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24.2 数据的离散程度 同步练习
一、选择题
1．若数据1，2，3，4，5，…，20的方差是a，则数据3，5，7，9，11，…，41的方差是（　　)
A．a B．2a＋1 C．4a＋1 D．4a
2．已知一组数据的方差为，则（　　）
A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3
3．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
4．甲、乙两名运动员进行射击训练，每人射击10次，若甲的方差（单位：环2）为1.2，乙比甲更稳定，则乙的方差可能是（　　）
A．0.6 B．1.2 C．1.8 D．2.4
5．若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（　　)。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
二、填空题
6．小林想要计算一组数据72，70，74，66，79，65的方差S2。在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去70，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5。记这组新数据的方差为S21，则S21　 　S3。（填“>”“<”或“=”)
7．已知甲、乙两名同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，那么数学成绩比较稳定的同学是　 　.
8．在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分)：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为　 　。
一、选择题
9．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（　　）
　 甲 乙 丙 丁
方差 3.6 3.2 4 4.3
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
10．某校运动队为准备省运动会，对甲，乙两名同学100米短跑进行了6次测试，他们的成绩通过计算得：甲和乙的平均数相等，方差分别是，则关于甲，乙两人在这次测试中成绩稳定性的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定 D．无法比较
11．图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，射箭成绩的方差较小的是（　　）
A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定
12．为挑选一名参加区运会跳远比赛的运动员，教练对甲、乙两名选手一段时间内的测试成绩进行了跟踪分析。下列情况中，能说明甲被选中的原因是（　　）
A．，S甲2>S乙2 B．，S甲2＜乙2
C．，S甲2>S乙2 D．，S甲2>乙2
13．一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是（　　)。
A．5 B．4 C．30 D．20
二、填空题
14．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参赛人数 平均字数 中位数 方差
甲 55 135 149 191
乙 55 135 151 110
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大，上述结论正确的是　 　．
15．甲、乙两人5次数学成绩如图所示，其中成绩较稳定的是　 　.
16．某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分)分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布。若按照以下分组方式：第一组{87， 88， 90， 91， 92， 92}，第二组{96， 98}，则组内离差平方和为　 　。
三、解答题
17．某农户培育了甲、乙两种番茄苗，各随机抽取了10棵苗株，测得高度如下(单位：cm)：
甲：10，9，10，10，13，8，7，12，10，11；
乙：9，10，8，11，10，11，10，9，10，12.
哪种番茄苗长得比较整齐 请说明理由
18．某厂生产两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了产品三次单价的平均数和方差．产品单价变化统计表如下：
　 第一次 第二次 第三次
产品单价（元/件） 6
产品单价（元/件） 4 3
（1）产品第三次的单价比上一次的单价降低了________．
（2）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小．
19．某旅游景区上山的一条小路上有一些断断续续的台阶．下图是其中甲、乙两段台阶路的示意图，图中的数字表示各级台阶的高度，数据11，15，18，17，10，19的方差．
（1）哪段台阶路走起来舒服些？为什么？
（2）为方便游客行走，需对这两段台阶路进行整修．在保持台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
参考答案
1．D
【解析】解：数据都扩大n倍时，方差扩大n2倍，数据都加上a时，方差不变。第2组数据是第1组对应数据的2倍加1，故方差是4a。
2．C
【解析】解：已知这组数据的方差计算公式为：
∴数据个数为5个（由分母5可得），故A不正确；
数据的平均值为10（由各数据与10的差值计算可得），故B错误；
方差作为衡量离散程度的指标始终非负，该说法正确，故C正确；
对每个数据加相同常数（如3）时，方差保持不变，故D错误。
3．A
【解析】解：∵方差分别是 0.90，
∴成绩最稳定的是甲.
4．A
【解析】解：∵甲的方差是1.2，乙的成绩比甲的成绩更稳定
∴乙的方差小于1.2，
∴A选项符合，
5．B
【解析】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
6．=
【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上(或都减去)这一个常数，两数进行相减，方差不变，
7．乙
【解析】解：∵ 甲、乙两名同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，
即甲的方差>乙的方差，
∴ 数学成绩比较稳定的同学是 乙.
8．2.5
【解析】解：小华此次演讲比赛的平均得分为 ，
小华此次演讲比赛得分的离差平方和为
9．B
【解析】解：由图表可知，乙的方差最小，比较稳定，
则要从中选择出一个更平均的小组参加年级的比赛，那么应选乙组；
10．A
【解析】解：∵甲和乙的平均数相等，，
∴，
∴甲比乙短跑成绩稳定
11．A
【解析】解：图象中，小明的射箭成绩波动比小华的小，故小明的方差较小，
12．B
【解析】解：由题意“甲被选中”可知，甲的平均成绩应该大于乙平均成绩，且甲的成绩的波动性小于乙的成绩波动性小
即，S甲2＜乙2
13．D
【解析】解：一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是：4×5=20.
14．①②③
【解析】解：从表中可知，平均字数都是135，①正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，②正确；
甲班的方差大于乙班的，说明甲班的波动情况大，所以③正确；
上述结论正确的是①②③；
15．乙
【解析】解：由统计图可知，乙5次数学成绩的波动比甲小，即成绩较稳定的是乙，
16．24
【解析】解：解：根据离差平方和的定义分别求出两组数据的离差平方和可得：
第一组数据的平均数为：(87+88+90+91+92+92)÷6=90，
第一组数据的离差平方和为：
第二组数据的平均数为：(96+98)÷2=97，
第二组数据的离差平方和为：
所以组内离差平方和为22+2=24，
17．解：乙种番茄苗长得比较整齐，理由如下，
∵==10，
==10，
∴ S甲2=，
=2.8，
S乙2=，
=1.2，
∵ S甲2＞ S乙2，
∴ 乙种番茄苗长得比较整齐.
18．（1）25
（2）解：，
，
∵产品的方差小，
∴产品的单价波动小．
19．（1）解：甲的平均数：（15×2+16×2+14×2）÷6=15，
方差为：[（15-15）2×2+（16-15）2×2+（14-15)2×2]÷6=；
乙的平均数：（11+15+18+17+10+19）÷=15，
方差为： ，即
，甲段台阶相对较平稳，走起来舒服一些
（2）解：将每级台阶高度均修整为(原平均数)，则方差为0，这样走起来感到平稳、舒服。

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