BF∥CD,∴∠ABF=∠AGC,
∵ ∠AGC + ∠ACG = ∠ACE +∠ACG=90°,
∠ACE=∠AGC=∠ABF,
∴△ACE≌△ABF(SAS),
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,
∴∠EAF=∠BAC=90°,
∴△AEF 为等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°;
(2)连接 AE,延长 DC 交 AB 于点G.则∠ABF=∠AGC,
∵∠AGC+α+∠ACG = 180°=∠ACG+∠ACE+α,
∴∠ACE=∠ABF,
又∵AC=AB,CE=CD=BF,
∴△ACE≌△ABF,
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,
∴∠FAE=∠BAC=α,
实战演练
1.证明:连接CF,延长 DA 交CF 于点M.∵四边形ADFE 为平行四边形，∴AD∥EF,DF =AE,AD = EF,∠ADF=∠AEF.
∵AD=BD,AE=EC,
∴DF=EC,BD=EF.
∵∠ADB=∠AEC=90°,
∴ ∠ADB +∠ADF = ∠AEC +∠AEF,即∠BDF=∠CEF,
∴△BDF≌△FEC,
∴BF=CF,∠DBF=∠CFE.
∵AD∥EF,∴∠CFE=∠DMF,
∴∠DBF=∠DMF,
∴∠BFM=∠BDA=90°,即∠BFC=90°,
∴△FBC 是以 BC 为斜边的等腰三角形，.
2.证明:延长 ED 交CB 于点 M,连接EF.
∵∠ADE=90°,∴∠ADM=90°.
∵∠ACM=90°,∠CAD+∠CMD+∠ACM+∠ADM=360°,
∴∠CAD+∠CMD=180°.
∵∠DMB+∠CMD=180°,
∴∠CAD=∠DMB.
∵四边形CDFB 为平行四边形，
∴DF=CB=CA,DF∥CB,CD=BF,
∴∠EDF=∠DMB,
∴∠CAD=∠EDF.
∵AD=DE,∴△CAD≌△FDE,
∴EF=CD=BF,∠DFE=∠ACD.
∵∠DFB=∠DCB,
∴∠DFE + ∠DFB = ∠ACD +∠DCB,即∠EFB=∠ACB=90°,
∴△EFB 是以BE 为斜边的等腰三角形，
板块二 平行四边形与全等(二)线段和差
典例精讲
【例1】证明:(1)过点 C 作 CR⊥AB于点 R. 由□ABCD,得 AB∥CD,∠ADC=∠B,
∴∠FCD=∠BFC.
∵∠FCD=∠ADC,
∴∠B=∠FCD=∠BFC,
∴CF=CB.∵CR⊥AB,
∴∠BCF=2∠BCR,∠BCR+∠B=90°.
∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠B=90°,
∴∠BCR=∠BAG,
∴∠BCF=2∠BAG;
(2)作 DK⊥CF 于点 K,连接 DE,
∴∠DKC=∠AGB=90°.
∵∠DCK=∠B,AB=CD,
∴△ABG≌△DCK,
∴BG=CK,AG=DK.
∵AD=AG,∴AD=DK.
∵AD∥BC,AG⊥BC,∴AG⊥AD,
∴∠DAE=∠DKE=90°.
∵DE=DE,
∴Rt△DAE≌Rt△DKE,
∴AE=EK,
∴CE=CK+EK=BG+AE.
【例2】证明:(1)∵BM 平分∠ABC,
∴∠ABM=∠MBC.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD=AB,AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,
∴∠ABM=∠AMB,
∴AB=AM,∴AM=CD;
(2)过点 A 作 AF⊥BM 交CE 的延长线于点 F,∴∠AGB+∠FAE=90°.
∵AB∥CD,AE⊥CD,
∴∠BAE=∠AEC=∠AEF=90°,
∴∠ABM+∠AGB=90°,
∴∠FAE=∠ABM.
∵AB=AE,∴△ABG≌△EAF,
∴AG=EF.
∵AB=AM,AF⊥BM,
∴∠BAF=∠MAF.
∵AB∥CD,∴∠BAF=∠F,
∴∠MAF=∠F,∴AD=DF,
∴AM+MD=DC+CF.
∵AM=CD,
∴MD=CF=EF+EC=AG+EC.
实战演练
1.证明:延长 ED 至点 H,使 DH=EC,连接AH.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC.
∵DE⊥BC,
∴∠HDA=∠DEB=∠DEC=90°.
∵AD=DE,∴△ADH≌△DEC,
∴AH=CD,∠HAD=∠CDE.
∵DF=AD,
∴∠DAM=∠DFA.
∵∠HAD +∠DAM = ∠CDE +∠DFA,即∠HAM=∠HMA,∴AH=HM=DM+DH =DM+EC,∴CD=DM+EC.
2.证明:过点 E 作 EH⊥AD 交AF 于点H.∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠EAC=∠ACB=45°.
∵EH⊥AD,∴∠EHA=45°,
∴AE=EH,∴AH= AE.
∵∠BAC=∠BEF,∴∠ABE=∠F.
∵∠BEF=∠AEH=90°,
∴∠AEB=∠HEF,
∴△AEB≌△HEF,∴AB=HF.
∵AB=CD,∴HF=CD,
3.证明:(1)过点 C 作CM⊥CD 交DB的延长线于点M，
∴∠MCD=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠MCB.
∵∠CAD + ∠CBD + ∠ACB +∠ADB=360°,∠ACB=∠ADB=90°,
∴∠CAD+∠CBD=180°.
∵∠CBM+∠CBD=180°,
∴∠CAD=∠CBM.
∵CA=CB,∴△CAD≌△CBM,
∴CM=CD.∵∠MCD=90°,
∴∠M=∠CDM=45°.
∵四边形CEDB 为平行四边形，
∴CE∥DB,
∴∠ECD=∠CDM=45°;
(2)过点 E 作 CE 的垂线,分别交CD,DB 于点F,H.
∵∠ECD=45°,
∴∠EFC=∠ECD=45°,
∴CE=EF,
∴△CEF 为等腰直角三角形，
∵四边形CEDB 为平行四边形，
∴ED=CB,CE∥DB,∠ECB=∠EDB.
∵EH⊥CE,∴EH⊥DB,
∴∠DEH+∠EDB=90°.
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°,
∴∠DEH=∠ACE.
∵AC=CB=ED,CE=EF,
∴△ACE≌△DEF,∴AE=DF,
∴CD-AE=CD-DF=CF= CE.

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