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第七章第五节 机械能守恒定律
题型1 天体运动中机械能的变化 题型2 功是能量转化的过程和量度
题型3 常见力做功与相应的能量转化 题型4 机械能的概念与组成
题型5 计算物体的机械能 题型6 动能与势能的相互转化
题型7 机械能守恒定律的内容和条件 题型8 判断机械能是否守恒及如何变化
题型9 机械能守恒定律的简单应用 题型10 弹簧类问题中的机械能守恒
题型11 机械能与曲线运动相结合的问题 题型12 多物体系统的机械能守恒问题
题型13 从能量角度求解传送带问题 题型14 从能量角度求解板块模型的问题
题型15 机械能与图像相结合的问题 题型16 验证机械能守恒定律
▉题型1 天体运动中机械能的变化
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。
2.卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。
3.加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。
1．2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化，如图，轨道Ⅰ为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　）
A．飞船在椭圆轨道Ⅰ上经过远地点P的速度大于经过近地点Q的速度
B．飞船在椭圆轨道Ⅰ上稳定运行时机械能不守恒
C．飞船在轨道Ⅰ的运行周期大于空间站在轨道Ⅱ的运行周期
D．飞船要想从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅱ，需要在P点点火加速
【答案】D
【解答】解：A.由开普勒第二定律，可知飞船在椭圆轨道Ⅰ上远地点的速度小于近地点的速度，故A错误；
B.由于只有万有引力作用，飞船在椭圆轨道Ⅰ上运行时机械能守恒，故B错误；
C.由开普勒第三定律，可知飞船在轨道Ⅰ的运行周期小于空间站在轨道Ⅱ的运行周期，故C错误；
D.飞船由内轨道向外轨道变轨，必须点火加速做离心运动才能完成，故D正确。
（多选）2．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（　　）
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解答】解：A、海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以P到M所用的时间小于，故A错误。
B、从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误。
C、从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故C正确。
D、根据万有引力方向与速度方向的关系知，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，故D正确。
故选：CD。
3．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以v0＝10m/s的速度从h＝10m的高度水平抛出，测得落到星球表面A时速度与水平地面的夹角为θ＝60°。已知该星球半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度g＝10m/s2。则：
（1）若物体质量m0＝0.1kg，则宇航员抛出物体时对物体做的功W是多少？
（2）该星球表面的重力加速度g′是多少？
（3）该星球的质量是地球的几倍？
【答案】（1）宇航员抛出物体时对物体做的功W是5J；
（2）该星球表面的重力加速度g′是15m/s2；
（3）该星球的质量是地球的6倍。
【解答】解：（1）由动能定理可知抛出时宇航员对物体做的功
代入数据解得W＝5J
（2）星球表面平抛物体，水平方向做匀速直线运动，则有 vx＝v0＝10m/s
竖直方向自由落体，根据
解得
根据几何关系有
解得g′＝15m/s2
（3）对地球表面的物体，其重力等于万有引力
对星球表面的物体m，其重力等于万有引力
联立解得
所以星球质量是地球质量的6倍
答：（1）宇航员抛出物体时对物体做的功W是5J；
（2）该星球表面的重力加速度g′是15m/s2；
（3）该星球的质量是地球的6倍。
4．北斗卫星导航系统是由中国自主研发、独立运行的全球卫星导航系统。如图1，a、b、c为北斗系统的三颗卫星，已知它们绕地球做匀速圆周运动的半径分别为ra、rb、rc，且ra＝rb＞rc。
（1）（多选）卫星a、b、c的线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，则　BD　 。
A.
B.
C.
D.
（2）导航卫星的发射速度应　B　 。
A.小于第一宇宙速度
B.大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度
C.大于第二宇宙速度
（3）如图2是卫星发射的模拟示意图，先将卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星质量的变化。
①卫星在轨道Ⅱ上稳定运动时从A点运动到B点的过程中，卫星的引力势能　A.增大　 （A.增大；B.减小；C.不变），动能　B.减小　 （A.增大；B.减小；C.不变）。
②卫星沿轨道Ⅰ运动到A点的加速度aⅠ与沿轨道Ⅱ运动到A点的加速度aⅡ大小关系为　B　 。
A.aⅠ＞aⅡ
B.aⅠ＝aⅡ
C.aⅠ＜aⅡ
③卫星沿轨道Ⅲ运动的周期TⅢ与沿轨道Ⅱ运动的周期TⅡ大小关系为　A　 。
A.TⅢ＞TⅡ
B.TⅢ＝TⅡ
C.TⅢ＜TⅡ
④卫星在轨道Ⅰ的机械能　C　 在轨道Ⅲ机械能。
A.大于
B.等于
C.小于
【答案】（1）BD（2）B（3）①A.增大、B.减小；②B；③A；④C
【解答】解：（1）由题可知，卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，因此有mω2r，由此可知卫星的绕行速度与半径间的关系为v2与r成反比，卫星的绕行角速度与半径间的关系为ω2与r3成反比，故BD正确，AC错误。
故选：BD。
（2）第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，同时也是发射卫星的最小速度，第二宇宙速度是逃离地球引力范围的速度，因此发射人造卫星的速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故B正确，AC错误。
故选：B。
（3）①卫星在轨道Ⅱ上运动时，机械能守恒，距离地球越远，引力势能越大，从A点至B点的运动过程中，卫星的动能转化为引力势能，因此引力势能增大，动能减小。
②根据牛顿第二定律可知F＝ma，a，卫星的加速度仅与受力有关，卫星从两个轨道上运动至A点时，都是仅受到地球的引力作用，因此受力相同，因此加速度相同，故B正确，AC错误。
故选：B。
③根据开普勒第三定律可知，K，其中a为椭圆轨道的半长轴或者圆形轨道的半径长度，a3与T2成正比，因为轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，因此TⅢ＞TⅡ，故A正确，BC错误。
故选：A。
④卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程为，先在轨道Ⅰ点火加速变轨至轨道Ⅱ，再从轨道Ⅱ点火加速变轨至轨道Ⅲ，因此从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ经过了两次点火加速，推力对卫星做正功，卫星机械能增大，因此机械能增大，故C正确，AB错误。
故选：C。
故答案为：（1）BD（2）B（3）①A.增大、B.减小；②B；③A；④C。
▉题型2 功是能量转化的过程和量度
【知识点的认识】
1、功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2、做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。
5．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m（包括雪具在内）的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度大小为，在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动员减少的重力势能全部转化为动能
B．运动员获得的动能为
C．摩擦力对运动员做功为
D．下滑过程中系统减少的机械能为
【答案】D
【解答】解：A、人在下滑过程中受到重力、支持力及摩擦力的作用，存在摩擦生热，所以运动员减少的重力势能转化为动能和内能，故A错误；
B、由牛顿第二定律可知，人受到的合力F＝mamg，合力的功W＝Fsmgmgh；由动能定理可知，运动员获得的动能为mgh；故B错误；
C、物体合外力F＝mgsinθ﹣Ffmg，故摩擦力大小为 Ff＝mgsin30°mgmg；运动员克服摩擦力所做的功Wfmgmgh，摩擦力对运动员做功mgh，故C错误；
D、根据功能关系知，运动员克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，故机械能减小了mgh；故D正确。
故选：D。
6．有关功与能的下列说法中正确的是（　　）
A．功是能量转化的量度，功的正负表示大小
B．重力势能具有相对性和系统性，势能的正负表示大小
C．沿竖直方向用手加速向上提水桶时，拉力做的功等于水桶重力势能的增加量
D．坐升降电梯上楼时，电梯对人做的功等于人动能的增加量
【答案】B
【解答】解：A.功是能量转化的量度，功的正负表示动力做功还是阻力做功，不表示功的大小，故A错误；
B.重力势能具有相对性和系统性，势能的正负表示大小，故B正确；
C.竖直方向用手加速向上提水桶时，根据能量守恒可知，拉力做的功等于水桶重力势能的增加量和动能增加量之和，故C错误；
D.坐升降电梯上楼时，电梯对人做的功等于人动能的增加量和重力势能增加量之和，故D错误。
故选：B。
7．我国风洞技术世界领先，如图所示，在模拟风洞管中的光滑斜面上，斜面上端接有一弹簧，一个小物块受到沿斜面方向的恒定风力作用，沿斜面加速向上运动，则从物块接触弹簧至到达最高点的过程中（　　）
A．物块加速度先增大后减小
B．弹簧弹性势能先增大后减小
C．物块的机械能一直增大
D．物块和弹簧组成的系统机械能一直增大
【答案】D
【解答】解：A．物块与弹簧接触后沿斜面向上做加速运动，风对物块的作用力大于物块重力沿斜面向下的分力，物块所受合力沿斜面向上，物块与弹簧接触后受到弹簧沿斜面向下的弹力作用，开始物块受到的合力沿斜面向上，物块做加速运动，随物块向上运动，弹簧的压缩量增大，弹簧弹力增大，物块所受合力减小，加速度减小，物块向上做加速度减小的加速运动，加速度减小到0后，随弹簧弹力的增大，合力反向向下，物块的合力反向增大，做加速度增大的减速运动，所以整个过程物块先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，故A错误；
B．从物块接触弹簧至到达最高点的过程中弹簧的压缩量一直增大，弹簧的弹性势能一直增大，故B错误；
C．物块与弹簧接触后沿斜面向上做加速运动，开始是风力大于弹簧力，弹簧对物体做正功，物体机械能增加，之后，风力可能小于弹簧力，则弹簧对物体做负功，机械能可能减少；故C错误；
D．从物块接触弹簧至到达最高点的过程中，风的作用力对物块与弹簧组成的系统一直做正功，系统机械能的变化量等于重力和弹力以外的力做的功，所以物块和弹簧组成的系统机械能一直增大，故D正确。
故选：D。
（多选）8．如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端，现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端，以下判断中正确的是（　　）
A．此时物块的动能变化为F（s+l）
B．此时小车的动能变化为f（s+l）
C．这一过程中，物块和小车间产生的内能为fl
D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为F（s+l）﹣fl
【答案】CD
【解答】解：A．对物块，根据动能定理有
（F﹣f）（s+l）＝Ek﹣0
所以物块动能变化为（F﹣f）（s+l），故A错误；
B．物块对小车有摩擦力作用，对小车有
fs＝E'k
所以小车的动能变化为fs，故B错误；
C．系统产生的内能Q等于系统克服摩擦力做功，为fl，故C正确；
D．由能量守恒定律，有
F（l+s）＝ΔE+Q
则物块和小车增加的机械能为
ΔE＝F（l+s）﹣Q＝F（l+s）﹣fl
故D正确。
故选：CD。
▉题型3 常见力做功与相应的能量转化
【知识点的认识】
1．内容
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。
2．高中物理中几种常见的功能关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加
一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加
9．如图所示，一根粗细均匀的光滑细杆竖直固定，与细杆相距d处固定一个轻质光滑的小滑轮。质量均为m的小物体A、B用轻弹簧相连，竖直放在水平面上，没有弹性的轻绳一端与物体A相连，另一端与穿在细杆上、质量也为m的小环C相连。将小环C拉至P点时，轻绳与细杆的夹角为θ，物体B刚好对水平面无压力。现让小环C从P点由静止释放，依次经过M点和N点，M点与滑轮等高，P点和N点关于M点对称。已知小环经过M点时，弹簧处于原长状态，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　）
A．轻弹簧的劲度系数为
B．小环从P点运动到M点的过程中，弹簧弹性势能的减少量大于小环动能的增加量
C．小环经过N点时，物体A的速度大小为
D．小环经过N点时，物体A的速度大小为
【答案】C
【解答】解：A、根据题意可知，将小环C拉至P点时，轻绳与细杆的夹角为θ，物体B刚好对水平面无压力，故小球在P点时根据胡克定律可得
可得
故A错误；
B、根据题意可知，小环运动到M点时A的速度为零，该过程由能量关系可知，小环与A的重力势能减小量与弹簧弹性势能的减小量之和等于小环动能的增加量，可知该过程中弹簧弹性势能的减少量小于小环动能的增加量，故B错误；
CD、根据题意可知，因P点和N点关于M点对称，则小环经过N点时，v环cosθ＝vA
由能量关系
解得物体A的速度大小为
故C正确，D错误。
故选：C。
10．质量为m的物体，被人用手由静止向上提升了h，这时物体的速度为v，则下列说法中正确的是（　　）
A．手对物体做功mgh
B．重力对物体做功mgh
C．合外力对物体做功
D．物体的机械能变化量为
【答案】D
【解答】解：对物体从静止到提升h，根据动能定理：W合，可知合力对物体做功为；
由重力的方向、物体移动的位移方向，可知重力对物体做的功：WG＝﹣mg×h＝﹣mgh。
手对物体做的功；
由功能关系，可知除重力外，其他力做功等于机械能的变化量，即：W手＝ΔE机，，故ABC错误，D正确。
故选：D。
11．如图所示，将质量为m的小球从高为h处以初速度水平抛出，落地时速度大小为v，方向与水平面成θ角，空气阻力不能忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．重力对小球做的功为
B．落地时小球重力的功率为mgv
C．合外力对小球做的功为
D．空气阻力对小球做的功为
【答案】D
【解答】解：ACD．从水平抛出到落地，根据动能定理
其中重力做功为
WG＝mgh
设空气阻力做功为Wf，则
W合＝WG+Wf
解得
故AC错误，D正确；
B．落地时小球的竖直速度为vy，重力的功率为
P＝mgvy＝mgvsinθ
故B错误。
故选：D。
12．如图所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的轻弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1m处，滑块与弹簧不拴接．现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h并作出滑块的动能Ek﹣h图象，其中h＝0.18m时对应图象的最顶点，高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线，其余为曲线，取g＝10m/s2，由图象可知（　　）
A．滑块的质量为0.18kg
B．弹簧的劲度系数为10N/m
C．滑块运动的最大加速度为40m/s2
D．弹簧的弹性势能最大值为0.7J
【答案】C
【解答】解：A、在从0.2m上升到0.35m范围内，ΔEk＝ΔEP＝mgΔh，图线的斜率绝对值为：kN＝2N＝mg，则m＝0.2kg，故A错误；
B、在Ek﹣h图象中，图线的斜率表示滑块所受的合外力，由于高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线，其余部分为曲线，说明滑块从0.2m上升到0.35m范围内所受作用力为恒力，所以从h＝0.2m，滑块与弹簧分离，弹簧的原长的0.2m，当弹簧弹力等于重力时，物块的速度最大，B根据图象可知，此时h＝0.18m，则有：mg＝kΔx，解得：，故B错误；
C、滑块静止释放后做加速度减小的加速运动，当弹簧弹力等于重力时，加速度为0，物块的速度最大，所以物块在释放瞬间加速度最大．由牛顿第二定律可得：，故C正确；
D、根据能的转化与守恒可知，当滑块上升至最大高度时，增加的重力势能即为弹簧最大弹性势能，所以Epm＝mgΔh＝0.2×10×（0.35﹣0.1）＝0.5J，故D错误．
故选：C。
（多选）13．如图（a）所示，一木块沿倾角为θ的固定斜面由静止开始下滑，下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图（b）所示。下列说法中正确的是（　　）
A．物块在斜面做匀加速直线运动
B．图线a斜率的绝对值表示木块所受合力的大小
C．位移从0增大x0过程中，木块的重力势能减小了E0
D．木块与斜面间动摩擦因数
【答案】AD
【解答】解：木块匀加速下滑位移x0，动能增加2E0，机械能减少E0，故重力势能减小了3E0，
由功能关系可知，a图线斜率绝对值表示摩擦力大小，即
b图线斜率表示合外力大小，即
由以上两式联立得，故AD正确，BC错误；
故选：AD。
（多选）14．如图所示，倾角θ＝30°的传送带以大小为4m/s的速度顺时针匀速运行，一质量为1kg的工件（视为质点）以大小为8m/s的初速度从传送带的底端A冲上传送带，并恰好能到达传送带的顶端B，随即滑回A端。工件与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．工件沿传送带上滑的时间为2.5s
B．工件返回A端时的速度大小为4m/s
C．工件在传送带上的整个过程中，摩擦力对工件做的功为﹣18J
D．工件在传送带上的整个过程中，因摩擦产生的热量为15J
【答案】AC
【解答】解：A、工件所受重力沿传送带向下的分力大小为G1＝mgsinθ＝0.5mg，滑动摩擦力大小为f＝μmgcosθ＝0.3mg
当工件的速度大于传送带的速度时，工件受到沿传送带向下的滑动摩擦力，所以工件沿传送带向上做匀减速运动。
根据牛顿第二定律可得上滑的加速度大小为a1，代入数据解得a1＝8m/s2
工件从A端上滑至与传送带速度相同的时间为t1s＝0.5s
此后工件继续向上做匀减速运动，上滑的加速度大小为a2，代入数据解得a2＝2m/s2
从工件与传送带达到共同速度至工件到达B端的时间为t2s＝2s
故工件沿传送带上滑的时间为t＝t1+t2＝0.5s+2s＝2.5s，故A正确；
B、A、B两端的距离为L，解得：L＝7m
设工件返回A端时的速度大小为v′，则有
v′2＝2a2L
解得：，故B错误；
C、工件在传送带上的整个过程中，根据动能定理可知摩擦力对工件做的功W，代入数据解得：W＝﹣18J，故C正确；
D、工件从B端下滑至A端的时间为t′ss
工件在传送带上滑行的过程中，因摩擦产生的热量为
Q＝f（vt1）+f（vt2）+f（vt′+L），代入数据解得：Q＝（36+12）J，故D错误。
故选：AC。
（多选）15．如图1所示，在水平光滑台面上有一端固定的轻质弹簧，弹簧处于自然长度时其自由端位于O点。平台的右端有一与平台等高的传送带，传送带两轮中心间距离为L＝1.6m，以v＝3m/s的速度逆时针匀速运行。现将一质量为m＝0.1kg的物块置于平台上，并对其施加一水平向左的推力F，在推力F作用下物块缓慢压缩弹簧，且知F与弹簧的压缩量x间的关系如图2所示，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度 g取10m/s2。若某时刻撤去推力F，则下列判断正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为160N/m
B．欲使物块从传送带右端离开传送带，弹簧压缩量至少为10cm
C．若当弹簧压缩量x＝12cm时，撤去推力F，则物块与传送带间因摩擦而产生的热量为0.8J
D．若当弹簧压缩量x＝6cm时，撤去推力F，则物块将在平台与传送带间不停地往返运动
【答案】ABD
【解答】解：A．对物块施加一水平向左的推力F，物块缓慢移动，推力F等于弹簧弹力，即
F＝kx
由图2可求弹簧的劲度系数为
代入数据解得：k＝160N/m，故A正确；
B。要使物块从传送带右端离开传送带
初速度
v0≥4m/s
根据图2知其面积为推力F做的功，由功能关系可知
即
代入数据解得：x≥0.1m，故B正确；
C．若x＝12cm＞10cm，物块一定从传动带右端脱离，则物块相对传动带的位移
s＞L＝1.6m
由功能关系
Q＝fs＞μmgL
Q＝0.8J，故C错误；
D．若x＝6cm＜10cm，物块从左侧以
v＝2.4m/s的速度滑上传送带，速度减小至零然后在滑动摩擦力作用下向左匀加速运动，脱离传动带时速度大小依然为2.4m/s，然后压缩弹簧至x＝6cm，再向右加速重复上述运动。物块将在平台与传送带间往返运动下去，故D正确。
故选：ABD。
▉题型4 机械能的概念与组成
【知识点的认识】
1.追寻守恒量：在伽利略的斜面实验中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是守恒的。
2.重力势能可以与动能相互转化。
3.弹性势能可以与动能相互转化。
4.机械能：①重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
②机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
16．2016年9月15日，我国的空间实验室天宫二号在酒泉成功发射．9月16日，天宫二号在椭圆轨道Ⅰ的远地点A开始变轨，变轨后在圆轨道Ⅱ上运行，如图所示，A点离地面高度约为380km，地球同步卫星离地面高度约为36000km．若天宫二号变轨前后质量不变，则下列说法正确的是（　　）
A．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点A点的速度一定大于7.9km/s
B．天宫二号在轨道Ⅰ上运行的周期可能大于在轨道Ⅱ上运行的周期
C．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过近地点B的速度一定大于Ⅱ轨道的速度
D．天宫二号在轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ机械能减少
【答案】C
【解答】解：A、根据v可知，天宫二号在轨道Ⅱ上运行速度小于在近地轨道上运行速度，即小于7.9km/s。从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点必须加速，则天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点A点的速度一定小于Ⅱ轨道的速度，所以天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点A点的速度一定小于7.9km/s，故A错误；
B、轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，由开普勒第三定律k知，天宫二号在轨道Ⅰ上运行的周期一定小于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B错误；
C、从近地轨道变轨到轨道Ⅰ上，在B点必须加速，所以天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过近地点B的速度一定大于第一宇宙速度7.9km/s，则天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过近地点B的速度一定大于Ⅱ轨道的速度，故C正确；
D、天宫二号在轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ要加速，机械能增加，故D错误。
故选：C。
▉题型5 计算物体的机械能
【知识点的认识】
1.物体或系统的机械能由动能、重力势能及弹性势能组成，计算物体或系统的机械能时，先分别计算动能、重力势能及弹性势能，再求解机械能。
2.在实际应用过程中，如果系统的机械能守恒，则只需要计算出某一时刻的机械能，那么任意时刻的机械能都与其相等。
17．如图，甲、乙两个单摆悬挂在同一水平天花板上，两摆球间用一根细线水平相连，两摆线与竖直方向的夹角θ1＞θ2。当细线突然断开后，两摆球都做简谐运动，以水平地面为零势能面，可知（　　）
A．甲摆的周期等于乙摆的周期
B．甲摆球的最大重力势能小于乙摆球的最大重力势能
C．甲摆球的最大速度小于乙摆球的最大速度
D．甲摆球的机械能等于乙摆球的机械能
【答案】B
【解答】解：A．甲、乙两个单摆悬挂在同一水平天花板上，两摆球间用一根细线水平相连，则两个单摆静止时离天花板的高度相同，则有L甲cosθ1＝L乙cosθ2，因θ1＞θ2，可得L甲＞L乙，即甲单摆的摆长更长。
根据单摆周期公式，可知甲摆的周期大于乙摆的周期，故A错误；
BD．两球开始处于平衡，则水平绳子拉力FT＝m甲gtanθ1＝m乙gtanθ2，θ1＞θ2，可得m甲＜m乙
以水平地板为参考面，由题可知，两球离水平的高度相等，根据Ep＝mgH，故甲球的最大重力势能小于乙球的最大重力势能，又两球在摆动过程中，机械能守恒，故甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能，故B正确，D错误；
C．根据机械能守恒有，解得
因甲球下降的高度大于乙球下降的高度，故甲摆球的最大速度大于乙摆球的最大速度，故C错误。
故选：B。
18．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，以地面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为（　　）
A．0 B．mgh C．mgH D．mg（H+h）
【答案】D
【解答】解：以地面为参考平面，小球在最高点时机械能为：E＝mg（H+h）
小球下落过程中机械能守恒，则小球落到地面前瞬间的机械能等于它在最高点时的机械能，即E′＝E＝mg（H+h）。故ABC错误，D正确。
故选：D。
19．2024年8月29日10点07分38秒，中国空间站过境连云港上空凌日，这仅仅0.5秒的震撼瞬间被地面摄影师精准定格。在照片上，中国空间站只是一个小点，但这凝聚了中国航天人三十年的追梦历程，承载着祖国航天事业的奋斗征程。
（1）将空间站凌日过程的视频通过逐帧叠加处理，获得如图所示的照片，从图中可以数出中国空间站凌日过程留下的点数约为20个，由此可确定拍摄帧率最接近 　C　 。
A．0.4Hz
B．4Hz
C．40Hz
D．400Hz
（2）空间站凌日过程中，下列表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图合理的是 　A　 。
（3）某同学利用照片估算太阳的密度。他在照片中画了两条线段：AB是空间站运动轨迹的连线，AC是太阳所成像的直径，测出两线段间夹角θ。已知空间站的轨道离地面高为h，飞行速度为v，地面上观察者测得本次空间站凌日时长为t，地球绕日公转周期为T，万有引力常量为G。
①用r日地表示地球和太阳间的距离，R日表示太阳的半径，则下列关系式正确的是 　A　 。
A．R日r日地
B．R日r日地
C．R日r日地
D．R日r日地
②若已知R日＝kr日地，估算太阳的平均密度为 　　 ；
③若空间站中计时器测得凌日时长为t′，仅考虑狭义相对论效应，则 　C　 。
A．t′略大于t
B．t′等于t
C．t′略小于t
（4）设空间站质量为m，运行轨道离地面的高度为h，运行速度大小为v，地球半径为R，万有引力常量为G，则地球的质量为 　　 ；以无穷远处为零势能面，空间站在轨道上正常运行时的机械能为 　　 。
【答案】（1）C，（2）A，（3）①A，②，③C，（4），。
【解答】解：（1）拍摄周期为
则拍摄帧率为
故选：C。
（2）空间站凌日现象类似于日食现象，是由于光沿直线传播形成的。当空间站运行到太阳和地球之间，并且三者在同一条直线上时，从地球上看，空间站会遮挡住太阳的一部分，就会发生空间站凌日现象。所以太阳、空间站、地球三者的位置关系应该是太阳、空间站、地球依次排列，A选项符合该位置关系，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（3）①根据匀速直线运动位移公式
x＝vt
空间站飞行速度为v，凌日时长为t，则空间站在凌日时长t内运动的距离
AB＝vt
由几何关系可知
联立解得
故A正确，BCD错误。
故选：A。
②地球绕太阳运动，有
联立解得太阳质量为
因为太阳密度为
联立解得
③根据题意，结合狭义相对论有
故C正确，AB错误。
故选：C。
（4）根据万有引力提供向心力可得
解得
以无穷远处为零势能面，空间站在轨道上正常运行时的动能为
引力势能为
机械能为
E＝Ek+Ep
联立，解得
故答案为：（1）C，（2）A，（3）①A，②，③C，（4），。
▉题型6 动能与势能的相互转化
【知识点的认识】
1.重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
2.通过重力做功，机械能可以在动能与重力势能之间转化；通过弹力做功，机械能可以在动能与弹性势能之间转化。
20．如图，两个完全相同的小球分别在真空和油中由静止释放，都从高度为h1的地方下落到高度为h2的地方，这两种情况下（　　）
A．重力做功不相等
B．重力做功的功率相等
C．到达高度h2时的动能相等
D．重力势能的变化量相等
【答案】D
【解答】解：AD、根据题意可知，两个完全相同的小球都从高度为h1的地方下落到高度为h2的地方，下落高度相同，根据功的计算公式有，WG＝mg（h1﹣h2）
可知重力做功相等；根据ΔEp＝﹣WG可知，重力势能的变化量相等，故A错误，D正确；
B、根据题意可知，在真空中小球只受重力作用，加速度为重力加速度；
在油中，小球受重力和阻力作用，加速度小于重力加速度，则两球运动时间不相等，根据
可知两球重力做功的功率不相等，故B错误；
C、甲球下落过程中只有重力做功，乙球下落过程中除重力做功外，还克服阻力做功，根据动能定理W合＝ΔEk，合力对两球做功不相等，根据动能定理有，两球动能变化不相等，即两球到达高度h2时的动能不相等，故C错误。
故选：D。
21．生命不停息，运动不止步。运动让生活很美好，各类运动过程都遵循某种物理规律。
（1）我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图1中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中，哪几个位置与速度v的方向相反？在图中标出这些位置。
（2）篮球比赛中弹跳和摸高很重要，小丁身高1.7m，质量为70kg，站立时摸高2.0m，跳起时摸高2.6m。选取地面为重力势能零势能面。忽略跳跃过程姿态变化对人体重心的影响，认为人的保持正立姿态，重心维持在身高一半处。则小丁跳到最高时的重力势能为 　1015　 J，在立定跳高过程中重力势能最多增加了 　420　 J。
（3）一个标准合格的篮球质量为0.6kg，当地重力加速度g取10m/s2。为了检验一篮球弹性性能，某同学将篮球从H1＝1.8m高处自由下落，能够自由弹跳到H2＝1.25m米高度处，如果不考虑篮球在运动中转动和所受的空气阻力。若取向下为正方向，则篮球刚和地面刚接触时的速度大小为 　6　 m/s。篮球在与地面碰撞过程中，动量改变量Δp＝ 　﹣6.6　 kg m/s，地面对篮球所做的功W＝ 　﹣3.3　 J。
（4）（论证）小张同学通过实验研究他传球时篮球的运动，得到了篮球在Oxy平面上运动的一条运动轨迹，在平面直角坐标系中如图2中OP曲线所示。他根据物体运动轨迹的特点作出了猜想：如果物体在y方向做匀速直线运动，那么物体在x方向必定做匀加速直线运动。小张同学的猜想是否成立？要求通过作图给出分析方法。
【答案】（1），（2）1015，420，（3）6，﹣6.6，﹣3.3，（4）成立，分析如上图所示。
【解答】解：（1）运动员做曲线运动，入水时速度方向竖直向下；在图中的点2、4位置速度方向与入水时速度方向相同；在图中的点1、3、5位置速度方向与入水时速度方向相反；在点1、3、5位置位置与v的方向相反，如图所示
（2）人站立时重心距地面的高度为
跳到最高时重心距地面的高度为
h′＝h+（H′﹣H）＝0.85m+（2.6﹣2.0）m＝1.45m
此人跳到最高时的重力势能值为
Ep＝mgh′＝70×10×1.45J＝1015J
在起跳过程中重力做功为
W＝﹣mg（H′﹣H）＝﹣70×10×（2.6﹣2.0）J＝﹣420J
故重力势能最多增加420J。
（3）篮球刚和地面接触时的速度大小为
篮球反弹的速度大小为
若取向下为正方向，动量改变量为
Δp＝m（﹣v2）﹣mv1＝﹣0.6×5kg m/s+0.6×（﹣6）k m/s＝﹣6.6kg m/s
根据动能定理，地面对篮球做功
代入数据解得
W＝﹣3.3J
（4）分别作出t时刻、2t时刻、3t时刻等对应的纵横坐标，如图所示
ΔpΔ
在y轴方向作出距离相等的点y、2y、3y，由于在y轴方向做匀速运动，则相邻两点间的时间间隔T相等，再在图像中找到y，2y、3y对应的横坐标x、x′、x″，用刻度尺测出横坐标的大小满足x：x′：x''： ＝1：4：9 即可验证。
故答案为：（1），（2）1015，420，（3）6，﹣6.6，﹣3.3，（4）成立，分析如上图所示。
▉题型7 机械能守恒定律的内容和条件
【知识点的认识】
1.推导
如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功由动能定理可得
W
又W＝mgh1﹣mgh2，
可得mgh1﹣mgh2，
移项后得mgh2mgh1，即物体末状态的动能与势能之和等于物体初始状态的动能与势能之和。
2.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
3.表达式
（1）守恒式：Ek1+EP1＝Ek2+EP2
意义：系统任一时刻的机械能均是相等的
（2）转化式：ΔEk＝﹣ΔEP
意义：系统动能的增加量等于势能的减少量
（3）转移式：ΔEA＝﹣ΔEB
意义：系统内一部分物体机械能的增加量等于其余部分机械能的减少量
4.条件
只有重力或系统内弹力做功，只有重力或系统内弹力做功的说法包括三种情况：
（1）只受到重力。
（2）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，但其他力不做功。
（3）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，其他力所做总功为零
22．（1）一物体在空中匀速下降时，不断变小的能量是 　C　 。
A.动能
B.动能、重力势能
C.重力势能、机械能
D.动能、重力势能、机械能
（2）如图，一小球A从某高处由静止开始自由下落，选择不同平面为参考平面，下落过程中小球具有的能量及其变化情况如表所示，请在表格中将未填写的数据补充完整。
所选择的参考平面 下落初始时刻的机械能E1 下落到地面时的机械能E2 下落到地面时的重力势能Ep 下落过程中重力势能变化量ΔEp 下落到地面时的动能Ek
四楼地面 （1）　﹣2.5　 J ﹣1.5J （3）　﹣7.5　 J （4）　﹣7　 J 6J
一楼地面 7J （2）　6　 J 0 ﹣7J
（3）物体（在赤道上）落地之后随地球自转的向心加速度为a，要使此物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的 　B　 。
A.
B.
C.
D.
（4）如图所示，将完全相同的小球1、2、3分别从同一高度由静止释放（图甲和图丙）或平抛（图乙），其中图丙是一固定在地面上的光滑斜面，每个小球从开始运动到落地过程，不计空气阻力，下列说法正确的是 　A　 。
A.小球3落地瞬间的重力的功率最小
B.3个小球落地瞬间的速度大小相等
C.该过程中，小球3的重力做功最多
D.该过程中，3个小球的重力做功的平均功率相等
（5）如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变。则：
①重力的功率 　D　 。
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
②阻力做功大小为 　　 。
（6）一小球以速度v0竖直向上抛，设抛出位置为零势能面，则：
①忽略空气阻力，当小球距离抛出位置距离为 　　 时，小球的动能是其重力势能的一半。
②考虑空气阻力且阻力恒定，上升的最大高度为H（此时v0未知），在上升到离地面高度为h时，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h时，小球的势能是动能的2倍，则h等于 　D　 。
A.
B.
C.
D.
（7）小明用额定功率为1200W、最大拉力为300N的提升装置，把静置于地面的质量为20kg的重物竖直提升到高为85.2m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5m/s2的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零，则：
①重物匀速上升时速度为多大？
②若要用最短时间提升重物，定性画出物体运动的v﹣t图像。
③提升重物的最短时间为多少？
【答案】（1）C；（2）﹣2.5；﹣7.5；﹣7；6；（3）B；（4）A；（5）①D；②；（6）①；②D；（7）①重物匀速上升时速度为6m/s；②图像见解析；③提升重物的最短时间为15.5s。
【解答】解：（1）一物体在空中匀速下降时，动能不变、重力势能减小，根据机械能的概念可知机械能减小，故C正确、ABD错误；
故选：C。
（2）如果选取一楼地面为零势能面，小球下落到地面时的动能为6J，则机械能损失1J。
如果选取四楼地面为零势能面，则有：E1＝E2﹣1J＝﹣1.5J﹣1J＝﹣2.5J；
下落到地面时的动能Ek＝6J，则根据机械能守恒定律可得下落到地面时的重力势能为：Ep＝E2﹣Ek＝﹣1.5J﹣6J＝﹣7.5J；
重力势能变化量与零势能面的选取无关，则重力势能变化量为：ΔEp＝﹣7J；
如果选取一楼地面为零势能面，小球下落到地面时的动能为6J，则机械能损失1J，下落到地面时的机械能为：E＝7J﹣1J＝6J。
故答案为：﹣2.5；﹣7.5；﹣7；6。
（3）物体在赤道上随地球自转时，有a；
物体随地球自转时，赤道上物体受万有引力和支持力，支持力等于重力，即：F﹣mg＝ma；
物体“飘”起来时只受万有引力，故：F＝ma′
故a′＝g+a，即当物体“飘”起来时，物体的加速度为g+a，则有：g+aR
解得：，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（4）B、对小球1，根据动能定理可得：mgh，解得：v1
对小球2，根据动能定理可得：mgh，解得：v2
对小球3，根据动能定理可得：mgh，解得：v3
则落地瞬间速度大小关系为：v1＝v3＜v2，故B错误；
A、落地瞬间重力的功率为：P＝mgvy
则对小球1有：P1＝mgv1＝mg
对小球2有：P2＝mgvy2＝mgmg
对小球3有：P3＝mgvy3＝mgsin45°×v3＝mg
所以落地瞬间重力的功率大小关系为：P1＝P2＞P3，故A正确；
C、重力做功的特点与路径无关，只与初末位置的高度差决定，所以该过程重力做功：W1＝W2＝W3，故C错误；
D、全程重力做功的平均功率为：
三个小球下落的时间关系为：t1＝t2＜t3
所以全程重力做功的平均功率大小关系为：P1＝P2＞P3，故D错误。
故选：A。
（5）①最初，小球的速度为零，重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，所以，重力做功的功率先增大后减小，故D正确，ABC错误；
故选：D。
②空气阻力的大小不变，空气阻力的方向始终与速度方向相反，所以空气阻力对小球做功为：W阻＝﹣f。
（6）①忽略空气阻力，小球的机械能守恒，有：mghmgh
解得：h；
②设小球受到的阻力大小恒为f，小球上升至最高点过程，由动能定理得：﹣mgH﹣fH＝0
小球上升至离地高度h处时速度设为v1，由动能定理得：﹣mgh﹣fh
又由题有：2mgh
小球上升至最高点后又下降至离地高度h处时速度设为v2，此过程由动能定理得：﹣mgh﹣f（2H﹣h）
又由题有：2mgh
以上各式联立解得：h，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（7）①当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，然后做匀速运动，此时拉力：F＝mg
提升装置功率：P额＝Fvm
联立解得：vm＝6m/s；
②重物受最大拉力开始加速时，根据牛顿第二定律得：Fm﹣mg＝ma1
解得：a1＝5m/s2；
开始以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好为零，画出重物运动的速度—时间（v﹣t）图像如图所示：
③重物在第一阶段做匀加速上升过程，当功率达到额定功率时，设重物的速度为v1，则有：P额＝Fmv1
解得：v1＝4m/s
此过程中所用的时间和上升的高度分别为：
t1s＝0.8s
h1，解得：h1＝1.6m
重物以最大速度匀速时，速度为vm＝6m/s，重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升的高度分别为
t3s＝1.2s
h3，解得：h3＝3.6m
设重物从匀加速结束到开始做匀减速运动所用的时间为t2，对该过程根据动能定理得：P额t2 mgh2
又h2＝85.2m﹣1.6m﹣3.6m＝80m
联立解得：t2＝13.5s
故总时间为：t＝t1+t2+t3＝0.8s+13.5s+1.2s＝15.5s。
故答案为：（1）C；（2）﹣2.5；﹣7.5；﹣7；6；（3）B；（4）A；（5）①D；②；（6）①；②D；（7）①重物匀速上升时速度为6m/s；②图像见解析；③提升重物的最短时间为15.5s。
▉题型8 判断机械能是否守恒及如何变化
【知识点的认识】
1.机械能守恒的条件为：
（1）只受到重力。
（2）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，但其他力不做功。
（3）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，其他力所做总功为零
2.判断机械能是否守恒的方法有
（1）做功条件分析法
应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法
从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。
（3）增减情况分析法
直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。
（4）典型过程
对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
3.机械能如何转化
如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。
23．如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在B点（图中未画出），下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的A点。现对物体施加一个平行于斜面向上的力F，使物体沿斜面缓慢向上移动到B点，此过程中力F做功为W。则此过程中（　　）
A．物体机械能守恒
B．弹簧和物体组成的系统机械能守恒
C．力F的大小始终等于弹簧弹力的大小
D．弹簧弹性势能减小量等于W
【答案】D
【解答】解：A.物体沿斜面缓慢上升，动能不变，重力势能增大，因此物体的机械能不守恒，故A错误；
B.弹簧和物体组成的系统，因为有外力F做功，因此系统机械能不守恒，故B错误；
C.假设斜面的底部夹角为θ因为物体缓慢上升，因此物体始终处于受力平衡状态，对物体沿斜面方向进行受力分析可知，受到力F、弹簧拉力T以及重力沿斜面向下的分力作用，由此可知F+T﹣mgsinθ＝0，则F与T不相等，故C错误；
D.假设从A到B的距离为l，物体自A点开始运动的位移为x时，则弹簧的拉力为T＝k（l﹣x），由题意知，当物体处于A点时，即x＝0，此时物体在没有F作用时恰好静止，弹簧拉力等于物体重力沿斜面向下的分力，因此有kl＝mgsinθ，即T＝mgsinθ﹣kx，又因为F+T＝mgsinθ，所以F＝mgsinθ﹣T＝mgsinθ﹣（mgsinθ﹣kx）＝kx，建立F﹣x图像，如下图所示，
其中①为弹簧拉力T的F﹣x关系图像，②为作用力F的F﹣x关系图像，由几何关系可可知，图像①与图像②在0～l间与横坐标围成的面积相等，在F﹣x图像中，图像与横坐标围成的面积即为对应力的做功，因此二力做功相等，故D正确。
故选：D。
24．如图为蹦床运动示意图，A为运动员到达的最高点，B为运动员下落过程中刚接触蹦床时的位置，C为运动员到达的最低点。忽略空气阻力的影响，运动员自A落至C的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．B至C，蹦床弹力对运动员不做功，运动员机械能守恒
B．A至B，运动员加速运动；B至C，运动员减速运动
C．A至C，只有重力和蹦床弹力做功，运动员和蹦床系统的机械能守恒
D．运动员在C点，速度为零，加速度为零
【答案】C
【解答】解：A、B至C，蹦床弹力方向向上，对运动员做负功，运动员机械能减小，故A错误；
B、A至B，运动员加速运动，B至C，开始过程重力先大于弹力，加速度向下，后重力小于弹力，加速度向上，即运动员先加速后减速运动，故B错误；
C、A至C，只有重力和蹦床弹力做功，根据系统机械能守恒条件得运动员与蹦床系统的机械能守恒，故C正确；
D、运动员在C点，速度为零，受向上的弹力和向下的重力，弹力大于重力，则加速度不为零，故D错误。
故选：C。
25．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，返回舱下降到距离地面约10公里的高度时，降落伞依次打开，返回舱沿直线减速。减速下降时，返回舱的机械能（　　）
A．保持不变 B．一直增加 C．一直减小 D．无法判断
【答案】C
【解答】解：返回舱沿直线减速下降时，受到向上的阻力作用，阻力做负功，则机械能一直减小，故C正确，ABD错误。
故选：C。
26．我国某些地区的人们用手抛撒谷粒进行水稻播种，如图（a）所示。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2同时从O点抛出，初速度分别为v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于P点，如图（b）所示。已知空气阻力可忽略，以O点所在水平面为零势能面，则（　　）
A．谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为mgh
B．谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为
C．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为P1＞P2
D．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为P1＝P2
【答案】B
【解答】解：AB、根据题意可知，谷粒在运动过程中机械能守恒，则在最高点的机械能与初始抛出时机械能相等，即 ，故A错误、B正确；
CD、根据题意可知，谷粒1、2在竖直方向位移相同，加速度相同，但谷粒2有向上的初速度。
根据速度—位移关系可知，到达P点时谷粒2的竖直速度较大，根据P＝mgvy，可得P1＜P2，故CD错误。
故选：B。
27．伞兵一般会在400m﹣1000m高度处进行训练和操作，2008年5月14日，为了勘察地震灾情和打开救灾通道，中国人民解放军15名空降兵在无气象资料、无指挥引导、无地面标识的“三无条件”下，毅然从4999米的高空跳下。设在最后接近地面阶段为匀速下降，此过程中，伞兵状态的变化情况是（　　）
A．重力做正功，重力势能增加
B．阻力做负功，机械能减少
C．速率不变，机械能增大
D．合外力做功为零，机械能不变
【答案】B
【解答】解：A、根据题意可知，重力方向与位移方向相同，重力做正功；但重力势能变化由高度决定，下降时重力势能减少，故A错误；
B、根据题意可知，阻力方向与位移相反，做负功，故机械能减少，故B正确；
C、根据题意可知，速率不变则动能不变，但重力势能减少，机械能应减少而非增大，故C错误；
D、根据题意可知，合外力为零，合外力做功为零；但机械能包含动能和重力势能，重力势能减少导致机械能减少，故D错误。
故选：B。
28．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是（　　）
A．上楼（人与地球组成的系统）
B．跳绳（人与绳组成的系统）
C．水滴石穿（水滴与石头组成的系统）
D．箭射出后（箭、弓、地球组成的系统）
【答案】D
【解答】解：A．人上楼过程中，根据能量转化与守恒，人体的化学能转化为机械能，人和地球组成的系统机械能不守恒，故A不符合题意；
B．跳绳的过程中，根据能量转化与守恒，人体的化学能转化为机械能，人和绳组成的系统机械能不守恒，故B不符合题意；
C．水滴石穿过程中，根据能量转化与守恒，水滴的机械能转变为内能，水滴和石头组成的系统机械能不守恒，故C不符合题意；
D．根据能量转化与守恒，箭射出后，箭、弓、地球组成的系统只有动能、弹性势能、重力势能相互转化，箭、弓、地球组成的系统的机械能守恒，故D符合题意。
故选：D。
29．“旋转飞椅”“海盗船”“激流勇进”等是游乐场里深受人们喜爱的项目，它们的设计中都巧妙地运用了物理学原理。
（1）“海盗船”在外力驱动下启动，当达到一定高度后撤去驱动力，此后“海盗船”来回摆动，幅度逐渐减小。由低处向高处摆动过程中，“海盗船”　A　 。
A．重力势能增大，动能减小，机械能减小
B．重力势能减小，动能增大，机械能减小
C．重力势能增大，动能减小，机械能不变
D．重力势能减小，动能增大，机械能不变
（2）“激流勇进”设施如图所示，船和游客的总质量为m，在动力系统的牵引下，由静止开始沿倾角为θ的直道，以加速度a匀加速提升至一定高度，随后依次经过几段不同的轨道最后冲入水池中。在沿直道提升阶段，船对游客 　A　 。
A．做正功
B．不做功
C．做负功
【答案】（1）A；（2）A。
【解答】解：（1）“海盗船”来回摆动，幅度逐渐减小，说明阻力做功不能忽略，机械能不守恒。由低处向高处摆动过程中，重力做负功，“海盗船”重力势能增大，机械能减小，故动能减小。故BCD错误，A正确；
故选：A。
（2）在沿直道提升阶段，游客做加速运动，动能增大，且重力对游客做负功，根据动能定理W合＝WG+W＞0，可得船对游客做正功。故BC错误，A正确。
故选：A。
故答案为：（1）A；（2）A。
▉题型9 机械能守恒定律的简单应用
【知识点的认识】
1.机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.对三种表达式的理解
（1）守恒式：Ek1+EP1＝Ek2+EP2，这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外，表达式中是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的E都应是对同一参考平面而言的。
（2）转化式：ΔEk＝﹣ΔEP，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。
（3）转移式：ΔEA＝﹣ΔEB，将系统分为A、B两部分，A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量，可以不选择参考平面。
3.运用机械能守恒定律的基本思路
4.机械能守恒定律和动能定理的比较
30．如图所示，轻质动滑轮下悬挂质量为6m的重物A，绕过轻质定滑轮细绳的另一端悬挂质量为m的重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。在外力约束下A、B静止且距地面高度均为h，解除约束后A、B开始运动。不计摩擦力和空气阻力，若B始终不与定滑轮相碰，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A．重物A在下落过程中机械能增加
B．重物A、B运动过程中，速率时刻相同
C．重物A刚要落地时，A的速度大小为
D．重物A刚要落地时，A的速度大小为
【答案】C
【解答】解：A、对重物A进行受力分析，重物A受到竖直向下的重力以及绳子提供的竖直向上拉力，A的重力大于绳子拉力，故A向下运动，则绳子的拉力对A做负功，A的机械能减少，故A错误；
BCD、A从图示位置下降h的过程中，对A和B组成的系统分析，因只有重力做功，故A、B组成的系统机械能守恒。A下降h时，B上升2h，设重物A刚要落地时，A的速度为v，则B的速率为2v，由系统机械能守恒得
解得：，故BD错误，C正确。
故选：C。
31．从地面上方0.45m处以4m/s的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为10m/s2，以地面为重力势能的零势能面。下列说法中正确的是（　　）
A．物体在空中运动时间为0.8s
B．动能与势能相等时离地面高度为1.25m
C．速度为2m/s时离地面高度为1.05m
D．速度为2m/s时离地面高度为0.6m
【答案】C
【解答】解：A、物体在空中做竖直上抛运动，则物体在空中运动的上升时间t1s＝0.4s，上升高度h1m＝0.8m
最高点离地面高度H＝0.45m+0.8m＝1.25m
下落时，由可得
故物体在空中运动的总时间t＝t1+t2＝0.4s+0.5s＝0.9s，故A错误；
B、物体在空中运动的过程中机械能守恒，总机械能
当动能等于势能时，有Ek＝Ep6.25m，对应高度hm＝0.625m，故B错误；
CD、速度为2m/s时，动能Ek2m，重力势能Ep＝E﹣Ek＝12.5m﹣2m＝10.5m，对应高度hm＝1.05m，故C正确，D错误。
故选：C。
32．如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量及空气阻力忽略不计，若该同学荡到最高点时绳与竖直方向的夹角为37°，则当该同学荡到秋千支架的正下方时，每根绳子承受的平均拉力约为（　　）（重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
A．250N B．350N C．500N D．700N
【答案】B
【解答】解；设该同学和踏板的总质量为m，绳长为l，
该同学从最高点荡到最低点时，根据机械能守恒定律有；
在最低点，根据牛顿第二定律有
联立解得每根绳子的拉力F＝350N，故B正确，ACD错误。
故选：B。
33．人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实（如图）。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个大小均为320N、方向都与竖直方向成37°的力，提着重物离开地面30cm后释放，重物自由下落将地面砸深2cm。已知重物的质量为50kg，cos37°＝0.8，忽略空气阻力，则（　　）
A．物体落地时的速度约为2.48m/s
B．物体对地面的平均作用力大小为830N
C．人停止施力到刚落在地面过程中机械能不守恒
D．重物刚落在地面时到最后静止过程中机械能守恒
【答案】A
【解答】解：A、物体从离开地面到返回地面的过程中，根据动能定理得
解得物体落地时的速度为v≈2.48m/s，故A正确；
B、物体落地过程，根据动能定理得mgh2h2＝0，解得物体对地面的平均作用力大小为8178N，根据牛顿第三定律，物体对地面的平均作用力大小为8178N，故B错误；
C、人停止施力到刚落在地面过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故C错误；
D、重物刚落在地面时到最后静止过程中，地面支持力做负功，机械能不守恒，故D错误。
故选：A。
34．一根长为l的细绳，一端系一小球，另一端悬挂于O点．将小球拉起使细绳与竖直方向成60°角．在O点正下方A、B、C三处先后钉一光滑小钉，使小球由静止摆下后分别被三个不同位置的钉子挡住．已知OA＝AB＝BC＝CD，如图所示，则小球继续摆动的最大高度hA，hB，hC（与D点的高度差）之间的关系是（　　）
A．hA＝hB＝hC B．hA＞hB＞hC C．hA＞hB＝hC D．hA＝hB＞hC
【答案】D
【解答】解：小球拉开60°放手，故小球升高的高度为：
h＝L﹣Lcos60°L
由机械能守恒定律可知，由mghmv2得：
到达最低点的速度：v钉子在A、B两时，小球能摆到等高的位置hA＝hB；
当钉子放在C点时，小球摆到最低点后开始以C点为圆心，以L为半径做圆周运动，若能到达最高点，最高点处有最小速度，速度不能为零；但由机械能守恒知，如果能到达最高点，速度为零；故小球无法到达最高点；所以上升不到原下落点高度，故hA＝hB＞hC
故选：D。
35．如图，若质量为m的小球从离地高为h的P点以大小为v0的速度斜向上飞出，球能到达的最高点离地高度为h2。以P点所在水平面为零势能面，不计空气阻力，球在Q点时的机械能为 　　 ；球在经过Q点后的下落过程中，其动能Ek与其离地高度h间的关系可能为 　C　 。
【答案】；C
【解答】解：不计空气阻力，由机械能守恒定律可知，排球在Q点的机械能等于P点的机械能，即小球在Q点时的机械能为。
下落过程，小球机械能守恒，则有
整理得
可知Ek﹣h图像是斜率为负的一条直线，故C正确，ABD错误。
故选：C。
故答案为：；C
36．如图所示，从地面上以速度v0斜向上抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海面上。若以地面为零势能面且不计空气阻力，则物体从抛出到落到海面的过程中，重力对物体所做的功为　mgh　 ，物体在地面上抛出时的机械能为　　 。
【答案】mgh；。
【解答】解：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以重力对物体做功为mgh；
由题知从地面上以速度v0斜向上抛出质量为m的物体，以地面为零势能面且不计空气阻力，则物体在地面上抛出时的机械能为：E；
故答案为：mgh；。
37．如图所示，一可视为质点的物块从光滑斜面静止滑下，进入竖直放置的与斜面相切于斜面底端的光滑圆轨道，绕圈一周后从圆轨道最低点滑上与水平地面等高的水平顺时针转动的传送带。已知物块质量m＝0.2kg，初始位置离斜面底端的高度h＝1.8m，斜面倾角θ＝37°，圆轨道半径R＝0.5m。传送带长度L＝2.2m，物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，除了传送带粗糙外，其余表面均光滑，g＝10m/s2。
（1）求物块到达斜面底端时的速度大小v1；
（2）求物块到达圆轨道最高点时对轨道的压力F压；
（3）若传送带的速度v＝8m/s，求物块离开传送带的速度。
【答案】（1）物块到达斜面底端时的速度大小等于6m/s；
（2）物块到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小等于5.2N，方向竖直向上；
（3）物块离开传送带的速度等于，方向水平向右。
【解答】解：（1）物块到达斜面底端时由机械能守恒定律可知
解得
（2）物块从斜面底端到到达圆最高点的过程由机械能守恒定律
在最高点时，由牛顿第二定律
由牛顿第三定律可知，物块到达圆轨道最高点时对轨道的压力F压＝FN
解得F压＝5.2N
方向竖直向上。
（3）物块从斜面底端到滑上传送带由机械能守恒定律
解得
若传送带的速度v＝8m/s，假设物体在传送带全程被加速度，则滑离传送带时由动能定理
解得
即此时物块还没有和传送带共速。物块离开传送带的速度，方向水平向右。
答：（1）物块到达斜面底端时的速度大小等于6m/s；
（2）物块到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小等于5.2N，方向竖直向上；
（3）物块离开传送带的速度等于，方向水平向右。
38．如图所示，一倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道与水平轨道PQ平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为m＝0.1kg的滑块A和B，用长L＝0.4m且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、PM两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.5。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取10m/s2。现同时静止释放A、B，求：
（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量；
（2）A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功；
（3）A停止运动时的位置与M点的距离。
【答案】（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为0.6J；
（2）A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功为﹣0.1J；
（3）A停止运动时的位置与M点的距离为0.4m。
【解答】解：（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为
ΔEP＝mg 2Lsinθ+mgLsinθ＝1.5mgL＝1.5×0.1×10×0.4J＝0.6J
（2）A从释放运动到P点过程中，根据A、B组成的系统机械能守恒得
mg 2Lsinθ+mgLsinθ
解得A运动到P点时，A、B的速度大小为vm/s
对A，根据动能定理得
mg 2Lsinθ+W杆0
解得轻杆对A做的功为
W杆＝﹣0.1J
（3）设A停止运动时的位置与M点的距离为x，以A、B整体为研究对象，对整体在水平轨道上运动的过程，根据动能定理得
﹣μmgx﹣μmg（L+x）＝0
解得：x＝0.4m
答：（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为0.6J；
（2）A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功为﹣0.1J；
（3）A停止运动时的位置与M点的距离为0.4m。
39．某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ＝37°的直轨道AB，半径R＝1m、圆心角为2θ的圆弧BCD，半径为R，圆心角为θ的圆弧DE组成，轨道末端的E点为圆弧的最高点，轨道间平滑连接。质量m＝0.5kg的物块a从轨道AB上高度h＝0.3m处以初速度v0下滑，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块a与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.5，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块a视为质点，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）若初速度v0＝0，求物块a第一次通过D点时速度大小vD；
（2）若初速度v0＝0，求物块a在轨道AB上运动的总路程s；
（3）若物块a沿轨道DE从E点滑出，v0应满足什么条件？
【答案】（1）物块a第一次通过D点时速度大小vD为m/s；
（2）物块a在轨道AB上运动的总路程s为0.75m；
（3）物块a沿轨道DE从E点滑出，v0应满足的条件为。
【解答】解：（1）物块从开始运动到D点的过程，根据动能定理有
解得
（2）设物块过D点后冲上曲面的高度为h′，根据机械能守恒定律有
解得
h′＝0.1m
而
hDE＝R（1﹣cosθ）＝1×（1﹣cos37°）m＝0.2m
所以
h′＜hDE
即物块不会冲上E点，会原路返回。最终，物块在BD间往返运动，对物块运动全程，由能量守恒有
mgh＝μmgcosθ s
解得
s＝0.75m
（3）物块在D点不脱离轨道，则全程不会脱离轨道，此时初速度最大，根据动能定理有
还需要满足
解得
同理，物块能从E点滑出，满足
解得
综上
答：（1）物块a第一次通过D点时速度大小vD为m/s；
（2）物块a在轨道AB上运动的总路程s为0.75m；
（3）物块a沿轨道DE从E点滑出，v0应满足的条件为。
40．17世纪，伽利略在研究斜面运动时首次发现“高度与速度的此消彼长”，为机械能守恒思想埋下种子。如今，通过光电门等现代装置，在摆锤下落等实验中，依然延续着这场跨越三个世纪的守恒验证之旅。从传统实验到数字实验，改变的是实验手段，不变的是对守恒律的执着追寻。
（1）某同学使用如图装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。
①用水平推力从最低点缓慢推高摆锤的过程中，推力F与轻质连杆对摆锤的拉力T的变化情况为 　B　 。
A．F增大，T减小
B．F、T都增大
C．F减小，T增大
D．F、T都减小
②将摆锤从图示位置静止释放，读取并记录各挡光片的对应高度h和摆锤经过各挡光片的挡光时间t，测得各挡光片的宽度均为d。利用实验数据，以h为横坐标，以 　　 为纵坐标绘制图线，当图线为斜率大小近似为g的倾斜直线时，可认为摆锤下摆过程中机械能守恒。
③摆锤以大小为v的速度经过最低点后，在制动装置作用下静止于连杆与竖直方向夹角为θ位置。已知摆锤质量为m、摆长为L，刹停过程中制动装置对摆锤做功W＝ 　﹣[]　 。
（2）某同学设计了如图所示的装置来研究机械能是否守恒。轻质细线的上端固定在O点，下端连接圆柱形的摆锤P，在摆锤摆动的路径上，固定了四个完全相同的光电门传感器A、B、C、D。实验时，分别测出四个光电门到悬点O的高度差hA、hB、hC、hD，从某一高度释放摆，利用光电门测出摆锤经过四个光电门的速度。（已知重力加速度为g）
①利用光电门测量摆锤P的速度时，可以将摆锤直径作为挡光片宽度，若摆锤直径的测量值比实际值小，则摆锤动能的测量值与实际值相比 　A　 （选填：A．偏小，B．偏大，C．相等）；
②另一同学在得到摆锤经过四个光电门的速度v和光电门距离悬点O的高度差h后，作出如图所示的v2﹣h图线。若摆锤摆动过程中机械能守恒，则该直线的斜率为 　2g　 ；
③该同学经过多次实验，发现摆锤在A、B、C、D四点的机械能总是依次减小，原因可能是 　摆锤在运动的过程中受到空气阻力的影响　 。
【答案】（1）①B ② ③﹣[]
（2）①A ②2g ③摆锤在运动的过程中受到空气阻力的影响。
【解答】（1）、①设轻质连杆与竖直方向的夹角为θ，摆锤受到竖直向下的重力、水平向右的推力和沿轻质连杆向上的拉力，
根据受力平衡可得F＝mgtan θ，
用水平推力从最低点缓慢推高摆锤的过程中，θ增大，则F增大，T增大。故选：B。
②摆锤经过挡光片的速度，根据机械能守恒定律，
将代入并整理得
所以以h为横坐标，以为纵坐标绘制图线，当图线为斜率大小近似为g的倾斜直线时，可认为摆锤下摆过程中机械能守恒。
③摆锤从最低点到静止位置的过程，由动能定理得
得W＝﹣[].
（2）①用光电门测量速度是利用挡光片的宽度和挡光时间的比值得到的，故利用光电门测量摆锤P的速度时，可以将摆锤的直径作为挡光片的宽度；若摆锤直径a的测量值比实际值小，根据可知此时测得的摆锤的速度偏小，则摆锤动能的测量值比实际值偏小，故选：A。
②设摆锤释放时距O点的距离为h0，初速度为v0，摆动过程中根据机械能守恒得整理可得，整理可得
可知若摆锤摆动过程中机械能守恒，则v2﹣h图线的斜率为2g。
③该同学经过多次实验，发现摆锤在A、B、C、D点的机械能总是依次的略微减小，可能的原因是：摆锤在运动的过程中受到空气阻力的影响。
故答案为：（1）①B ② ③﹣[]
（2）①A ②2g ③摆锤在运动的过程中受到空气阻力的影响。
▉题型10 弹簧类问题中的机械能守恒
【知识点的认识】
本考点旨在针对含有弹簧的机械能守恒问题。
41．如图，某同学设计了一款游戏装置，将一竖直轻弹簧的一端固定在开口向上的竖直纸箱底部，压缩弹簧到N处，并用开关S锁定弹簧，在弹簧上端放置一个弹珠，向右拔出开关S，弹珠就从纸箱顶端突然跳出。纸箱顶端M处为弹簧原长，不计空气阻力，弹珠从N运动到M的过程中，弹珠和弹簧组成的系统的重力势能与弹性势能之和（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．一直增大 D．一直减小
【答案】B
【解答】解：拔出开关，弹珠向上运动过程中，弹力从大于重力逐渐减小为零，
当弹力大于重力时，加速度向上，弹珠做加速运动，
当弹力小于重力时，加速度向下，弹珠做减速运动，
所以当弹力等于重力时，弹珠速度最大，动能最大，
弹珠和弹簧组成的系统机械能守恒，当弹珠动能最大时，系统的重力势能和弹性势能之和就最小，
所以系统的重力势能和弹性势能之和先减小后增大，故B正确，ACD错误。
故选：B。
42．轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落h后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为k，箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
【答案】D
【解答】解：AB、依题意，此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子，由平衡条件有F弹＝mg
弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球平衡位置时弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点，有F合＝F弹'﹣mg
在最高点有F合＝F弹+mg＝2mg
联立解得F弹'＝3mg
而当小球运动至最低点时，弹簧的弹力最大，即为3mg，此时加速度最大为am2g，故AB错误；
C、小球做简谐振动，在平衡位置时有kx＝mg，解得
即弹簧被拉伸时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度最大，根据以上分析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置下落的高度
而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能相同，则对小球由最高点到平衡位置的过程，根据系统机械能守恒得
解得小球运动的最大速度为，故C错误；
D、箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得，解得箱子损失的机械能，故D正确。
故选：D。
43．如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，一物体由弹簧正上方某位置由静止开始竖直下落，不计空气阻力。则物体从与弹簧接触到第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物体的动能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．物体的机械能守恒
D．物体克服弹力做功的功率逐渐增大
【答案】B
【解答】解：A、物体接触弹簧后，受到重力和弹簧的弹力，弹力从零开始逐渐增大，弹力先小于重力，后大于重力，合力先向下后向上，物体先做加速运动后做减速运动，则物体的动能先增大后减小，故A错误；
B、物体从与弹簧接触到第一次到达最低点的过程中，弹簧的压缩量不断增大，则弹簧的弹性势能逐渐增大，故B正确；
C、物体接触弹簧之后，弹簧的弹力对物体做负功，物体的机械能不守恒，故C错误；
D、由功率公式P＝Fv，开始时弹力为零，物体克服弹力做功的功率为零。在最低点时，物体速度为零，物体克服弹力做功的功率也为零，所以物体克服弹力做功的功率先增大后减小，故D错误。
故选：B。
（多选）44．两条平行且足够长的光滑竖直轨道间距为d，带孔的小球A、B（看作质点）用原长也为d的轻质弹簧连接后，分别穿在两轨道上。初始时刻，将两球拉到如图所示的位置（AB连线与竖直方向夹角为45o）时由静止释放。当A球沿轨道下滑的距离为h时，两球第一次相距最近。在下滑过程中两球的距离第一次和初始时刻相同时，A球下滑的距离为H。已知两球质量均为m，重力加速度为g，不计空气阻力，取弹簧原长时的弹性势能为0。下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中A、B两球组成的系统机械能守恒
B．若两球第一次相距最近时两球的总动能为Ek，则初始时刻弹簧的弹性势能为Ek﹣mg（2h+d）
C．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mg（H+d）
D．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mgH
【答案】BC
【解答】解：A、因弹簧弹力对A、B两球要做功，故A、B两球组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B、两球第一次相距最近时，A球位移为h，由几何关系可知B球位移为h+d。对于弹簧与A、B两球组成的系统来说，因只有重力和弹簧弹力做功，故系统机械能守恒，则有Ep+mg（2h+d）＝Ek
解得初始时刻弹簧的弹性势能为Ep＝Ek﹣mg（2h+d），故B正确；
CD、当两球下滑过程中第一次距离和初始时刻相同时，B球下滑的距离为H+2d，由系统机械能守恒得mgH+mg（H+2d）＝Ek总，故两球的总动能为Ek总＝2mg（H+d），故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）45．如图甲所示，竖直放置的轻弹簧下端固定，质量为m可视为质点的物块从弹簧正上方由静止释放，物块加速度a的大小与物块下降的距离x的关系图像如图乙所示，图乙中x2＝2x1＝2h，x3未知且当物块下落距离为x3时速度恰好为零。已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力及物块与弹簧碰撞间的能量损失。则在物块下降过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块的机械能守恒
B．物块的最大加速度大小为
C．物块的最大动能为
D．图乙中
【答案】BC
【解答】解：A、物块与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对物块做负功，物块的机械能减少，所以物块的机械能不守恒，故A错误；
BD、由图乙可知，当物块下降距离为x1＝h时，与弹簧开始接触，下降高度为x2＝2h时，a＝0，此时物块合外力为零，物块的重力等于弹簧的弹力，设弹簧的劲度系数为k，则有mg＝k（x2﹣x1）＝k（2h﹣h）＝kh，解得
当物块运动到最低点时，由系统机械能守恒可知，物块的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，即有
因为x1＝h，且x3＞2h，代入上式解得
当物块运动到最低点时，加速度最大，由牛顿第二定律得F弹﹣mg＝k（x3﹣x1）﹣mg＝mam
解得物块的最大加速度大小为，故B正确，D错误；
C、当物块下降高度为x2＝2h时，a＝0，此时物块的速度最大，动能最大，由系统机械能守恒得
将x2＝2x1＝2h和代入上式解得最大动能为，故C正确。
故选：BC。
（多选）46．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止释放后，经过B处速度最大，到达C处（AC＝h）时速度减为零。若在此时给圆环一个竖直向上的速度v，它恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（　　）
A．下滑过程中，加速度一直增大
B．上下两次经过B点的速度大小相等
C．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2
D．在C处弹簧的弹性势能为 mghmv2
【答案】CD
【解答】解：A、圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，经过B处的速度最大，加速度为零，所以加速度先减小，后增大，故A错误
B、研究圆环从A处由静止开始下滑到B过程，运用动能定理列出等式
mgh′﹣W′f﹣W′弹0
研究圆环从B处上滑到A的过程，运用动能定理列出等式
﹣mgh′﹣W′f+W′弹＝0
即得 mgh′+W′f﹣W′弹
由于W′f＞0，所以，可知上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度，故B错误。
C、研究圆环从A处由静止开始下滑到C过程，运用动能定理列出等式
mgh﹣Wf﹣W弹＝0﹣0＝0
在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A，运用动能定理列出等式
﹣mgh+W弹﹣Wf＝0mv2
解得：下滑过程中，克服摩擦力做的功Wfmv2，故C正确。
D、由上解得 W弹mv2﹣mgh，所以在C处，弹簧的弹性势能为mghmv2，故D正确；
故选：CD。
（多选）47．一光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角为θ，沿斜面放一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端与物体A连接，物体B紧挨着A并排放置如图所示，A、B质量均为m。开始系统静止在O点，向下压缩弹簧后由静止释放，若释放时A、B的加速度为a，且a＞gsinθ，弹簧的弹性势能表达式为Ep（其中k为劲度系数，x为形变量大小），重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．物体A、B将在距释放点处分离
B．在物体A、B分离前，物体A、B组成的系统机械能守恒
C．物体A向上运动到最大距离处时的弹性势能是弹簧开始释放时的
D．物体B向上运动过程中最大速度大小为
【答案】AD
【解答】解：A、释放时A、B的加速度为a，设此时弹簧的压缩量为x1，以A、B为整体，根据牛顿第二定律可得x1﹣2mgsinθ＝2ma，解得：。分离时，物体B只受重力和支持力，所以A也只受重力和支持力，此时弹簧恢复原长，物体A、B分离时离释放点距离为，故A正确；
B、分离前，弹簧弹力对物体A做正功，物体A、B组成的系统机械能不守恒，故B错误；
C、设释放点弹簧的弹性势能为Ep1，物体A、B分离时的速度为v，从释放点到分离过程，由于分离时弹簧处于原长状态，根据系统机械能守恒可得，可得：。设分离后物体A向上运动到最大距离处时的弹性势能为Ep2，物体A从分离到最高点增加的重力势能为ΔEp重，根据机械能守恒可得，可得：所以，故C错误；
D、物体B向上运动过程中最大速度时，加速度为零，即kx2＝2mgsinθ，根据系统机械能守恒定律可得，联立解得：，故D正确。
故选：AD。
48．如图所示，长度为L的粗糙水平面AB与竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，小滑块到达B点前已和弹簧分离，经过B点后沿半圆轨道恰好能通过最高点C作平抛运动。已知：R＝0.9m，m＝0.2kg，L＝10m，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：
（1）小滑块通过C点的速度大小vC；
（2）小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小F；
（3）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep。
【答案】（1）小滑块通过C点的速度大小为3m/s；
（2）小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小为12N；
（3）弹簧压缩至A点时的弹性势能为8.5J。
【解答】解：（1）小滑块恰好能通过最高点C，根据牛顿第二定律有：
解得：vC＝3m/s；
（2）从B点到C点应用动能定理可得：
解得：vB＝3m/s
在B点由牛顿第二定律有：
根据牛顿第三定律可得小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小为：F＝F支＝12N；
（3）根据能量守恒有：
解得：Ep＝8.5J。
答：（1）小滑块通过C点的速度大小为3m/s；
（2）小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小为12N；
（3）弹簧压缩至A点时的弹性势能为8.5J。
▉题型11 机械能与曲线运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机械能守恒定律与曲线运动相结合的问题，包括一般曲线运动、圆周运动、平抛运动等。
49．如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝1kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知xAB＝5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.1，当小物块运动到B点时撤去力F，取重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小。
【答案】（1）小物块到达B点时速度的大小为4m/s；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小为150N。
【解答】解：（1）小物块从A点运动到B点的过程，根据动能定理得
（F﹣μmg）xAB
解得vB＝4m/s
（2）小物块从B点运动到D点的过程，由机械能守恒定律得
mg 2R
小物块运动到D点时，根据牛顿第二定律得
F+mg＝m
联立解得轨道对小物块作用力的大小F＝150N
答：（1）小物块到达B点时速度的大小为4m/s；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小为150N。
50．如图，某游戏装置由最高点A距水平面高为的倾斜轨道AB、半径的圆弧轨道BC、长为L＝9.0m水平轨道CD和高为的高台EF平滑连接而成，倾角为θ的直角斜面体紧贴着高台边缘ED，与高台EF等高。将质量m1＝0.5kg的小物块从A处由静止释放，恰能到达高台边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，仍将小物块从A处由静止释放，发现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。已知小物块与水平轨道CD、斜面体间的动摩擦因数均为μ，其余接触面均光滑，不计空气阻力，g取10m/s2。
（1）求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小；
（2）求动摩擦因数μ；
（3）求斜面体倾角θ。
【答案】（1）小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为25N；
（2）动摩擦因数μ为；
（3）斜面体倾角θ为30°。
【解答】解：（1）小物块到达圆弧轨道最低点C时速度为vC，由机械能守恒可得：
小物块在圆弧轨道最低点C时，由牛顿第二定律可得：
联立解得：FN＝25N
由牛顿第三定律可知，对轨道的压力：FN'＝FN＝25N
（2）小物块由A到E的过程中，由能量关系有：mg（H﹣h）＝μmg l
解得动摩擦因数为：
（3）设斜面体与平台相距为x，小物块到E点的速度为vE，由能量关系：
变形后解得：
根据斜抛运动的规律：x＝vEcosθ t
运动时间为：
联立解得：
代入解得：
即：（θ与x无关）
则有：
解得：θ＝30°（由于，故θ＝60°舍去）
答：（1）小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为25N；
（2）动摩擦因数μ为；
（3）斜面体倾角θ为30°。
▉题型12 多物体系统的机械能守恒问题
【知识点的认识】
1.系统机械能守恒条件
（1）系统除重力外无其他外力做功（
2）系统内除弹力外其他内力不做功或所做的总功为零，特别是系统内无滑动摩擦力时系统的机械能守恒。
2.多物体系统内物体间的速度关系
（1）绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。
（2）杆连接的两物体，当绕固定点转动时，两物体角速度相等；当杆自由运动时，两物体沿杆方向上的速度分量相同。
（3）接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量相同
51．如图所示，质量分别为m、2m的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a套在竖直细杆M上，b套在水平细杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°，两根细杆M、N不接触（a、b球均可越过O点），两杆间的距离忽略不计，且不计一切摩擦，重力加速度大小为g。将a、b从图示位置由静止释放，则下列说法中正确的是（　　）
A．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功，后做正功
B．刚性轻杆与水平方向夹角为θ时，a、b两球运动的速率满足vacosθ＝vbsinθ
C．a球的最大速度为
D．b球的最大速度为
【答案】D
【解答】解：A.a球从初位置下降到O点的过程中，b球的速度先增大后减小，说明杆对b球先做正功后做负功，则杆对a球先做负功后做正功，a球从O到最低点过程中，a球速度先增大后减小，开始时a球的重力大于轻杆拉力的竖直分量，a球做加速运动，后来a球的重力小于轻杆拉力的竖直分量，a球做减速运动，来到最低点时速度减为0，杆对a球做负功，即a球从初位置下降到最低点的过程中，轻杆对a球先做负功后做正功，再做负功，故A错误；
B.根据关联速度可知，刚性轻杆与水平方向夹角为θ时，a、b两球运动的速率满足
vbcosθ＝vasinθ
故B错误；
C.a球和b球所组成的系统中只有重力做功，故系统机械能守恒，当a球运动到O点时b球速度为零且高度不变，b球机械能等于最初位置时的机械能，由于系统机械能守恒，a球此时的机械能与最初位置时的机械能相等，由
可得
v
但此时不是最大速度，过了O点后a球的重力大于杆向上的分力会继续向下加速直到杆向上的分力与重力大小相等时速度达到最大，故C错误；
D.当a球运动到最低点时a球的机械能最小，b球的机械能最大，动能最大，a球的机械能全部转化为b球的动能，根据
b球的最大速度为
v
故D正确。
故选：D。
52．如图，一顶角为直角的“∧”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0，两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是（已知弹簧的长度为l时弹性势能为）（　　）
A．金属环与细杆之间的最大压力为
B．金属环的最大速度为
C．金属环的最大加速度为g
D．金属环达到最大速度时重力的功率为
【答案】A
【解答】解：C、刚释放时，金属环的加速度最大，对金属环受力分析，如图所示。
刚释放瞬间，金属环只受到重力和杆的支持力，沿杆方向，根据牛顿第二定律有
mgsin45°＝ma
解得，故C错误；
B、当金属环的加速度为0时，速度最大，受力分析如图所示。
金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力沿杆方向加速度为0，即合力为0，则有
mgsin45°＝Fcos45°
F＝kΔx
解得弹簧的伸长量为
根据几何知识可得，两个小球下降的高度为
对两个金属环和弹簧构成的系统，根据机械能守恒有
解得金属环的最大速度为，故B错误；
A、设金属环下降h′到达最低点，此时金属环的速度为0，弹簧的伸长量为2h′，弹性势能最大，根据系统机械能守恒有
解得
当金属环下降到最低点时，金属环和细杆的弹力最大，在垂直于杆方向上，由平衡条件有
N＝mgcos45°+Fsin45°
F＝k×2h′
解得金属环与细杆之间的最大压力为，故A正确；
D、金属环达到最大速度时重力的功率为，故D错误。
故选：A。
▉题型13 从能量角度求解传送带问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对涉及能量类问题的传动带模型。
53．如图所示，倾斜传送带以大小为v1的速度顺时针转动时，将木箱无初速度的放在底端B点，木箱经时间t到达顶端A点，向上运动的过程中由于摩擦产生的热量为Q1。传送带以大小为v2的速度逆时针转动时，将木箱无初速度的放在A点，木箱经时间t也刚好到达底端B点，向下运动的过程中由于摩擦产生的热量为Q2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木箱可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．Q1＜Q2 D．Q1＞Q2
【答案】D
【解答】解：AB．设传送带的倾角为θ，木箱质量为m，木箱与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带顺时针转动时，对木箱根据牛顿第二定律有μmgcosθ﹣mgsinθ＝ma1
当传送带逆时针转动时，对木箱根据牛顿第二定律有μmgcosθ+mgsinθ＝ma2
可知
a1＜a2
由于木箱向上运动和木箱向下运动的时间相同，位移大小也相同，画出符合要求的v﹣t图像，如图所示
木箱向下运动时一定先加速后匀速，向上运动时可能一直加速或先加速后匀速，根据图像可判断v1＞v2
故AB错误；
CD．根据图像可知木箱向上运动过程相对位移大，根据Q＝μmgcosθ Δx
可知Q1＞Q2
故C错误，D正确。
故选：D。
54．如图所示，固定在竖直面内的四分之一圆弧轨道，半径为R＝0.4m，轨道底端切线水平且与水平传送带左端平滑相连，传送带顺时针转动，运行速度大小为v＝4m/s。一质量为m＝1kg可视为质点的物块从轨道顶端由静止开始下滑，运动到圆弧轨道底端时对轨道压力大小为自身重力的2倍。已知物块与传送带间动摩擦因数为μ＝0.5，传送带轮中心间距为L＝1.6m，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）物块在圆弧轨道运动过程中所受阻力做的功；
（2）物块离开传送带时速度的大小；
（3）由于传送物块，传送带多消耗的电能。
【答案】（1）物块在圆弧轨道运动过程中所受阻力做的功为﹣2J；
（2）物块离开传送带时速度的大小为4m/s；
（3）由于传送物块，传送带多消耗的电能为8J。
【解答】解：（1）物块在圆形轨道最低点，根据牛顿第三定律可知，轨道对物块的支持力大小F＝2mg
对物块，由牛顿第二定律得
解得v0＝2m/s
物块在圆形轨道下滑过程，由动能定理得
解得Wf＝﹣2J
（2）因v0＜v，故物块在传送带上先向右做匀加速运动，由牛顿第二定律有
μmg＝ma
设经过t时间，物块与传送带共速，则
v﹣v0＝at
解得t＝0.4s
物块匀加速过程通过的位移第七章第五节 机械能守恒定律
题型1 天体运动中机械能的变化 题型2 功是能量转化的过程和量度
题型3 常见力做功与相应的能量转化 题型4 机械能的概念与组成
题型5 计算物体的机械能 题型6 动能与势能的相互转化
题型7 机械能守恒定律的内容和条件 题型8 判断机械能是否守恒及如何变化
题型9 机械能守恒定律的简单应用 题型10 弹簧类问题中的机械能守恒
题型11 机械能与曲线运动相结合的问题 题型12 多物体系统的机械能守恒问题
题型13 从能量角度求解传送带问题 题型14 从能量角度求解板块模型的问题
题型15 机械能与图像相结合的问题 题型16 验证机械能守恒定律
▉题型1 天体运动中机械能的变化
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。
2.卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。
3.加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。
1．2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化，如图，轨道Ⅰ为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　）
A．飞船在椭圆轨道Ⅰ上经过远地点P的速度大于经过近地点Q的速度
B．飞船在椭圆轨道Ⅰ上稳定运行时机械能不守恒
C．飞船在轨道Ⅰ的运行周期大于空间站在轨道Ⅱ的运行周期
D．飞船要想从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅱ，需要在P点点火加速
（多选）2．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（　　）
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
3．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以v0＝10m/s的速度从h＝10m的高度水平抛出，测得落到星球表面A时速度与水平地面的夹角为θ＝60°。已知该星球半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度g＝10m/s2。则：
（1）若物体质量m0＝0.1kg，则宇航员抛出物体时对物体做的功W是多少？
（2）该星球表面的重力加速度g′是多少？
（3）该星球的质量是地球的几倍？
4．北斗卫星导航系统是由中国自主研发、独立运行的全球卫星导航系统。如图1，a、b、c为北斗系统的三颗卫星，已知它们绕地球做匀速圆周运动的半径分别为ra、rb、rc，且ra＝rb＞rc。
（1）（多选）卫星a、b、c的线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，则　 　 。
A.
B.
C.
D.
（2）导航卫星的发射速度应　 　 。
A.小于第一宇宙速度
B.大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度
C.大于第二宇宙速度
（3）如图2是卫星发射的模拟示意图，先将卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星质量的变化。
①卫星在轨道Ⅱ上稳定运动时从A点运动到B点的过程中，卫星的引力势能　 __________（A.增大；B.减小；C.不变），动能　 （A.增大；B.减小；C.不变）。
②卫星沿轨道Ⅰ运动到A点的加速度aⅠ与沿轨道Ⅱ运动到A点的加速度aⅡ大小关系为　 　 。
A.aⅠ＞aⅡ
B.aⅠ＝aⅡ
C.aⅠ＜aⅡ
③卫星沿轨道Ⅲ运动的周期TⅢ与沿轨道Ⅱ运动的周期TⅡ大小关系为　 　 。
A.TⅢ＞TⅡ
B.TⅢ＝TⅡ
C.TⅢ＜TⅡ
④卫星在轨道Ⅰ的机械能　 在轨道Ⅲ机械能。
A.大于
B.等于
C.小于
▉题型2 功是能量转化的过程和量度
【知识点的认识】
1、功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2、做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。
5．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m（包括雪具在内）的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度大小为，在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动员减少的重力势能全部转化为动能
B．运动员获得的动能为
C．摩擦力对运动员做功为
D．下滑过程中系统减少的机械能为
6．有关功与能的下列说法中正确的是（　　）
A．功是能量转化的量度，功的正负表示大小
B．重力势能具有相对性和系统性，势能的正负表示大小
C．沿竖直方向用手加速向上提水桶时，拉力做的功等于水桶重力势能的增加量
D．坐升降电梯上楼时，电梯对人做的功等于人动能的增加量
7．我国风洞技术世界领先，如图所示，在模拟风洞管中的光滑斜面上，斜面上端接有一弹簧，一个小物块受到沿斜面方向的恒定风力作用，沿斜面加速向上运动，则从物块接触弹簧至到达最高点的过程中（　　）
A．物块加速度先增大后减小
B．弹簧弹性势能先增大后减小
C．物块的机械能一直增大
D．物块和弹簧组成的系统机械能一直增大
（多选）8．如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端，现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端，以下判断中正确的是（　　）
A．此时物块的动能变化为F（s+l）
B．此时小车的动能变化为f（s+l）
C．这一过程中，物块和小车间产生的内能为fl
D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为F（s+l）﹣fl
▉题型3 常见力做功与相应的能量转化
【知识点的认识】
1．内容
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。
2．高中物理中几种常见的功能关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加
一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加
9．如图所示，一根粗细均匀的光滑细杆竖直固定，与细杆相距d处固定一个轻质光滑的小滑轮。质量均为m的小物体A、B用轻弹簧相连，竖直放在水平面上，没有弹性的轻绳一端与物体A相连，另一端与穿在细杆上、质量也为m的小环C相连。将小环C拉至P点时，轻绳与细杆的夹角为θ，物体B刚好对水平面无压力。现让小环C从P点由静止释放，依次经过M点和N点，M点与滑轮等高，P点和N点关于M点对称。已知小环经过M点时，弹簧处于原长状态，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　）
A．轻弹簧的劲度系数为
B．小环从P点运动到M点的过程中，弹簧弹性势能的减少量大于小环动能的增加量
C．小环经过N点时，物体A的速度大小为
D．小环经过N点时，物体A的速度大小为
10．质量为m的物体，被人用手由静止向上提升了h，这时物体的速度为v，则下列说法中正确的是（　　）
A．手对物体做功mgh
B．重力对物体做功mgh
C．合外力对物体做功
D．物体的机械能变化量为
11．如图所示，将质量为m的小球从高为h处以初速度水平抛出，落地时速度大小为v，方向与水平面成θ角，空气阻力不能忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．重力对小球做的功为
B．落地时小球重力的功率为mgv
C．合外力对小球做的功为
D．空气阻力对小球做的功为
12．如图所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的轻弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1m处，滑块与弹簧不拴接．现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h并作出滑块的动能Ek﹣h图象，其中h＝0.18m时对应图象的最顶点，高度从0.2m上升到0.35m范围内图象为直线，其余为曲线，取g＝10m/s2，由图象可知（　　）
A．滑块的质量为0.18kg
B．弹簧的劲度系数为10N/m
C．滑块运动的最大加速度为40m/s2
D．弹簧的弹性势能最大值为0.7J
（多选）13．如图（a）所示，一木块沿倾角为θ的固定斜面由静止开始下滑，下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图（b）所示。下列说法中正确的是（　　）
A．物块在斜面做匀加速直线运动
B．图线a斜率的绝对值表示木块所受合力的大小
C．位移从0增大x0过程中，木块的重力势能减小了E0
D．木块与斜面间动摩擦因数
（多选）14．如图所示，倾角θ＝30°的传送带以大小为4m/s的速度顺时针匀速运行，一质量为1kg的工件（视为质点）以大小为8m/s的初速度从传送带的底端A冲上传送带，并恰好能到达传送带的顶端B，随即滑回A端。工件与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．工件沿传送带上滑的时间为2.5s
B．工件返回A端时的速度大小为4m/s
C．工件在传送带上的整个过程中，摩擦力对工件做的功为﹣18J
D．工件在传送带上的整个过程中，因摩擦产生的热量为15J
（多选）15．如图1所示，在水平光滑台面上有一端固定的轻质弹簧，弹簧处于自然长度时其自由端位于O点。平台的右端有一与平台等高的传送带，传送带两轮中心间距离为L＝1.6m，以v＝3m/s的速度逆时针匀速运行。现将一质量为m＝0.1kg的物块置于平台上，并对其施加一水平向左的推力F，在推力F作用下物块缓慢压缩弹簧，且知F与弹簧的压缩量x间的关系如图2所示，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度 g取10m/s2。若某时刻撤去推力F，则下列判断正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为160N/m
B．欲使物块从传送带右端离开传送带，弹簧压缩量至少为10cm
C．若当弹簧压缩量x＝12cm时，撤去推力F，则物块与传送带间因摩擦而产生的热量为0.8J
D．若当弹簧压缩量x＝6cm时，撤去推力F，则物块将在平台与传送带间不停地往返运动
▉题型4 机械能的概念与组成
【知识点的认识】
1.追寻守恒量：在伽利略的斜面实验中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是守恒的。
2.重力势能可以与动能相互转化。
3.弹性势能可以与动能相互转化。
4.机械能：①重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
②机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
16．2016年9月15日，我国的空间实验室天宫二号在酒泉成功发射．9月16日，天宫二号在椭圆轨道Ⅰ的远地点A开始变轨，变轨后在圆轨道Ⅱ上运行，如图所示，A点离地面高度约为380km，地球同步卫星离地面高度约为36000km．若天宫二号变轨前后质量不变，则下列说法正确的是（　　）
A．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点A点的速度一定大于7.9km/s
B．天宫二号在轨道Ⅰ上运行的周期可能大于在轨道Ⅱ上运行的周期
C．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过近地点B的速度一定大于Ⅱ轨道的速度
D．天宫二号在轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ机械能减少
▉题型5 计算物体的机械能
【知识点的认识】
1.物体或系统的机械能由动能、重力势能及弹性势能组成，计算物体或系统的机械能时，先分别计算动能、重力势能及弹性势能，再求解机械能。
2.在实际应用过程中，如果系统的机械能守恒，则只需要计算出某一时刻的机械能，那么任意时刻的机械能都与其相等。
17．如图，甲、乙两个单摆悬挂在同一水平天花板上，两摆球间用一根细线水平相连，两摆线与竖直方向的夹角θ1＞θ2。当细线突然断开后，两摆球都做简谐运动，以水平地面为零势能面，可知（　　）
A．甲摆的周期等于乙摆的周期
B．甲摆球的最大重力势能小于乙摆球的最大重力势能
C．甲摆球的最大速度小于乙摆球的最大速度
D．甲摆球的机械能等于乙摆球的机械能
18．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，以地面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为（　　）
A．0 B．mgh C．mgH D．mg（H+h）
19．2024年8月29日10点07分38秒，中国空间站过境连云港上空凌日，这仅仅0.5秒的震撼瞬间被地面摄影师精准定格。在照片上，中国空间站只是一个小点，但这凝聚了中国航天人三十年的追梦历程，承载着祖国航天事业的奋斗征程。
（1）将空间站凌日过程的视频通过逐帧叠加处理，获得如图所示的照片，从图中可以数出中国空间站凌日过程留下的点数约为20个，由此可确定拍摄帧率最接近 　 　 。
A．0.4Hz
B．4Hz
C．40Hz
D．400Hz
（2）空间站凌日过程中，下列表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图合理的是 　 　 。
（3）某同学利用照片估算太阳的密度。他在照片中画了两条线段：AB是空间站运动轨迹的连线，AC是太阳所成像的直径，测出两线段间夹角θ。已知空间站的轨道离地面高为h，飞行速度为v，地面上观察者测得本次空间站凌日时长为t，地球绕日公转周期为T，万有引力常量为G。
①用r日地表示地球和太阳间的距离，R日表示太阳的半径，则下列关系式正确的是 　 　 。
A．R日r日地
B．R日r日地
C．R日r日地
D．R日r日地
②若已知R日＝kr日地，估算太阳的平均密度为 ；
③若空间站中计时器测得凌日时长为t′，仅考虑狭义相对论效应，则 　 　 。
A．t′略大于t
B．t′等于t
C．t′略小于t
（4）设空间站质量为m，运行轨道离地面的高度为h，运行速度大小为v，地球半径为R，万有引力常量为G，则地球的质量为 ；以无穷远处为零势能面，空间站在轨道上正常运行时的机械能为 。
▉题型6 动能与势能的相互转化
【知识点的认识】
1.重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
2.通过重力做功，机械能可以在动能与重力势能之间转化；通过弹力做功，机械能可以在动能与弹性势能之间转化。
20．如图，两个完全相同的小球分别在真空和油中由静止释放，都从高度为h1的地方下落到高度为h2的地方，这两种情况下（　　）
A．重力做功不相等
B．重力做功的功率相等
C．到达高度h2时的动能相等
D．重力势能的变化量相等
21．生命不停息，运动不止步。运动让生活很美好，各类运动过程都遵循某种物理规律。
（1）我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图1中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中，哪几个位置与速度v的方向相反？在图中标出这些位置。
（2）篮球比赛中弹跳和摸高很重要，小丁身高1.7m，质量为70kg，站立时摸高2.0m，跳起时摸高2.6m。选取地面为重力势能零势能面。忽略跳跃过程姿态变化对人体重心的影响，认为人的保持正立姿态，重心维持在身高一半处。则小丁跳到最高时的重力势能为 　 J，在立定跳高过程中重力势能最多增加了 　 　 J。
（3）一个标准合格的篮球质量为0.6kg，当地重力加速度g取10m/s2。为了检验一篮球弹性性能，某同学将篮球从H1＝1.8m高处自由下落，能够自由弹跳到H2＝1.25m米高度处，如果不考虑篮球在运动中转动和所受的空气阻力。若取向下为正方向，则篮球刚和地面刚接触时的速度大小为 　 　 m/s。篮球在与地面碰撞过程中，动量改变量Δp＝ 　 _________kg m/s，地面对篮球所做的功W＝ 　 J。
（4）（论证）小张同学通过实验研究他传球时篮球的运动，得到了篮球在Oxy平面上运动的一条运动轨迹，在平面直角坐标系中如图2中OP曲线所示。他根据物体运动轨迹的特点作出了猜想：如果物体在y方向做匀速直线运动，那么物体在x方向必定做匀加速直线运动。小张同学的猜想是否成立？要求通过作图给出分析方法。
▉题型7 机械能守恒定律的内容和条件
【知识点的认识】
1.推导
如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功由动能定理可得
W
又W＝mgh1﹣mgh2，
可得mgh1﹣mgh2，
移项后得mgh2mgh1，即物体末状态的动能与势能之和等于物体初始状态的动能与势能之和。
2.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
3.表达式
（1）守恒式：Ek1+EP1＝Ek2+EP2
意义：系统任一时刻的机械能均是相等的
（2）转化式：ΔEk＝﹣ΔEP
意义：系统动能的增加量等于势能的减少量
（3）转移式：ΔEA＝﹣ΔEB
意义：系统内一部分物体机械能的增加量等于其余部分机械能的减少量
4.条件
只有重力或系统内弹力做功，只有重力或系统内弹力做功的说法包括三种情况：
（1）只受到重力。
（2）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，但其他力不做功。
（3）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，其他力所做总功为零
22．（1）一物体在空中匀速下降时，不断变小的能量是 　　 。
A.动能
B.动能、重力势能
C.重力势能、机械能
D.动能、重力势能、机械能
（2）如图，一小球A从某高处由静止开始自由下落，选择不同平面为参考平面，下落过程中小球具有的能量及其变化情况如表所示，请在表格中将未填写的数据补充完整。
所选择的参考平面 下落初始时刻的机械能E1 下落到地面时的机械能E2 下落到地面时的重力势能Ep 下落过程中重力势能变化量ΔEp 下落到地面时的动能Ek
四楼地面 （1）　　 J ﹣1.5J （3）　　 J （4）　　 J 6J
一楼地面 7J （2）　　 J 0 ﹣7J
（3）物体（在赤道上）落地之后随地球自转的向心加速度为a，要使此物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的 　　 。
A.
B.
C.
D.
（4）如图所示，将完全相同的小球1、2、3分别从同一高度由静止释放（图甲和图丙）或平抛（图乙），其中图丙是一固定在地面上的光滑斜面，每个小球从开始运动到落地过程，不计空气阻力，下列说法正确的是 　　 。
A.小球3落地瞬间的重力的功率最小
B.3个小球落地瞬间的速度大小相等
C.该过程中，小球3的重力做功最多
D.该过程中，3个小球的重力做功的平均功率相等
（5）如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变。则：
①重力的功率 　 　 。
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
②阻力做功大小为 　 。
（6）一小球以速度v0竖直向上抛，设抛出位置为零势能面，则：
①忽略空气阻力，当小球距离抛出位置距离为 时，小球的动能是其重力势能的一半。
②考虑空气阻力且阻力恒定，上升的最大高度为H（此时v0未知），在上升到离地面高度为h时，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h时，小球的势能是动能的2倍，则h等于 　 　 。
A.
B.
C.
D.
（7）小明用额定功率为1200W、最大拉力为300N的提升装置，把静置于地面的质量为20kg的重物竖直提升到高为85.2m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5m/s2的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零，则：
①重物匀速上升时速度为多大？
②若要用最短时间提升重物，定性画出物体运动的v﹣t图像。
③提升重物的最短时间为多少？
▉题型8 判断机械能是否守恒及如何变化
【知识点的认识】
1.机械能守恒的条件为：
（1）只受到重力。
（2）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，但其他力不做功。
（3）除重力或系统内弹力外还受到其他力的作用，其他力所做总功为零
2.判断机械能是否守恒的方法有
（1）做功条件分析法
应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法
从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。
（3）增减情况分析法
直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。
（4）典型过程
对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
3.机械能如何转化
如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。
23．如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在B点（图中未画出），下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的A点。现对物体施加一个平行于斜面向上的力F，使物体沿斜面缓慢向上移动到B点，此过程中力F做功为W。则此过程中（　　）
A．物体机械能守恒
B．弹簧和物体组成的系统机械能守恒
C．力F的大小始终等于弹簧弹力的大小
D．弹簧弹性势能减小量等于W
24．如图为蹦床运动示意图，A为运动员到达的最高点，B为运动员下落过程中刚接触蹦床时的位置，C为运动员到达的最低点。忽略空气阻力的影响，运动员自A落至C的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．B至C，蹦床弹力对运动员不做功，运动员机械能守恒
B．A至B，运动员加速运动；B至C，运动员减速运动
C．A至C，只有重力和蹦床弹力做功，运动员和蹦床系统的机械能守恒
D．运动员在C点，速度为零，加速度为零
25．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，返回舱下降到距离地面约10公里的高度时，降落伞依次打开，返回舱沿直线减速。减速下降时，返回舱的机械能（　　）
A．保持不变 B．一直增加 C．一直减小 D．无法判断
26．我国某些地区的人们用手抛撒谷粒进行水稻播种，如图（a）所示。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2同时从O点抛出，初速度分别为v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于P点，如图（b）所示。已知空气阻力可忽略，以O点所在水平面为零势能面，则（　　）
A．谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为mgh
B．谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为
C．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为P1＞P2
D．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为P1＝P2
27．伞兵一般会在400m﹣1000m高度处进行训练和操作，2008年5月14日，为了勘察地震灾情和打开救灾通道，中国人民解放军15名空降兵在无气象资料、无指挥引导、无地面标识的“三无条件”下，毅然从4999米的高空跳下。设在最后接近地面阶段为匀速下降，此过程中，伞兵状态的变化情况是（　　）
A．重力做正功，重力势能增加
B．阻力做负功，机械能减少
C．速率不变，机械能增大
D．合外力做功为零，机械能不变
28．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是（　　）
A．上楼（人与地球组成的系统）
B．跳绳（人与绳组成的系统）
C．水滴石穿（水滴与石头组成的系统）
D．箭射出后（箭、弓、地球组成的系统）
29．“旋转飞椅”“海盗船”“激流勇进”等是游乐场里深受人们喜爱的项目，它们的设计中都巧妙地运用了物理学原理。
（1）“海盗船”在外力驱动下启动，当达到一定高度后撤去驱动力，此后“海盗船”来回摆动，幅度逐渐减小。由低处向高处摆动过程中，“海盗船”　 　 。
A．重力势能增大，动能减小，机械能减小
B．重力势能减小，动能增大，机械能减小
C．重力势能增大，动能减小，机械能不变
D．重力势能减小，动能增大，机械能不变
（2）“激流勇进”设施如图所示，船和游客的总质量为m，在动力系统的牵引下，由静止开始沿倾角为θ的直道，以加速度a匀加速提升至一定高度，随后依次经过几段不同的轨道最后冲入水池中。在沿直道提升阶段，船对游客 　 　 。
A．做正功
B．不做功
C．做负功
▉题型9 机械能守恒定律的简单应用
【知识点的认识】
1.机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.对三种表达式的理解
（1）守恒式：Ek1+EP1＝Ek2+EP2，这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外，表达式中是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的E都应是对同一参考平面而言的。
（2）转化式：ΔEk＝﹣ΔEP，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。
（3）转移式：ΔEA＝﹣ΔEB，将系统分为A、B两部分，A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量，可以不选择参考平面。
3.运用机械能守恒定律的基本思路
4.机械能守恒定律和动能定理的比较
30．如图所示，轻质动滑轮下悬挂质量为6m的重物A，绕过轻质定滑轮细绳的另一端悬挂质量为m的重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。在外力约束下A、B静止且距地面高度均为h，解除约束后A、B开始运动。不计摩擦力和空气阻力，若B始终不与定滑轮相碰，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A．重物A在下落过程中机械能增加
B．重物A、B运动过程中，速率时刻相同
C．重物A刚要落地时，A的速度大小为
D．重物A刚要落地时，A的速度大小为
31．从地面上方0.45m处以4m/s的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为10m/s2，以地面为重力势能的零势能面。下列说法中正确的是（　　）
A．物体在空中运动时间为0.8s
B．动能与势能相等时离地面高度为1.25m
C．速度为2m/s时离地面高度为1.05m
D．速度为2m/s时离地面高度为0.6m
32．如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量及空气阻力忽略不计，若该同学荡到最高点时绳与竖直方向的夹角为37°，则当该同学荡到秋千支架的正下方时，每根绳子承受的平均拉力约为（　　）（重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
A．250N B．350N C．500N D．700N
33．人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实（如图）。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个大小均为320N、方向都与竖直方向成37°的力，提着重物离开地面30cm后释放，重物自由下落将地面砸深2cm。已知重物的质量为50kg，cos37°＝0.8，忽略空气阻力，则（　　）
A．物体落地时的速度约为2.48m/s
B．物体对地面的平均作用力大小为830N
C．人停止施力到刚落在地面过程中机械能不守恒
D．重物刚落在地面时到最后静止过程中机械能守恒
34．一根长为l的细绳，一端系一小球，另一端悬挂于O点．将小球拉起使细绳与竖直方向成60°角．在O点正下方A、B、C三处先后钉一光滑小钉，使小球由静止摆下后分别被三个不同位置的钉子挡住．已知OA＝AB＝BC＝CD，如图所示，则小球继续摆动的最大高度hA，hB，hC（与D点的高度差）之间的关系是（　　）
A．hA＝hB＝hC B．hA＞hB＞hC C．hA＞hB＝hC D．hA＝hB＞hC
35．如图，若质量为m的小球从离地高为h的P点以大小为v0的速度斜向上飞出，球能到达的最高点离地高度为h2。以P点所在水平面为零势能面，不计空气阻力，球在Q点时的机械能为 ；球在经过Q点后的下落过程中，其动能Ek与其离地高度h间的关系可能为 　 。
36．如图所示，从地面上以速度v0斜向上抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海面上。若以地面为零势能面且不计空气阻力，则物体从抛出到落到海面的过程中，重力对物体所做的功为　 ，物体在地面上抛出时的机械能为 。
37．如图所示，一可视为质点的物块从光滑斜面静止滑下，进入竖直放置的与斜面相切于斜面底端的光滑圆轨道，绕圈一周后从圆轨道最低点滑上与水平地面等高的水平顺时针转动的传送带。已知物块质量m＝0.2kg，初始位置离斜面底端的高度h＝1.8m，斜面倾角θ＝37°，圆轨道半径R＝0.5m。传送带长度L＝2.2m，物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，除了传送带粗糙外，其余表面均光滑，g＝10m/s2。
（1）求物块到达斜面底端时的速度大小v1；
（2）求物块到达圆轨道最高点时对轨道的压力F压；
（3）若传送带的速度v＝8m/s，求物块离开传送带的速度。
38．如图所示，一倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道与水平轨道PQ平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为m＝0.1kg的滑块A和B，用长L＝0.4m且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、PM两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.5。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取10m/s2。现同时静止释放A、B，求：
（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量；
（2）A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功；
（3）A停止运动时的位置与M点的距离。
39．某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ＝37°的直轨道AB，半径R＝1m、圆心角为2θ的圆弧BCD，半径为R，圆心角为θ的圆弧DE组成，轨道末端的E点为圆弧的最高点，轨道间平滑连接。质量m＝0.5kg的物块a从轨道AB上高度h＝0.3m处以初速度v0下滑，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块a与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.5，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块a视为质点，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）若初速度v0＝0，求物块a第一次通过D点时速度大小vD；
（2）若初速度v0＝0，求物块a在轨道AB上运动的总路程s；
（3）若物块a沿轨道DE从E点滑出，v0应满足什么条件？
40．17世纪，伽利略在研究斜面运动时首次发现“高度与速度的此消彼长”，为机械能守恒思想埋下种子。如今，通过光电门等现代装置，在摆锤下落等实验中，依然延续着这场跨越三个世纪的守恒验证之旅。从传统实验到数字实验，改变的是实验手段，不变的是对守恒律的执着追寻。
（1）某同学使用如图装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。
①用水平推力从最低点缓慢推高摆锤的过程中，推力F与轻质连杆对摆锤的拉力T的变化情况为 　 　 。
A．F增大，T减小
B．F、T都增大
C．F减小，T增大
D．F、T都减小
②将摆锤从图示位置静止释放，读取并记录各挡光片的对应高度h和摆锤经过各挡光片的挡光时间t，测得各挡光片的宽度均为d。利用实验数据，以h为横坐标，以 为纵坐标绘制图线，当图线为斜率大小近似为g的倾斜直线时，可认为摆锤下摆过程中机械能守恒。
③摆锤以大小为v的速度经过最低点后，在制动装置作用下静止于连杆与竖直方向夹角为θ位置。已知摆锤质量为m、摆长为L，刹停过程中制动装置对摆锤做功W＝ 　 　 。
（2）某同学设计了如图所示的装置来研究机械能是否守恒。轻质细线的上端固定在O点，下端连接圆柱形的摆锤P，在摆锤摆动的路径上，固定了四个完全相同的光电门传感器A、B、C、D。实验时，分别测出四个光电门到悬点O的高度差hA、hB、hC、hD，从某一高度释放摆，利用光电门测出摆锤经过四个光电门的速度。（已知重力加速度为g）
①利用光电门测量摆锤P的速度时，可以将摆锤直径作为挡光片宽度，若摆锤直径的测量值比实际值小，则摆锤动能的测量值与实际值相比 　 　 （选填：A．偏小，B．偏大，C．相等）；
②另一同学在得到摆锤经过四个光电门的速度v和光电门距离悬点O的高度差h后，作出如图所示的v2﹣h图线。若摆锤摆动过程中机械能守恒，则该直线的斜率为 　 　 ；
③该同学经过多次实验，发现摆锤在A、B、C、D四点的机械能总是依次减小，原因可能是 　 　 。
▉题型10 弹簧类问题中的机械能守恒
【知识点的认识】
本考点旨在针对含有弹簧的机械能守恒问题。
41．如图，某同学设计了一款游戏装置，将一竖直轻弹簧的一端固定在开口向上的竖直纸箱底部，压缩弹簧到N处，并用开关S锁定弹簧，在弹簧上端放置一个弹珠，向右拔出开关S，弹珠就从纸箱顶端突然跳出。纸箱顶端M处为弹簧原长，不计空气阻力，弹珠从N运动到M的过程中，弹珠和弹簧组成的系统的重力势能与弹性势能之和（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．一直增大 D．一直减小
42．轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落h后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为k，箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
43．如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，一物体由弹簧正上方某位置由静止开始竖直下落，不计空气阻力。则物体从与弹簧接触到第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物体的动能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．物体的机械能守恒
D．物体克服弹力做功的功率逐渐增大
（多选）44．两条平行且足够长的光滑竖直轨道间距为d，带孔的小球A、B（看作质点）用原长也为d的轻质弹簧连接后，分别穿在两轨道上。初始时刻，将两球拉到如图所示的位置（AB连线与竖直方向夹角为45o）时由静止释放。当A球沿轨道下滑的距离为h时，两球第一次相距最近。在下滑过程中两球的距离第一次和初始时刻相同时，A球下滑的距离为H。已知两球质量均为m，重力加速度为g，不计空气阻力，取弹簧原长时的弹性势能为0。下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中A、B两球组成的系统机械能守恒
B．若两球第一次相距最近时两球的总动能为Ek，则初始时刻弹簧的弹性势能为Ek﹣mg（2h+d）
C．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mg（H+d）
D．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mgH
（多选）45．如图甲所示，竖直放置的轻弹簧下端固定，质量为m可视为质点的物块从弹簧正上方由静止释放，物块加速度a的大小与物块下降的距离x的关系图像如图乙所示，图乙中x2＝2x1＝2h，x3未知且当物块下落距离为x3时速度恰好为零。已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力及物块与弹簧碰撞间的能量损失。则在物块下降过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块的机械能守恒
B．物块的最大加速度大小为
C．物块的最大动能为
D．图乙中
（多选）46．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止释放后，经过B处速度最大，到达C处（AC＝h）时速度减为零。若在此时给圆环一个竖直向上的速度v，它恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（　　）
A．下滑过程中，加速度一直增大
B．上下两次经过B点的速度大小相等
C．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2
D．在C处弹簧的弹性势能为 mghmv2
（多选）47．一光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角为θ，沿斜面放一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端与物体A连接，物体B紧挨着A并排放置如图所示，A、B质量均为m。开始系统静止在O点，向下压缩弹簧后由静止释放，若释放时A、B的加速度为a，且a＞gsinθ，弹簧的弹性势能表达式为Ep（其中k为劲度系数，x为形变量大小），重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．物体A、B将在距释放点处分离
B．在物体A、B分离前，物体A、B组成的系统机械能守恒
C．物体A向上运动到最大距离处时的弹性势能是弹簧开始释放时的
D．物体B向上运动过程中最大速度大小为
48．如图所示，长度为L的粗糙水平面AB与竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，小滑块到达B点前已和弹簧分离，经过B点后沿半圆轨道恰好能通过最高点C作平抛运动。已知：R＝0.9m，m＝0.2kg，L＝10m，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：
（1）小滑块通过C点的速度大小vC；
（2）小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小F；
（3）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep。
▉题型11 机械能与曲线运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机械能守恒定律与曲线运动相结合的问题，包括一般曲线运动、圆周运动、平抛运动等。
49．如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝1kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知xAB＝5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.1，当小物块运动到B点时撤去力F，取重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小。
50．如图，某游戏装置由最高点A距水平面高为的倾斜轨道AB、半径的圆弧轨道BC、长为L＝9.0m水平轨道CD和高为的高台EF平滑连接而成，倾角为θ的直角斜面体紧贴着高台边缘ED，与高台EF等高。将质量m1＝0.5kg的小物块从A处由静止释放，恰能到达高台边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，仍将小物块从A处由静止释放，发现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。已知小物块与水平轨道CD、斜面体间的动摩擦因数均为μ，其余接触面均光滑，不计空气阻力，g取10m/s2。
（1）求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小；
（2）求动摩擦因数μ；
（3）求斜面体倾角θ。
▉题型12 多物体系统的机械能守恒问题
【知识点的认识】
1.系统机械能守恒条件
（1）系统除重力外无其他外力做功（
2）系统内除弹力外其他内力不做功或所做的总功为零，特别是系统内无滑动摩擦力时系统的机械能守恒。
2.多物体系统内物体间的速度关系
（1）绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。
（2）杆连接的两物体，当绕固定点转动时，两物体角速度相等；当杆自由运动时，两物体沿杆方向上的速度分量相同。
（3）接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量相同
51．如图所示，质量分别为m、2m的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a套在竖直细杆M上，b套在水平细杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°，两根细杆M、N不接触（a、b球均可越过O点），两杆间的距离忽略不计，且不计一切摩擦，重力加速度大小为g。将a、b从图示位置由静止释放，则下列说法中正确的是（　　）
A．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功，后做正功
B．刚性轻杆与水平方向夹角为θ时，a、b两球运动的速率满足vacosθ＝vbsinθ
C．a球的最大速度为
D．b球的最大速度为
52．如图，一顶角为直角的“∧”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0，两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是（已知弹簧的长度为l时弹性势能为）（　　）
A．金属环与细杆之间的最大压力为
B．金属环的最大速度为
C．金属环的最大加速度为g
D．金属环达到最大速度时重力的功率为
▉题型13 从能量角度求解传送带问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对涉及能量类问题的传动带模型。
53．如图所示，倾斜传送带以大小为v1的速度顺时针转动时，将木箱无初速度的放在底端B点，木箱经时间t到达顶端A点，向上运动的过程中由于摩擦产生的热量为Q1。传送带以大小为v2的速度逆时针转动时，将木箱无初速度的放在A点，木箱经时间t也刚好到达底端B点，向下运动的过程中由于摩擦产生的热量为Q2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木箱可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．Q1＜Q2 D．Q1＞Q2
54．如图所示，固定在竖直面内的四分之一圆弧轨道，半径为R＝0.4m，轨道底端切线水平且与水平传送带左端平滑相连，传送带顺时针转动，运行速度大小为v＝4m/s。一质量为m＝1kg可视为质点的物块从轨道顶端由静止开始下滑，运动到圆弧轨道底端时对轨道压力大小为自身重力的2倍。已知物块与传送带间动摩擦因数为μ＝0.5，传送带轮中心间距为L＝1.6m，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）物块在圆弧轨道运动过程中所受阻力做的功；
（2）物块离开传送带时速度的大小；
（3）由于传送物块，传送带多消耗的电能。
▉题型14 从能量角度求解板块模型的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对涉及能量类问题的板块模型。
（多选）55．如图所示，静止在光滑水平面上的长木板A，某时刻一可视为质点的小物块B从A的左端滑上，恰好运动到A的右端时两者相对静止，已知该过程中，长木板A的动能增加量为ΔEkA，小物块B的动能减少量为ΔEkB，A、B间摩擦产生的热量为Q。关于ΔEkB、ΔEkA、Q的值，下列可能正确的是（　　）
A．ΔEkA＝5J，ΔEkB＝12J，Q＝7J
B．ΔEkA＝10J，ΔEkB＝28J，Q＝13J
C．ΔEkA＝2J，ΔEkB＝3J，Q＝1J
D．ΔEkA＝12J，ΔEkB＝28J，Q＝16J
▉题型15 机械能与图像相结合的问题
【知识点的认识】
机械能的的图像类问题包括动能变化、重力势能或弹性势能变化、机械能变化等图像问题。
56．如图（a）所示，静止在水平地面上的物体，在竖直向上的拉力F作用下开始运动。在物体向上运动的过程中，其机械能E与位移x的关系图像如图（b）所示，物体到达最高点时的位移为x3，图线上位移为x1的点A处的斜率最大，位移为x2处的斜率恰好为零。已知重力加速度大小为g，且空气阻力不计。在物体向上运动过程中（　　）
A．物体在位移为x1处的速度大小一定最大
B．物体在位移为x1处的加速度大小一定最大
C．物体在位移为x2处开始减速
D．物体在位移为x2处开始做竖直上抛运动
（多选）57．从地面竖直向上抛出一物体，受到的空气阻力恒定不变，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力零势能面，该物体的E总和Ep随它离地面的高度h的变化如图所示，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．物体的质量为1kg
B．物体受到的空气阻力为5N
C．h＝2m时，物体的动能Ek＝40J
D．从地面至h＝4m，物体的动能减少了100J
▉题型16 验证机械能守恒定律
【知识点的认识】
实验：验证机械能守恒定律
1．实验目的：验证物体做自由落体运动时机械能守恒。巩固由纸带求瞬时速度的方法，体验误差分析。
2．实验原理：自由下落的物体只有重力做功，若减小的势能等于增加的动能，即：﹣△Ep＝△Ek，则物体机械能守恒。
3．实验的方法：让连着纸带的重物由静止自由下落，重物下落的高度h，和下落高度h时重物的速度v，可根据纸带得出。看ghv2是否成立？
4．实验器材：铁架台，重锤，打点计时器，低压交流电源，电键，刻度尺，复写纸，纸带，导线。
5．实验步骤：
（1）按装置图安装好器材，注意打点计时器板面竖直，保证两个限位孔中心在同一竖直线上，并用导线将计时器接到低压交流电源上。
（2）将长约1米的纸带一端用小夹子固定在重物上后，另一端（上端）穿过打点计时器限位孔，用手提着纸带，使重物静止并靠近计时器的下方。
（3）接通电源，让重物带动纸带自由下落，计时器在纸带上打下一系列的点。
（4）换几次纸带，重复上述（2）、（3）步骤。
（5）在所得到的纸带中，选取点迹清晰、且第一、二两点间的距离接近2mm的3条纸带进行测量。先记下第一点作为O点，再在纸带上点迹清晰部分依次连续地选取三个计数点，且相邻两计数点间的时间相等，设为T，如图所示的D、E、F三点，用刻度尺测出距O点到E点的距离设为hi，以及D、F间的距离s。
（6）用公式vi，计算出E点对应速度。
（7）看势能减少量mghi是否等于动能增加量。
6．实验结论：重物自由下落时机械能守恒。
7．实验中应注意事项
（1）因为不需要知道物体在某点动能和势能的具体数值，所以不必测量物体的质量m，而只需验证ghn就行了。
（2）打点计时器要竖直架稳，使板面在同一竖直平面内，其两限位孔中心要在同一竖直线上，以尽量减少纸带与打点计时器间的摩擦阻力作用。
（3）实验时，必须先接通电源，让打点计时器正常工作后才能松开纸带让重物下落。
（4）测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能弄错。为了减小测量h值的相对误差，选取的各个计数点要离起始点适当远些。
（5）由于实验中不可避免地存在纸带与限位孔、振针间的摩擦及空气阻力作用，因此减小的重力势能值△Ep要大于增加的动能值△Ek。
58．在“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，用到的传感器是　 传感器，实验中从摆锤释放到最低点的过程中，合外力对摆锤 （选填：“做正功”或“不做功”或“做负功”）。
59．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，他将两物块A和B用轻质细绳连接并跨过轻质定滑轮，B下端连接纸带，纸带穿过固定的打点计时器，用天平测出A、B两物块的质量mA＝300g，mB＝100g，A从高处由静止开始下落，B拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律，图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离如图乙所示，已知打点计时器计时周期为T＝0.02s，则：
（1）在打点0～5过程中系统势能的减小量ΔEp＝ J，系统动能的增加量ΔEk＝ 　 　 J（重力加速度g＝9.8m/s2，结果均保留三位有效数字）。
（2）实验结果显示，动能的增加量小于重力势能的减少量，主要原因可能是 　 　 。
A．工作电压偏高
B．存在空气阻力和摩擦阻力的影响
C．先释放重物，后接通电源打出纸带
D．利用公式计算重物速度
（3）用v表示物块A的速度，h表示物块A下落的高度。若某同学作出的图像如图丙所示，则可求出当地的重力加速度g＝ 　 　 m/s2（结果保留三位有效数字）。
60．
验证机械能守恒定律
图示为“验证机械能守恒定律”的实验装置。实验中，将完全相同的挡光片依次固定在圆弧轨道上，测出部分数据如表：
高度h/m 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0
势能Ep/J 0.0295 0.0236 0.0177 0.0109 0.0059 0.0000
动能Ek/J 0.0217 A 0.0328 0.0395 0.0444 0.0501
机械能E/J 0.0512 0.0507 0.0505 0.0504 0.0503 0.0501
（1）关于摆锤机械能守恒的条件，以下理解正确的是 　 　 。
A、摆锤仅受重力时，机械能才守恒
B、只有合外力为零时，机械能才守恒
C、只有重力对摆锤做功时，机械能才守恒
D、只有合外力做功为零时，机械能才守恒
（2）摆锤内置的传感器是 　 传感器，若挡光片的宽度为d，挡光时间为Δt，则摆锤经过挡光片时的速度大小为 。表中A的数据应为 　 J。表中机械能随着高度的下降会有略微的减小，其可能的原因是：　 　 。
（3）（多选）另一小组记录了每个挡光片所在的高度h及其相应的挡光时间Δt后，绘制了h和h四幅图像。为了说明实验结果机械能守恒，最合适的选择是 　 　 。

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