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数学组卷
已知a＜b＜0，试比较与的大小．
2．如图，O是 ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时， ABCD是菱形吗？说明理由．
3．如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开．
（1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积．
4．为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高AC为3m．
（1）如图2，墙AC上有一扇窗户CF（CF＝2.2m），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚AB的宽度为0.8m，此时∠ABF＝　 　 ．
（2）如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角∠α＝68°，被遮挡形成的阴影CD＝1.5cm，则展开后的遮阳棚AB′＝　 　 .（参考数据：sin68°≈0.92，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
（3）小强的爸爸准备将房后一块长16m，宽12m的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为xm，求x的值．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，现进行如下操作：（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点E，交AC于点F；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AC于点H；（3）以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点G；（4）过点G作射线AQ；（5）以点A为圆心，BC长为半径画弧交AQ于点D，连接CD得四边形ABCD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）连接DF，BH，求证：DF＝BH．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3．
（1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）求出一次函数和反比例函数的表达式；
（3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，求△PBC的面积．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D．
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）当AB＝4时，求BC的长．
8．【活动背景】
如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°．
【问题解决】（1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．）
9．如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点．
（1）求出直线AC对应的函数表达式；
（2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC．
（1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　 　 、　 　 ．
11．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．
12．如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
13．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
14．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
2026年02月28日15925828060的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共14小题）
1．已知a＜b＜0，试比较与的大小．
【分析】利用分式的加减运算计算并比较大小．
【解答】解：∵a＜b＜0，即|a|＞|b|，
∴a2＞b2＞0，
∴，，
∵a2＞b2＞0，
∴，
∴．
【点评】本题考查了分式的加减运算，数的大小比较，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，数的大小比较方法．
2．如图，O是 ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时， ABCD是菱形吗？说明理由．
【分析】（1）如图，连接BD，OE，延长EO交AD与F，判定△DOF≌△BOE（AAS），推出OF＝OE，由切线的性质推出OE⊥BC，由平行线的性质推出OF⊥AD，即可证明直线AD是⊙O的切线．
（2）设AB与⊙O相切于H，连接OH，OE，BD，由角平分线性质定理的逆定理推出∠ABD＝∠CBD，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠ADB，因此AB＝AD，判定 ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OE，延长EO交AD与F，
∵O是 ABCD的中心，
∴BD过点O，OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ODF＝∠OBE，∠DFO＝∠BEO，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴OF⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图， ABCD是菱形，理由如下：
设AB与⊙O相切于H，连接OH，OE，BD，
∵点O是 ABCD的中心，
∴BD过点O，
∵BC与⊙O相切于E，
∴OH⊥AB，OE⊥BC，
∵OH＝OE，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，切线的判定和性质，平行四边形的性质，中心对称，直线与圆的位置关系，关键是掌握切线的判定方法，菱形的判定方法．
3．如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开．
（1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积．
【分析】（1）当0≤t≤4时，展开的画面面积S就是△APD的面积；当4＜t≤6.5时，S＝矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积；
（2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积＝10，再分别代入（1）中的关系式可得t的值，计算总时间，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，当0≤t≤4时，S＝S△APDAP×AD2t×5＝5t，
如图2，当4＜t≤6.5时，S＝5×88×（13﹣2t）＝8t﹣12；
综上，S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式为：S；
（2）S10，
当5t＝10时，t＝2，
S＝8（3+2）﹣12＝28，
当8t﹣12＝10时，t4（不符合题意），
答：播放结束时展开的画面面积是28m2．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，图形面积，正确理解题意是解题的关键．
4．为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高AC为3m．
（1）如图2，墙AC上有一扇窗户CF（CF＝2.2m），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚AB的宽度为0.8m，此时∠ABF＝　45°　 ．
（2）如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角∠α＝68°，被遮挡形成的阴影CD＝1.5cm，则展开后的遮阳棚AB′＝　2.7m .（参考数据：sin68°≈0.92，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
（3）小强的爸爸准备将房后一块长16m，宽12m的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为xm，求x的值．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CAB＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；
（2）过D作DH⊥AB′于H，则四边形ACDH是矩形，根据矩形的性质得到DH＝AC＝3m，AH＝CD＝1.5m，∠DHB′＝90°，根据平行线的性质得到∠HB′D＝∠B′DE＝68°，根据三角函数的定义得到结论；
（3）设小路的宽是xm．根据矩形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
∵AC＝3m，CF＝2.2m，
∴AF＝AC﹣CF＝0.8（m），
∵AB＝0.8m，
∴AB＝AF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB＝∠ABF＝45°，
故答案为：45°；
（2）过D作DH⊥AB′于H，
则四边形ACDH是矩形，
∴DH＝AC＝3m，AH＝CD＝1.5m，∠DHB′＝90°，
∵AB′∥CD，
∴∠HB′D＝∠B′DE＝68°，
∴tan∠HB′D＝tan68°2.50，
∴B′H＝1.2，
∴AB′＝AH+HB′＝1.5+1.2＝2.7（m），
故答案为：2.7m；
（3）设小路的宽是xm．
依题意，得（16﹣x）（12﹣x）16×12，
整理，得x2﹣28x+96＝0，
∴（x﹣4）（x﹣24）＝0，
∴x1＝4，x2＝24（不合题意，舍去），
答：x的值是4m．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，现进行如下操作：（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点E，交AC于点F；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AC于点H；（3）以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点G；（4）过点G作射线AQ；（5）以点A为圆心，BC长为半径画弧交AQ于点D，连接CD得四边形ABCD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）连接DF，BH，求证：DF＝BH．
【分析】（1）由作图知∠DAC＝∠BCA，DA＝CB，推出DA∥CB，而AB＝BC，判定四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质推出CD＝AB，CD∥AB，得到∠DCF＝∠BAH，判定△DCF≌△BAH（SAS），推出DF＝BH．
【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
由作图知：∠DAC＝∠BCA，DA＝CB，
∴DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCF＝∠BAH，
由题意知：CF＝AH，
∴△DCF≌△BAH（SAS），
∴DF＝BH．
【点评】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，作图﹣复杂作图，关键是掌握菱形的判定方法，判定△DCF≌△BAH（SAS）．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3．
（1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）求出一次函数和反比例函数的表达式；
（3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，求△PBC的面积．
【分析】（1）利用数形结合的数学思想即可解决问题；
（2）用k分别表示出点A和点B的坐标，再代入一次函数解析式计算即可；
（3）依据题意，先求出BP＝3，再由直线y1＝x+1与x轴夹角为45°，则当直线AB向左平移2个单位长度时，两平行线的距离h为2，即C到PB的距离为，从而可以计算得解．
【解答】解：（1）由函数图象可知，
当﹣4＜x＜0或x＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞3；
（2）将x＝3代入反比例函数解析式得，y，
∴点B坐标为（3，），
同理可得，点A的坐标为（﹣4，）．
将A，B坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝x+1，反比例函数的表达式为；
（3）∵一次函数为y1＝x+1，
∴P（0，1）．
又∵B为（3，4），
∴BP3．
∵直线y1＝x+1与x轴夹角为45°，
∴当直线AB向左平移2个单位长度时，两平行线的距离h为2．
∴C到PB的距离为，
∴△PBC的面积BP h3．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D．
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）当AB＝4时，求BC的长．
【分析】（1）由基本作图﹣作一个角等于已知角得∠CAD＝∠B，而∠C＝∠C，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△BCA．
（2）由AB＝AC，得∠B＝∠C，因为∠BAC＝108°，所以2∠C+108°＝180°，求得∠B＝∠C＝36°，所以∠CAD＝∠B＝36°，推导出∠BAD＝∠BDA＝72°，所以DB＝AB＝AC＝4，由相似三角形的性质得，则BC（BC﹣4）＝16，求得BC＝2+2．
【解答】（1）证明：由作图得∠CAD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA．
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，且∠BAC＝108°，
∴2∠C+108°＝180°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠CAD＝∠B＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴DB＝AB＝AC＝4，
∴DC＝BC﹣4，
∵△ACD∽△BCA，
∴，
∴BC DC＝AC2＝42＝16，
∴BC（BC﹣4）＝16，
解得BC＝2+2或BC＝2﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长是2+2．
【点评】此题重点考查尺规作图、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用基本作图﹣作一个角等于已知角是解题的关键．
8．【活动背景】
如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°．
【问题解决】
（1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．）
【分析】（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1，易得四边形ABEC为矩形，所以∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BE＝AC，再利用正切的定义，在Rt△CDE中计算出DE≈105m，在Rt△BCE中计算出BE≈140m，然后计算BE﹣DE得到BD的高；
（2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的仰角为β，如图2，过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE，根据正切的定义，在Rt△ADE中可求出AE＝atanα，则BD＝atanαm，在Rt△DEC中可求出CE＝atanβ，然后计算AE+CE得到AC的高
【解答】解：（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1，
∵∠CAB＝∠ECA＝∠ABE＝90°，
∴四边形ABEC为矩形，
∴∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BE＝AC，
在Rt△CDE中，∵tan∠DCE，
∴DE＝150tan35°≈105（m），
在Rt△BCE中，∵tan∠BCE，
∴BE＝150tan43°≈140（m），
∴AC＝BE＝140m，BD＝BE﹣DE＝35（m）．
答：建筑物AC的高度为140m，建筑物BD的高度为35m；
（2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的仰角为β，如图2，
过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE，
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE，
∴AE＝atanα，
∴BD＝AE＝atanα（m），
在Rt△DEC中，∵tan∠CDE，
∴CE＝atanβ，
∴AC＝AE+CE＝a（tanα+tanβ）m，
即建筑物AC，BD的高度分别为a（tanα+tanβ）m，atanα（m）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
9．如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点．
（1）求出直线AC对应的函数表达式；
（2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
【分析】（1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）设点D的坐标为（0，d），根据作图得到DA＝DC，据此列方程求出c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可；
（3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答．
【解答】解：（1）把A（m，1）代入得m＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，1），
把C（3，n）代入，
得n＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
把点（﹣6，1）和（3，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AC对应的函数表达式；
（2）由作图可得DA＝DC，即DA2＝DC2，
设点D的坐标为（0，d），
则62+（1﹣d）2＝32+（4﹣d）2，
解得d＝﹣2，
∴DA2＝DC2＝62+（1+2）2＝45，AC2＝（3+6）2+（4﹣1）2＝90，
∴DA2+DC2＝AC2，
∴△DAC是等腰直角三角形；
（3）令x+3，
解得x1＝﹣6，x2＝﹣3，
由图象可得关于x的不等式的解集为x＜﹣6或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理的逆定理，待定系数法求解析式，掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC．
（1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　（﹣4，﹣2）　 、　（1，﹣2）　 ．
【分析】（1）由AC⊥BC可得△ACF～△CBN，利用对应边成比例及AC＝2BC可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求；
（2）由A、B两点坐标可知AB∥x轴，根据点D、E分别在反比例函数和的图象上，设出两点坐标，因为D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知，
∴A（﹣1，2），
作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCN＝90°，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠ACF＝∠CBN，
∵∠AFC＝∠BNC＝90°，
∴△AFC～△CNB，
∵AC＝2BC，
∴，
∵A（﹣1，2），点C的坐标为（3，0），
∴，
∴BN＝2，CN＝1，
∴ON＝OC+CN＝4，
∴B（4，2），
∵B（4，2）在反比例函数的图象上，代入得：
k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）设，，
∵A（﹣1，2），B（4，2），
∴AB∥x轴，且AB＝5，
∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，
∴AB∥DE，且DE＝AB，如图，
∴DE∥x轴，且DE＝5，
∴，
由②得：a＝﹣4b，
代入①得：|﹣4b﹣b|＝5，
解得：b1＝1，b2＝﹣1（舍），
则a＝﹣4，
∴D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）．
故答案为：D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
11．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由∠BAC＝45°，得∠BOC＝2∠BAC＝90°，因为CE∥BD，所以∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）作BF⊥CE于点F，由BD是⊙O的直径，且BD＝4，求得OC＝OB＝2，可证明四边形BOCF是正方形，则BF＝OB＝2，因为∠E＝∠ABD，所以tanE＝tan∠ABD＝2，则EFBF＝1，即可由S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC求得S阴影＝5﹣π．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°，
∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，
∴四边形BOCF是矩形，
∵BD是⊙O的直径，且BD＝4，
∴OC＝OBAB＝2，
∴四边形BOCF是正方形，
∴BF＝OB＝2，
∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2，
∴tanE＝tan∠ABD＝2，
∴EFBF＝1，
∴S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC1×2+225﹣π，
∴阴影部分的面积为5﹣π．
【点评】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理、切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12．如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点E的对应点F即可，连接AC交网格线于点O，作直线FO交AB于点G即可；
（2）取格点J，K，连接AK，CJ交于点M，连接KJ交网格线于点P，取格点W，连接PW，延长PW交BD于点N，作直线MN即可．
【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求；
（2）如图，点M，直线MN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，再证明四边形DFCG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，则BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位线定理求出DE＝4，然后由矩形的性质得CG＝DF＝3，∠G＝90°，则EG＝DG﹣DE＝1，进而由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DG＝FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝3，
∵DG＝FC＝5，
∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，
∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，
∴CE，
∵E为AC的中点，
∴AC＝2CE＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
14．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
【分析】设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为 （5x﹣10）cm，，AB＝CD＝xcm，头部高为xcm，尾部高为2xcm，这只风筝的骨架的总高为4xcm；由AD＝AB+BC+CD列方程求出 x＝20，进而求出风筝的骨架的总高即可．
【解答】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x﹣10）cm，，AB＝CD＝x，头部高为x，尾部高为2xcm，这只风筝的骨架的总高为4xcm，
由AD＝AB+BC+CD，
可得，
解得：x＝20；
所以这只风筝的骨架的总高4x＝80cm，
答：这只风筝的骨架的总高80cm．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．
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