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二次根式 单元全优冲刺测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
2．要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x=3 B．x＜3 C．x≥-3 D．x≤3
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． =±4 B．± =4 C． =﹣3 D． =﹣4
4．已知y= + +2，则xy的值为（　　）
A．9 B．8 C．2 D．3
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（　　）
A． B．33 C．4 D．
8．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
9．计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．6
10．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ，化简 的正确结果是　 　．
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=.现已知△ABC的三边长为2，3，，则利用公式求得△ABC的面积是　 　.
13．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，则剩余木料(阴影部分)的面积为　 　dm2．
14．计算：-12016+（2- ）0+ =　 　。
15．若规定符号“*”的意义是，则的值是　 　.
16．若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）
（2）
18．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+ab+b2
（2）
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
20．若b为实数，化简|2b-1|- 。
21．先化简，再求值，其中a=2024.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1）　 　的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　.
（2）先化简，再求值：其中a=2.
22．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
23．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
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二次根式 单元全优冲刺测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
2．要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x=3 B．x＜3 C．x≥-3 D．x≤3
【答案】D
【解析】【解答】解：要使式子 在实数范围内有意义，
则-x+3≥0，
解得：x≤3．
故答案为：D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． =±4 B．± =4 C． =﹣3 D． =﹣4
【答案】C
【解析】【解答】解：A、原式=4，所以A选项错误；
B、原式=±4，所以B选项错误；
C、原式=﹣3=，所以C选项正确；
D、原式=|﹣4|=4，所以D选项错误．
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
4．已知y= + +2，则xy的值为（　　）
A．9 B．8 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵y= + +2，
∴x﹣3=3﹣x=0，
解得：x=3，则y=2，
则xy=32=9．
故选：A．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而求出y的值，即可得出答案，
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A． 与 不能合并，所以A不符合题意；
B．原式=6×2=12，所以B不符合题意；
C．原式= =2，所以C符合题意；
D．原式=2 ，所以D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则，可对B作出判断；根据二次根式相除，把被开方数相除，将结果化成最简二次根式，可对C作出判断；合并同类二次根式，把系数相加减，被开方数不变，可对D作出判断。
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.混淆了完全平方公式和平方差公式，正确结果为，该选项运算错误；
B.平方根具有非负性，正确结果为，故该选项运算错误；
C.，运算正确；
D.正确运算结果为，故该选项运算错误.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式、二次根式的性质、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方分别计算，再判断即可.
7．下列运算正确的是（　　）
A． B．33 C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别将各选项中的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，可得到正确结论的选项.
8．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
9．计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
10．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A.原式=，选项正确，符合题意；
B.原式=8，选项错误，不符合题意；
C.原式=，选项错误，不符合题意；
D.原式=，选项错误，不符合题意。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ，化简 的正确结果是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵2＜x＜3，
∴|x-2|=x-2，|3-x|=3-x，
原式=|x-2|+3-x
=x-2+3-x
=1．
故答案为：1．
【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并．
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=.现已知△ABC的三边长为2，3，，则利用公式求得△ABC的面积是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ △ABC的三边长为2，3，，
由题意得：△ABC的面积为：
.
故答案为：.
【分析】把数据 2，3， 代入面积公式，并计算即可得到△ABC的面积.
13．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，则剩余木料(阴影部分)的面积为　 　dm2．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，
∵两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板 ，
∴AF=BC=，DE=AB=，
∴，
∴阴影部分的面积为.
故答案为：6
【分析】利用正方形的面积可求出AF，DE，AB的长，再求出AD+EF的长，然后根据阴影部分的面积=AB（AD+EF），代入计算可求解.
14．计算：-12016+（2- ）0+ =　 　。
【答案】5
【解析】【解答】解：原式=-1+1+5=5.
【分析】根据题意，结合有理数的乘方以及二次根式的性质，进行计算即可得到答案。
15．若规定符号“*”的意义是，则的值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： =2（-1）-（-1）2= =
故答案为：.
【分析】根据规定符号的意义列式子，进而根据二次根式混合运算的运算顺序：先根据单项式乘多项式法则及完全平方公式计算，再计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
16．若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得
， ，
，
∴
，
，
的平方根为 。
故答案为： 。
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解得出a+b=9，然后整体代入化简得出，整体代入即可算出C的值进而即可求出其平方根。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=2
=
（2）解：
=
=
=
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质进行二次根式化简后进行合并同类项即可；
（2）利用完全平方和公式去括号后进行合并同类项即可.
18．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+ab+b2
（2）
【答案】（1）解：∵a=-2，b=+2，
∴a+b=（-2）+（+2）=2
ab=（-2）（+2）=3-4=-1
∴a +ab+b =（a+b） -ab=（2） -（-1）=13
（2）解：===-2
【解析】【分析】（1）求出a+b和ab的值，把所求代数式化成含有a+b和ab的形式，代入即可；（2）通分后把a+b和ab的值代入求出即可．
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
【答案】（1）解：∵m是 的小数部分，.
原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先估算得到，然后代入计算即可；
（2）先化简二次根式，然后代入计算即可.
20．若b为实数，化简|2b-1|- 。
【答案】解：原式=|2b-1|-|b-1|，
当b≤ 时，原式=-2b+1+b-1=-b，
当 ≤b≤1时，原式=2b-1+b-1=3b-2，
当b≥1时，原式=2b-1-b+1=b。
【解析】【分析】先将二次根式化简，即，则原式=+；分3种情况讨论：（1）当b 时，原式=-2b+1+b-1=-b；（2）当 ≤b≤1时，原式=2b-1+b-1=3b-2；（3）当b≥1时，原式=2b-1-b+1=b。
21．先化简，再求值，其中a=2024.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1）　 　的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　.
（2）先化简，再求值：其中a=2.
【答案】（1）小亮；
（2）解：原式=
=
∵，
∴原式==
【解析】【解答】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：．
故答案为：小亮，.
【分析】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的双重非负性.
（1）已知 a=2024 ，所以，根据根式的性质可得：原式，故小亮的解法是错误的；
（2）原式可化简为：原式=，又知 a=2，所以，故原式=，将a=2.代入上式可求出答案．
22．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
【答案】【解答】① + + = + + × = + + = ．②根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12，此时三角形的周长C=15.
【解析】【分析】会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
23．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
【答案】解：（1）①；②；
（2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米），
，
则新正方形花圃的边长为米；
（3）∵，
∴，
∴，
∴．
，
∴的值为．
【解析】【解答】解：（1）
①；
②；
故答案为：；；
【分析】
（1）根据定义先将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可；
（2）先表示出新正方形花圃面积为，根据定义将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可；
（3）根据，得到，根据定义将m的被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可．
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