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第10 讲 三角形的中位线
板块一 中位线(一)连接构中位线
模型1 连中点 条件:E,F 分别为 AB,AC 的中点. 方法：连接EF. 结论:EF 为△ABC 的中位线. 模型 2 连第三边 条件:等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACM,E,F,H 分别为BC,DM,BD 的中点. 方法:连接DC,BM. 结论:BM⊥DC,BM=DC,△HEF 为等腰直角三角形.
典 例 精 讲
【例1】如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,P,E,F 分别是BD,AB,CD 的中点,∠CBD=45°,∠ADB=105°,则∠PFE 的度数为 .
【例2】如图,△ABD 和△BCE 都是等边三角形,点 C 在AB 的延长线上,M,N,F 分别是AD,EC,AC 的中点.求∠MFN 的度数.
实 战 演 练
1.如图,在正方形ABCD 中,AB=4,H 是CD 边上一点,E,F 分别是AB,AH 的中点,若EF= 则AH 的长为 .
2.如图,在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,M,N,P 分别是BE,CD,BC的中点.求证:
板块二 中位线(二)延长构中位线
条件:AD 平分∠BAC,∠ADB =90°,E 为BC 的中点. 方法:延长AC,BD交于点F. 结论： 条件:AD∥BC,E,F分别为AB,CD 的中点. 方法:延长AF,BC交于点M. 结论： 条件:AD∥BC,E,F 分别为 BD,AC 的中点. 方法：连接AE 并延长交 BC于点M. 结论：
典 例 精 讲
题型① 延长构对称全等得中点
【例1】如图,△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠CDE=90°,点 E 在AC上,M 为BE 的中点.求证:AE=2DM.
题型② 延长构X型全等得中点
【例2】如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,BC>AD,E,F 分别是BD,AC 的中点.求证:EF∥BC,且
实 战 演 练
1.如图,在 ABCD 中,AC,BD 交于点O,E 是 ABCD 外部一点,∠ABC=2∠DCE,DE⊥CE,若OE=12,求□ABCD 的周长.
2.如图,在 ABCD 中,BE 平分∠ABC 交AD 于点 E,AF⊥BE 于点 F,H 是CD 的中点,若AB=3,AD=5,求 FH 的长.
板块三 中位线(三)倍长构中位线
条件:D 为BC 的中点.
方法:延长CE 至点 F,使EF=EC.
结论:DE 为△FBC 的中位线.
典 例 精讲
【例】如图,在等边△ABC 中,E 为AB 上一点,连接 EC,将线段 CE 绕点 E 顺时针旋转120°得到线段 DE,连接AD,F 为AD 的中点,连接EF.求证:BE=2EF.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC 中,AB=6,∠BAC=60°,D 是BC 的中点,E 是边AC 上的一点,若 DE 恰好平分△ABC 的周长,求 DE 的长.
2.如图,在 ABCD中, ，M为线段AC 上一点(不与点A，C重合)，以AM 为边向上作等边△AMN,连接NC,DM,Q 为线段NC 的中点,连接DQ,判断DM 与DQ的数量关系，并证明你的结论.
板块四 中位线(四)隐中点构中位线
条件：在 中,M 为AE 的中点.
方法:连接AC,BD 交于点O.
结论:OM 为△ACE 的中位线.
典 例 精 讲
【例】如图,在 ABCD 中,E 为AC 上一点,延长 BE 至点F,使EF=BE,,连接 DF.
(1)求证:DF∥AC;
(2)若EC=6,AE=10,求 DF 的长.
实 战 演 练
1.如图,F 为 ABCD 外一点,连接DF 交AC 于点E.若DE=EF,AE=8,EC=2,且BC=BF,∠ACB=90°.求 CF 的长.
2.如图,在 ABDE 和△ABC 中,AB=AC,AC⊥AB,AD∥BC.若AD=6,BC=8, 求 CE的长.
板块五 中位线(五)取中点构单中位线
条件：CD为 的中线.
方法:取AC 的中点E(或取 BC 的中点F).
结论:DE(或 DF)为 的中位线.
典 例 精 讲
【例】如图，在 中,于点D,E 是AB 上一点,CE 交AD 于点F,且AE=AF.求证:BE=2DF.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC 中,AD 是中线,BA=BD,E 是BD 的中点.求证:AC=2AE.
2.如图,D 为AC 的中点,E 为AB 上一点,∠AED=150°,∠ABC=120°.求 的值.
板块六 中位线(六)取中点构双中位线
条件：M，N为中点，AB=CD. 方法:取 BD 的中点 P. 结论:PM=PN. 条件：M，N为中点， 方法:取 BD 的中点P、 结论： 条件：M，N为中点，AB=CD. 方法:取 BC 的中点 P. 结论:PM=PN. 条件：M，N为中点，等腰Rt△ABC,△ADE. 方法:取 BC 的中点P. 结论：
典 例 精 讲
【例1】如图,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D,E 分别是边AB,AC上的一点,M,N 分别是 DE,BC 的中点.若DB=8,CE=6,则MN 的长为 .
【例2】如图,△ABC 的两条中线BE,CD 交于点O.求证:
实 战 演 练
1.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD=16,∠ABC+∠BCD=120°,E,F 分别为BD,AC的中点,则EF 的长为 .
2.如图,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,M,N 分别为BE,CD的中点,连接MN,BD.求证:
第10讲 平行四边形的判定与性质
板块一 平行四边形的判定典例精讲
【例 1】 证 明: ∵ △ABE,△BCF,△DEF 都是等边三角形，
∴DE=EF=DF,BC=BF=CF,AE=BE=AB,∠DEF=∠DFE=∠BFC=∠AEB=60°,
∴∠AED=∠BEF,
∠DFC=∠EFB,
∴△ADE≌△BFE,
△BFE≌△CFD,
∴AD=BF=BC,BE=CD=AB,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
【例2】证明:连接 AC 交 BD 于点O,连接OE,OF.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO,AB∥CD,
∴∠EAO=∠FCO.
又∵AE=CF,
∴△AEO≌△CFO,
∴OE=OF,∠EOA=∠FOC,
∴ ∠EOA + ∠EOC = ∠FOC +∠EOC=180°,
∴E,O,F 三点共线.
∵EH∥GF,∴△EOH≌△FOG,
∴OH=OG,
∴四边形 EGFH 为平行四边形.
实战演练
证明:∵∠BAC=90°,∠DAF=90°,∴∠BAD + ∠DAC = ∠CAF +∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAF.
∵BA=CA,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF,
∴∠AFC=∠ADB.
∵∠ADB+90°+45°+∠FDE=360°,
∴∠AFC+∠FDE=225°,
∴∠DFC+∠FDE=180°,
∴FC∥DE.
∵FC=BD=DE,
∴四边形 DECF 为平行四边形.
板块二 平行四边形的性质(一)角度计算
典例精讲
【例1】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD,
∴∠BAD=180°-∠D=80°.
∵AE 平分∠DAB,
∴∠BAE=80°÷2=40°.
∵AE=AB,
∴∠ABE=(180°-40°)÷2=70°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
【例2】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠BAD =180°.设∠B =∠ADC=x,∵∠CDE=24°,
∴∠ADE=x-24°.∵AE=DE,
∴∠EAD=∠ADE=x-24°.
∵AE=BE,∴∠B=∠BAE=x,
∴x+x-24°+x=180°,解得x=68°,
∴∠B=68°.
实战演练
1.26° 解:设∠BAC=x.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,∠ABC=∠D=102°,∠ABC+∠DCB=180°.
BC=AD=AE=BE,
∴∠DCA=∠EAB =∠EBA=x,∠BEC=∠ECB=∠EAB+∠EBA=2x,∴∠DCB=3x=180°-∠ABC=180°-102°=78°,∴∠BAC=x=26°.
2. 45° 解: 设∠BAF = ∠DAF =∠AFB=x,
∠EFA=y,BF=AB=BE,
∴∠BEF=∠BFE=x+y,
∠C=∠DAB=2x,
∴∠FEC=∠BFE-∠C=y-x.
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=90°,
∴x+y+y-x=90°,
∴y=45°,∴∠EFA 的度数为45°.
板块三 平行四边形的性质(二)长度计算
典例精讲
【例1】解:连接AC 交 BD 于点O.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
AD=BC=3,
【例2】解:(1)在□ABCD 中,CD=AB,AD=BC,∠D=∠B=45°.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴EC=BC-BE=2;
(2)过点 F 作 FH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H.
∵AB∥CD,∴∠FCH=∠B=45°,
∴CH=FH=1,
∴EH=EC+CH=3,
实战演练
1.解:过点 D 作 DF⊥BC 交BC 的延长线于点 F.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,CD=AB,
∴∠DCF=∠ABE.
∵∠F=∠AEB=90°,
∴△ABE≌△DCF,
∴CF=BE=4,DF=AE=5,
2.解:延长 DE,CB 交于点 F.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC,BC=AD=2,
∴∠EBF=∠A,∠ADE=∠F,
∵AE=BE,∴△ADE≌△BFE,
∴BF=AD=2,EF=DE.
∵BC=AD,BC=DE,
∴DE=AD=EF=2,
∴∠DEA=∠A=75°,
∴∠ADE=30°,∴∠F=30°.
∵ ,
∴EH=FH-EF=2 -2.
板块四 平行四边形的性质(三)角平分线
典例精讲
【例 1】 解:∵AD∥BC,BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=∠AEB,
∴AB=AE=3,∴BC=AD=5,
∴AC=4.过点 F 作 FH⊥BC 于点H.∵BF 平分∠ABC,FA⊥AB,∴FA=FH.
【例2】240 解:过点 B 作 BH⊥AD于点H,设AH=x,
可得
解得x=5,
∴S□ABCD=240.
【例 解:可得AE=AB=CD=DF=5,CF⊥BE,
BE=CE·BC,.
实战演练
解:过点 E 作 EM∥FC 交 BC 的延长线于点 M.可得 CF⊥BE,四边形EFCM 为平行四边形，
∴AE=AB=CD=DF=3,
AD=BC=5,
∴AF=DE=2,EF=CM=1,
EM⊥BE,
板块五 平行四边形的性质(四)面积转化
典例精讲
【例1】C 解:可证△EBQ≌△CFQ,∴EQ=CQ,
∴四边形 EBCF 是平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=16.
∵S△AED=S△AEF,
∴S△APD=S△EPF=2,
∴S阴影=S△EPF+S△EBF =18.
故选 C.
【例2】解:过点 C 作 CN⊥BF 于点N,过点 C 作CH⊥ED 于点 H.
∵BF=ED,
∴CN=CH.
∵CN⊥BF,CH⊥ED,
∴MC 平分∠BMD.
实战演练
1.81.2 11.3
解:由△COH≌△AOG,得 S△COH=
∴S□ABCD=81.2.
同理，
∴S△AOE=11.3.
2.解: 6
板块六平行四边形的性质(五)高的分类讨论
典例精讲
【例】10 或 2 解:(1)如图 1,若∠BAD 为锐角,则点 E 在 CB 的延长线上， ∴CE=CB+BE=10;
(2)如图 2,若∠BAD 为钝角,则点E 在 BC 上,CE=BC-BE=6-4=2.故CE 的长为10或2.
实战演练
1.60°或120° 解:如图1,当高AE 在 ABCD 内时,∠EAF=60°;
如图2,当高 AE 在 ABCD 外时,∠EAF=120°.
∴∠EAF=60°或120°.
2.16 或4 解:当点 E 在 BC 上时,如图1.
∵∠AEB=90°,
∴BC=BE+CE=16;当点 E 在 BC 的延长线上时，如图2.由以上解答知BE=10，
∴BC=BE-CE=10-6=4.
∴BC 的长为16 或4.
板块七 平行四边形的性质(六)角平分线的分类讨论
典例精讲
【例】6或 4 解:∵AD∥BC,AE,DF分别平分∠BAD 和∠ADC,
∴ ∠DAE = ∠AEB = ∠BAE,∠ADF=∠CDF=∠DFC,
∴AB=BE,CD=CF.∵AB=CD,
∴BE=CF.若AB∵BC=AD=10,∴AB=6;
如图2,EF=BC-BE-CF=BC-2AB=2,∵BC=AD=10,∴AB=4;
若AB>AD,则点 E,F 分别在 BC和CB 的延长线上，如图3，
此时EF>AD>2,舍去.
综上所述，AB 的长为6 或4.
解:∵AD∥BC,AE,DF 分别平分∠BAD 和∠ADC,
∴∠DAE=∠AEB=∠BAE,
∠ADF=∠CDF=∠DFC,
∴AB=BE,CD=CF.
∵AB=CD,∴BE=CF.
①当ABAD=BF+EF+CE=5,
此时,□ABCD 的周长为2(AB+AD)=18;
②当AD=2AB 时,E,F 重合,不符合题意，舍去；
③当ADAB=BE=EF-BF=2,
AD=EF-BF-CE=1,
此时,□ABCD 的周长为 2(AB+AD)=6;
④当AD>2AB 时,如图3,EF板块八 平行四边形的性质(七)动点问题
典例精讲
【例】解:根据题意,得 DP=t,BQ=3t.
①当PC=BQ时,∵PC∥QB,
∴四边形 PCBQ 为平行四边形，
∴PQ=BC,由12-t=3t,
解得t=3;
②当 PC≠BQ 时,过点 Q 作 QH⊥DC 于点 H ,过点 B 作 BN⊥DC 于点N,∴QH∥BN.∵PC∥AB,
∴四边形 HQBN 为平行四边形，
∴QH=BN,BQ=NH=3t.
由 ABCD 得CD=AB=12,BC=AD=5.
∵S□ABCD=CD·BN=48,∴BN=4,
在 Rt△QHP 和 Rt△BNC 中,PQ=CB,QH=BN,
∴Rt△QHP≌Rt△BNC(HL),
∴PH=CN=3,
∴CD=DP+PH+HN+NC,
∴3t+3+t+3=12,解得t=1.5.综合上述,当 PQ=BC 时,t=1.5或3.
实战演练
1.解:设运动了x秒. AP=x cm,CQ=2x cm,BQ=(6-2x) cm.
∵AD∥BC,
∴当AP=BQ时,
四边形ABQP 是平行四边形，
∴x=6-2x,解得x=2,
∴2秒时四边形ABQP 是平行四边形.
2.解:(1)当点 E 在线段BC 上时,若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形,则AP=BE,
∴t=10-2t,解得
(2)当点 E 在线段 CB 的延长线上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，
∴t=2t-10,解得t=10.
∴当 或10时,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形.

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