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第三章 圆 单元综合全优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，连结CD．则∠D的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
3．若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（　　）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
4．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
6．如图， 是半圆，连接AB，点O为AB的中点，点C、D在 上，连接AD、CO、BC、BD、OD．若∠COD=62°，且AD∥OC，则∠ABD的大小是（　　）
A．26° B．28° C．30° D．32°
7．用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（　　）
A．16m2 B．32m2 C．m2 D．96m2
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是（　　）
A．6 B． C．8 D．
9．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）
A． B． C． D．πr2
10．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为　 　.
12．已知点M到直线L的距离是3cm，若⊙M的直径10cm，则⊙M与直线L的位置关系是　 　．
13．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的半径是5cm，则梯形的面积是　 　cm2.
14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC（点C为切点），则线段PC长的最小值为　 　.
15．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径为　 　
16．如图，以的边AB为直径的恰好过BC的中点，过点作于点，连结OD，AD.有下列结论：①OD//AC；②∠B=∠C；③2OA=BC；④DE是OO的切线；⑤∠EDA=∠B.其中正确的是　 　(填序号).
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图甲所示，某地有一座圆弧形拱桥.
（1）在图甲中用直尺和圆规作出圆弧所在圆的圆心.
（2）如图乙所示，过点作于点，交圆弧于点.桥下水面宽度AB为，现有一艘宽、船舱顶部为方形并高出水面的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
18．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 AB 为30 m，拱高 PM 为9 m，当洪水泛滥到跨度只有 15 m时，就要采取紧急措施.
（1）拱桥所在圆的半径为　 　m；
（2）某次洪水中，水面离拱顶只有 2m ，即 PN=2m .通过计算说明是否需要采取紧急措施.
19．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求AB的长．
20．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．
21．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
22．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．
23．如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
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第三章 圆 单元综合全优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为7，点A在⊙O外，
∴OA＞7，
∵5、6、7都不符合，只有8符合题意.
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
2．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，连结CD．则∠D的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠D=∠A=50°．
故选A．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
3．若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（　　）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
【答案】D
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
4．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设A、E、F分别是 各边中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】设A、E、F分别是△ABC各边中点，由AB=AC=BC=8，得DE=DF=EF=4，则∠EDF =∠DFE=∠DEF=60°，结合 ，据此回答即可.
5．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
6．如图， 是半圆，连接AB，点O为AB的中点，点C、D在 上，连接AD、CO、BC、BD、OD．若∠COD=62°，且AD∥OC，则∠ABD的大小是（　　）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COD=62°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=28°；
故答案为：B．
【分析】在半圆中，根据圆周角定理可知，∠ADB=90°，因为∠DOC=62°，根据半圆的各条半径均相等，即可求出∠A的角度，根据三角形的内角和为180°，即可求出∠ABD的度数。
7．用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（　　）
A．16m2 B．32m2 C．m2 D．96m2
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：AB=48÷6=8m，
过O作OC⊥AB，
∵AB=BO=AO=8m，
∴正六边形面积为：4×8××6=96m2，
故选D．
【分析】首先根据正六边形的特点可把正六边形分成6个全等的等边三角形，再根据题意算出一个等边三角形的面积，进而可算出正六边形面积．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是（　　）
A．6 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AP：PB=5：1，
∴设PB=x，AP=5x，
∴OC=OB= =3x，
∴OP=2x．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，
∴PC=5．
∵PC2+OP2=OC2，即52+（2x）2=（3x）2，解得x= ，
∴OC=3x=3 ．
故选D．
【分析】连接OC，根据AP：PB=5：1可设PB=x，AP=5x，故OC=OB= =3x，故OP=2x，由垂径定理可求出PC的长，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
9．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）
A． B． C． D．πr2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD=30°，O1D=r， ．
∴ ．由 ．
∵由题意，∠DO1E=120°，得 ，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为 = ．
故选：C．
【分析】过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO1，则在Rt△ADO1中，可求得 ．四边形ADO1E的面积等于三角形ADO1的面积的2倍，还可求出扇形O1DE的面积，所求面积等于四边形ADO1E的面积减去扇形O1DE的面积的三倍．
10．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设的弧度为x，则的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴的弧度为180°-x，
由折叠知：==x，
=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴==x-90°，
∴=-=90°，
∴所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=，
∴OE= CE-OC=.
故答案为：A.
【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x，得、、，进而得到所对圆心角为90°，OE= CE-OC即可求得.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为　 　.
【答案】60°
【解析】【解答】解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm，
∴OA=OB=5cm，
∴OA=OB=AB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°.
【分析】画出图形，由题意可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质进行解答.
12．已知点M到直线L的距离是3cm，若⊙M的直径10cm，则⊙M与直线L的位置关系是　 　．
【答案】相交
【解析】【解答】解：∵⊙M的直径为10cm，
∴r=5cm，
∵圆心M到直线L的距离为3cm，即d=3cm，
∴d＜r
∴直线L与⊙M的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【分析】因为⊙M的直径已知，所以圆的半径可求出，再比较圆心M到直线L的距离和半径的大小关系即可得到⊙M与直线L的位置关系．
13．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的半径是5cm，则梯形的面积是　 　cm2.
【答案】49或7
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CE于点E，交AB于点F，连接OA，OC，
∵AB＝8，CD＝6，
∴CE BC 6＝3，AF AB 8＝4，
在Rt△COE中，OE 4；
在Rt△AOF中，OF 3，
当点AB，CD在圆心O的同侧时，如图1所示：
EF＝OE+OF＝4+3＝7，S梯形ABCD (AB+CD) EF (6+8)×7＝49；
当点AB，CD在圆心O的异侧时，如图2所示：
EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，S梯形ABCD (AB+CD) EF (6+8)×1＝7；
∴梯形ABCD的面积为：7cm2或49cm2.
故答案为：7cm2或49cm2.
【分析】梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解.
14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC（点C为切点），则线段PC长的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：连接OP、OC，如图所示，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
根据勾股定理知：PC2＝OP2﹣OC2，
∴当PO⊥AB时，线段PC最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∴∴S△AOB＝ OA OB＝ AB OP，即OP＝ ＝ ，
∵OC＝2，
∴PC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】连接OP，OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与PC垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PC最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PC的最短值.
15．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵由圆内接四边形ABCD，
∴∠C+ ∠A=180°，
∴∠A=45°，
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD=90°，
∴AD圆的直径，∠ADB=∠A=45°，
∴BD＝AB=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AD= .
故答案为： .
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠A=45°，进而判断出△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理算出AD的长，最后根据圆周角定理，由90°的圆周角所对的弦是直径即可得出答案.
16．如图，以的边AB为直径的恰好过BC的中点，过点作于点，连结OD，AD.有下列结论：①OD//AC；②∠B=∠C；③2OA=BC；④DE是OO的切线；⑤∠EDA=∠B.其中正确的是　 　(填序号).
【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：如图
∵O为AB的中点，D为BC的中点，
∴OD//AC，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵点D为BC的中点，
∴AC=AB=2OA.
∴∠B=∠C，故②正确，③错误；
∵OD//CA， DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，故④正确；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OD⊥DE，AD⊥BC，
∴∠B+ ∠OAD=90°，∠ODA+∠ADE=90°，
∴∠EDA=∠B，故⑤正确；
综上所述，其中正确的是①②④⑤.
故答案为：①②④⑤.
【分析】 ① 根据中位线的性质可得出；
② 根据线段中垂线的性质可证明结论成立，同时可得出③错误；
④先说明OD⊥DE，再根据OD是半径可证明结论成立；
⑤ 先说明∠OAD=∠ODA，再根据OD⊥DE，AD⊥BC，可证明∠EDA=∠B.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图甲所示，某地有一座圆弧形拱桥.
（1）在图甲中用直尺和圆规作出圆弧所在圆的圆心.
（2）如图乙所示，过点作于点，交圆弧于点.桥下水面宽度AB为，现有一艘宽、船舱顶部为方形并高出水面的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
【答案】（1）解：如图甲，在弧AB上任意取一点H，连结AH，BH，作出弦AH，BH的垂直平分线MN和PQ，MN和PQ的交点O即为这段弧所在圆的圆心.
（2）解：此货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图乙所示标注字母，连结ON，OB.
.
设，
则.
在Rt中，由勾股定理，得
，解得，
.
船宽3m，且船舱顶部高出水面3m，
，
，
，
此货船能顺利通过这座拱桥.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得圆的圆心在任意一条弦的垂直平分线上，故作不平行的任意两条弦的垂直平分线，两线的交点，就是该圆的圆心，从而利用尺规作垂直平分线的作法，作图即可；
（2）此货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图乙所示标注字母，连结ON，OB，由垂径定理得BD=AB=3.6m，设OB=OC=rm，则OD=（r-2.4）m，在Rt△BOD中，利用勾股定理建立方程可求出r的值，从而得到OD的长，易得四边形EDFN是矩形，则ED=NF=2m，由垂径定理德EN=1.5m，再由勾股定理算出ON的长，ON的长与该圆的半径比大小即可得出结论.
18．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 AB 为30 m，拱高 PM 为9 m，当洪水泛滥到跨度只有 15 m时，就要采取紧急措施.
（1）拱桥所在圆的半径为　 　m；
（2）某次洪水中，水面离拱顶只有 2m ，即 PN=2m .通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】（1）17
（2）解：∵OP=17m，
∴ON=OP-PN=17-2=15(m)，
在Rt△A'ON中， 由勾股定理可得A'N =
∴ A'B' = 2A'N = 16米> 15m，
∴不需要采取紧急措施
【解析】【解答】解：(1)设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA'，设半径为 xm，
则OA=OA'=OP，
由垂径定理可知AM = BM， A'N =B'N，
∵AB=30m，
在Rt△AOM中， OM=OP-PM =(x-9)m
由勾股定理可得：
即
解得： x=17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
故答案为17.
【分析】(1)由垂径定理可知AM = BM、A'N = B'N， 再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
(2)求出ON=15(m)， 再由勾股定理可得A'N=8(m)， 则A'B'=2A'N=16米>15m，即可得出结论.
19．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求AB的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB＝OA，
∴∠BOP＝∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝5，OA＝OB＝3，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PB+4）2＝PB2+82，
∴PB＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝＝3，
∵S△BOP＝OP BC＝OB PB，
∴3BC＝3×6，
∴BC＝，
∴AB＝2BC＝．
【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAP＝90°，再证出△OBP≌△OAP，得出∠OBP＝∠OAP＝90°，从而得出OB⊥PB，再根据切线的判定定理即可证出PB是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出PB和OP的长，再根据等积法求出BC的长，即可求出AB的长.
20．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．
【答案】解：（1）∵CD切⊙O于点D，
∴CD⊥OD，
又∵AB=2AC，
∴OD=AO=AC=
CO
∴∠C=30°
∴tan∠C=
；
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DOA=90°﹣30°=60°，
又∵OD=OA，
∴△DAO是等边三角形．
∴DA=r=2，
∴DB=
=
．

【解析】【分析】（1）根据CD切⊙O于点D，得出CD⊥OD，再根据AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；
（2）连接AD，证得△DAO是等边三角形，求出DA=r=2，再根据勾股定理可求得BD的长．
21．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
22．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，则四边形ADEG是矩形．
∵S△ABE=BE AH=AB EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=AF=5，
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5﹣=．

【解析】【分析】（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；
（2）连接AF，则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．
23．如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
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