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第4章 因式分解 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．6a B． C． D．
3．（本题3分）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：．
解：设，
原式
．
例题中体现的主要思想方法是（ ）
A．函数思想 B．整体思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
5．（本题3分）计算，所得的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．38
7．（本题3分）运用公式直接对整式进行因式分解，则公式中的a可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．动脑筋 B．爱动脑筋M C．W爱动脑筋 D．爱开动脑筋
9．（本题3分）多项式可分解因式为，那么等于（　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）分解因式：______．
12．（本题3分）因式分解：______．
13．（本题3分）将多项式中的一次项放在前面带有“+”号的括号里，二次项放在前面带有“-”号的括号里，结果为___________________．
14．（本题3分）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____
15．（本题3分）下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是______（填序号）
16．（本题3分）若实数，，，满足，，则___．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）因式分解：
(1)；
(2)．
18．（本题8分）已知，求的值．
19．（本题8分）先分解因式，再求值：
(1)，其中，，．
(2)，其中．
20．（本题8分）【阅读材料】因式分解：．
解：令，则原式．第①步
．第②步
再将“”还原，原式．第③步
【问题解决】
(1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____；
A．提公因式法， B．平方差公式法， C．两数和的完全平方公式法
(2)因式分解：的结果是_____；
(3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方．
21．（本题8分）已知，用含a，b的式子表示的值．
22．（本题10分）简便计算：
(1)；
(2)．
23．（本题10分）如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．
(1)用代数式表示草坪的面积．
(2)利用因式分解计算当，时，草坪的面积．
24．（本题12分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B A C A D D A
1．B
【分析】本题考查了判断是否是因式分解，解题关键是掌握因式分解的意义并能熟练运用求解．
根据因式分解的意义，对四个式子逐一作出分析，再作出判断即可．
【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故A不符合；
B、右边是整式的积，是因式分解，故B符合；
C、，右边不是整式的积，不是因式分解，故C不符合；
D、，右边不是整式的积，不是因式分解，故D不符合，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.
多项式中，各项系数的最大公约数是2，各项都含有的相同因式是，且因式的指数最低是2，所以得出结果.
【详解】解：多项式分解因式，
6，4的最大公约数是2，各项都含有相同因式为，
故提出公因式.
故选：D.
3．C
【分析】本题考查平方差公式的应用，需识别多项式是否符合的结构， 平方差公式为，其结构为两项且符号相反，据此求解即可．
【详解】解：A、为两项平方相加，无法用平方差公式分解，不符合题意．
B、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意．
C、中，是，是，符合结构，分解为，符合题意．
D、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了分解因式，对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可．
【详解】解：根据分解因式的过程可知，把看做一个整体，通过多项式乘以多项式的计算法则先去括号，然后合并同类项后利用完全平方公式分解因式，体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了有理数的乘方，因式分解，先把转化为，再利用提公因式法因式分解进而即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键．
根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解．
【详解】解：
，
根据题意，得，
所以，
所以．
7．A
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式得出答案．
【详解】解：∵
，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式，平方差公式将式子因式分解，再根据题中的密码编译可得到密码信息是：爱开动脑筋，从而得到答案．
【详解】解：
∵对应的密码是开，对应的密码是动，对应的密码是脑，对应的密码是筋，而3是常数，它对应的密码是爱，
∴合起来的密码信息可能是：爱开动脑筋，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∴M为：，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可．
【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是，
正确，，
乙看错了的值，分解的结果是，
正确，，
正确多项式为，
因式分解得．
故选：A．
11．．
【分析】根据平方差公式：进行分解因式即可．
【详解】解：，
，
根据平方差公式：，
其中，
，
原式=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
12．
【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了对多项式的理解，先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
14．11
【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值．
【详解】由 ，
∴，，
∵、为整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∵，
∴这样的的最大值是11．
故答案为：11．
15．①④/④①
【分析】本题考查了因式分解的方法（提公因式法、公式法），解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解．
分别对四个多项式进行因式分解，再观察分解结果中含有的相同因式．
【详解】解：①；
②；
③；
④．
对比分解结果，①和④都含有因式．
故答案为：①④．
16．
【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可．
【详解】解：∵，
∴可得：，
整理可得：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．
（1）直接提公因式即可分解因式；
（2）首先提取公因式，进而利用平方差分解因式得出答案；
【详解】（1）解：
（2）解：
18．的值为1．
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，非负数的性质．利用完全平方公式分解因式得到，则由非负数的性质可求出x、y，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)，-3
(2)，35
【分析】本题考查提取公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键．
（1）（2）先提取公因式，再求解．
【详解】（1）解：原式．
当，，时，
原式．
（2）解：原式
．
当时，原式．
20．(1)C
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）根据解题过程可知，第②运用了完全平方公式，据此可得答案；
（2）仿照题意令，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先把原式前两项相乘得到，进一步变形得到，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，第②步运用了因式分解的方法中的两数和的完全平方公式法，
故选：C；
（2）解：令，则原式．
再将“”还原，原式．
（3）证明：
原式
．
为正整数，
为正整数．
代数式的值是某个整数的平方．
21．
【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法以及代数式的变形与代入求值的知识点，掌握因式分解中的提取公因式最关键．
本题将变形为，利用因式分解中的提取公因式法对原式进行整理，再将两式相加，与整理结果形式相符后，即可代入解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴两式相加，得，
∴原式．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，
（1）先提出公因式数，然后在进行计算即可；
（2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可；
利用提公因式法进行因式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
23．(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）正方形空地面积减去四个小正方形面积求出草坪的面积，
（2）因式分解后将a与b的值代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，草坪的面积为平方米．
（2）当，时，
草坪的面积为平方米
24．(1)C
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止；
（3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式．
【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解，
故选：C；
（2）解：由得，该因式分解的最后结果为，
故答案为：；
（3）解：设，
原式
．

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