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2025-2026学年吉林省长春五十二中赫行实验中学九年级上学期
1月月考数学试卷
一、选择题：
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D.
3.如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是（　　）
A. = B. = C. = D. =
4.如果两个相似多边形的面积的比为1：5，则它们的周长的比为（　　）
A. 1：25 B. 1：5 C. 1：2.5 D.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大3倍，则sinA的值（　　）
A. 放大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定
6.“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　）
A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
7.平移二次函数y=x2的图象，其顶点刚好经过点（2，3），则平移后的函数解析式为（　　）
A. y=（x-2）2+3 B. y=（x+2）2-3 C. y=（x-2）2-3 D. y=（x+2）2+3
8.如图，Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=（　　）
A.
B.
C.
D. 1
二、填空题：
9.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-3=0有实数根，则m的取值范围是 .
11.已知圆锥的底面半径为5cm,它的侧面积是35πcm2，则这个圆锥的母线长为 cm.
12.如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），C（-1，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：3放大，放大后的图形记作△AB1C1，则C1的坐标为 .
13.如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10m,则迎水坡AB的长度是 .
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；⑤当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.25．其中正确的结论是____．（把你认为正确结论序号都填上）
三、解答题：
15.计算：sin230°-2cos30° tan60° sin245°.
16.解方程：
（1）x2-8x-1=0；
（2）2x-9x+10=0.
17.小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，4张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语.
（1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______.
（2）如果四张卡片分别对应价值为25，20，15，10（单位：元）的4件奖品.如果小明随机翻2张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值不低于35元的概率？
18.如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB.小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND=1m,FD=1.7m.已知CD=2.6m,EF=1m,F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB.
19.如图，在△ABC中以AB为直径作圆，圆心为O，交AC于点F，连接OF，延长CB至D，连接OD.已知∠C=∠D，∠A=∠BOD.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=4，求CF的长度.
20.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上.每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1.在如图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中的AB上画出△ABC的高线；
（2）在图②中的AC上找一点E，连接BE，使△ABE与△CBE面积比为3：7；
（3）在图③中的BC上找一点F，连接AF，使得∠C=2∠BAF.
21.观察下列各式及其验证过程.
；.
验证：；
.
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
= ______，= ______；
（2）通过上述探究，猜想= ______（n＞0，且n为整数），并验证你的结论；
（3）计算：.
22.【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是______．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是______．
23.如图，面积为15的菱形ABCD，AB=5，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.
（3）已知FG=4，设点E的运动路程为S，当S满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（不包括全等）？请直接写出答案.
24.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点.点P为抛物线上任意一点，其横坐标为 m（m≠0），过点P作 PQ⊥y轴，点Q的横坐标为-2m.
（1）求a,b的值；
（2）当点Q在抛物线上时，求m的值；
（3）当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围；
（4）过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+1，且点M与点P不重合.连接 MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】x≥9
10.【答案】m≥且m≠1
11.【答案】7
12.【答案】（-7，3）
13.【答案】10m
14.【答案】①②④
15.【答案】解：sin230°-2cos30° tan60° sin245°
=（）2-2×××（）2
=-
=-．
16.【答案】，
17.【答案】解：（1）；
（2）画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于35元的有8种，
∴所获奖品总值不低于35元的概率为 .

18.【答案】解：过点N作NH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，连接EN，如图所示：

∵ND=EF=1m,AB，CD，EF均垂直于FB，
∴点E，N，H在同一条直线上，四边形EFDN，四边形EFBH，四边形NDBH，四边形CNHK均为矩形，
∴CK∥EH，
∵点E，C，A在同一直线上，
∴∠ACK=∠AEH，
设AK=x,
∵CN=KH=CD-ND=2.6-1=1.6（m），
∴AH=AK+KH=（x+1.6）m,
在Rt△ANH中，∠ANH=α=45°；
∴tanα==1，
∴NH=AH=（x+1.6）m,
∴CK=NH=AH=（x+1.6）m,EH=FB=FD+NH=（x+3.3）m,
在Rt△ACK中，tan∠ACK==，
在Rt△AEH中，tan∠AEH==，
∵∠ACK=∠AEH，
∴=，
整理得：0.1x=2.56，
∴x=25.6，
检验后知道x=25.6是分式方程=的根，
∴AK=25.6，
∴AB=AK+CD=25.6+2.6=28.2（m），
答：避雷针顶端A的高度AB为28.2m.
19.【答案】（1）证明：∵∠C=∠D，∠A=∠BOD．
∴∠ABC=∠OBD，
∵∠ABC+∠OBD=180°，
∴∠ABC=∠OBD=90°，
∴AB⊥CD，
∵AB为直径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为直径，AB=6，
∴OB=AB=3，
∵AB⊥CD，BD=4，
∴OD==5，
∵∠C=∠D，∠A=∠BOD．
∴△OBD∽△ABC，
∴，即，
∴BC=8，
∴AC==10，
连接BF，
∵AB为直径，
∴∠AFB=∠BFC=90°，
∴BF=，
∴CF==．
20.【答案】如图①：CD即为所求； 如图②：BE即为所求 如图③：点F即为所求
21.【答案】2- - -
22.【答案】（1）12；
（2）证明：设BN=m，DM=n，
由（1）可知，MN=BN+DM=m+n，
∵∠B=90°，tan∠BAN=，
∴tan∠BAN==，
∴AB=3BN=3m，
∴CN=BC-BN=2m，CM=CD-DM=3m-n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m-n）2=（m+n）2，
整理得：3m=2n，
∴CM=2n-n=n，
∴DM=CM，
即M是CD的中点；
（3）8．
23.【答案】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵FG∥BC．
∴∠AGF=∠ACB，
∴∠AGF=∠FAG，
∴FA=FG；
（2）解：设AC的中点为O．
①如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．
∵面积为15的菱形ABCD，AB=5，
∴AM=3，
在Rt△ABM中，AM=3，
∴BM===4，
∴FG=EF=AM=3，CM=BC-BM=1，
∵OA=OC，OE∥AM，
∴CE=EM=CM=，
∴AF=EM=，
∴AG=AF+FG=．
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．
同法FG=EF=AN=3，CN=1，AF=EN=CN，
∴AG=FG-AF=3-=，
综上所述，满足条件的AG的长为或；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，0＜S≤4，设EF=3x,则BE=4x,GH=EF=3x,
a、若点H点C的左侧，S+4＜5，即0＜S＜1，如图4，
CH=BC-BH=5-（4x+4）=1-4x,
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，解得x=，
经检验x=是分式方程的解，
∴S=4x=；
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得x=，
∴S=4x=；
b、若点H在点C的右侧，S+4＞5，即1＜S≤4，如图5，
CH=BH-BC=（4x+4）-5=4x-1，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得=，即，
∴，解得x=，
∴S=4x=；
②当点E在线段MC上时，4＜S≤5，如图6，
EF=3，EH=4，BE=S，
∴BH=BE+EH=S+4，CH=BH-BC=S-1，
由△GHC∽△FEB，可得，即=，
∴，方程无解，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，解得S=（舍弃），
③当点E在线段CN上时，5＜S≤6，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=5，CJ=3，BJ=4，
∵EH=BJ=4，JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，
∴△GHC≌△EFB，不符合题意，
④当点E在线段DN上时，6＜S＜10，
∵∠EFB＞90°，
∴△GHC与△BEF不相似．
综上所述．满足条件的S的值为或或．
24.【答案】解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式y=x2-2x-3；
（2）抛物线y=x2-2x-3的对称轴是：
，
∵PQ⊥y轴，且点Q在抛物上，
∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称，
∴，
解得：m=-2；
∴m的值为-2；
（3）∵点P的横坐标为m,
∴点P关于对称轴的对称点P′的横坐标为2-m；
①当m＜1时，
2-m≤-2m,
解得：m≤-2，
∴m≤-2；
②当m=1时，只有一个交点，显然不符合题意；
③当m＞1时，
-2m＜2-m,
解得：m＞-2，
∴m＞1；
∴m≤-2或m＞1；
（4）当m＜-1时，点M在x轴下方，
由（2）可知：当m≤-2时，线段PQ与抛物线有两个交点，
∴抛物线在△PQM内有两部分，对称轴右侧的部分不符合题意；
当m=-1时，P与M重合，不符合题意；
∴当-2≤m＜-1时，抛物线在△PQM内只有对称轴左侧的部分，符合题意，
∴-2≤m＜-1；
当m＞-1时，点M在x轴上方，同理可求0＜m＜4；
∴m的取值范围为-2≤m＜-1或0＜m＜4．
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