资源简介 (共60张PPT)5.2.2 等差数列的前n项和新课程标准解读 核心素养1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系 数学抽象、数学运算2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算第一课时 等差数列的前n项和公式目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示.【问题】 （1）原来有多少根钢管？（2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？知识点 等差数列的前n项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数公式形式 Sn＝ Sn＝ na1＋ d 【想一想】1. 等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？提示：2倍关系.由Sn＝ n2＋ n可知，存在2倍关系.2. 等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系.1. 等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（ ）A. n B. n（n＋1）C. n（n－1）解析： 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋ ×1＝＝ ＝ ，故选D.2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ ，S4＝20，则S6＝（ ）A. 16 B. 24C. 36 D. 48解析： 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋ d＝20，即4× ＋ d＝20，解得d＝3，∴S6＝6× ＋ ×3＝3＋45＝48.3. 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），则数列{an}的前9项和等于 .解析：因为a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为 的等差数列，所以前9项和S9＝9＋ × ＝27.27 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 等差数列前n项和的有关计算【例1】 在等差数列{an}中，（1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1；解：法一 ∵a6＝10，S5＝5，∴解得法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝ ，即3（a1＋10）＝15.∴a1＝－5，d＝ ＝3.解：法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ ，∴a1＋2d＝ .∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5× ＝24.（2）已知a2＋a4＝ ，求S5.法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝ ，∴S5＝ ＝ × ＝24.通性通法等差数列前n项和的有关计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想；（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝ 结合使用.【跟踪训练】1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{an}的公差为 .解析：由a3＝3，S6＝21，得解得1 2. 已知等差数列{an}中，a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，则n＝ .解析：Sn＝n· ＋ · ＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.12题型二 等差数列前n项和公式的简单应用【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n，（1）求a1及an；解：因为Sn＝n2－17n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－17×1＝－16，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18.验证当n＝1时a1＝－16，上式成立，所以an＝2n－18.（2）判断这个数列是否是等差数列.解：由an＝2n－18，得an－1＝2（n－1）－18（n≥2），所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2，所以数列{an}是等差数列.【母题探究】 （变条件）若将本例中“Sn＝n2－17n”变为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？（1）求{an}的通项公式；解：∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）＝－4n＋3.又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝（2）判断{an}是否为等差数列.解：由（1）知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列.通性通法 已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），当C＝0时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列.【跟踪训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，且a1＝1.求证：数列{an}为等差数列.证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5.当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1.法一 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得 ＝ ，因为 ＝ ＝1，所以数列 是常数列，所以 ＝ ＝1，所以an＝2n－1.因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.法二 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2，两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2，所以数列{an}为等差数列.题型三 等差数列前n项和公式的实际应用【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时构筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－ .25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12× ＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线.通性通法1. 本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.2. 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，具体解决要注意以下两点：（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求n.【跟踪训练】 《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）解析： 设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋（5＋29x）＝390，即 ＝390，解得x＝ .故选C.1. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（ ）A. 5 B. 7C. 9 D. 11解析： 由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1，∴S5＝ ＝ ＝5.2. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（ ）A. －12 B. －10 C. 10 D. 12解析： 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.3. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则这9圈的石板总数是 .405 解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝（9＋81）＝405.4. 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则（1）数列{an}的通项公式an＝ ；解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.（2）k＝ 时，数列{an}的前k项和Sk＝－35.解析：由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，故k＝7为所求.3－2n 7 5. 在等差数列{an}中，（1）已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.法一 由已知得解得∴S10＝10a1＋ d＝10×3＋ ×4＝210.法二 由已知得∴a1＋a10＝42，∴S10＝ ＝5×42＝210.（2）已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解： ∵S7＝ ＝7a4＝42，∴a4＝6.∴Sn＝ ＝ ＝ ＝510，∴n＝20.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－4，S2＝－7，则a7等于（ ）A. 2 B. 14C. 16 D. 18解析： 设{an}的公差为d，依题意可得，－4×2＋d＝－7，∴d＝1，∴a7＝－4＋6＝2.1234567891011121314152. 设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（ ）A. 18 B. 20C. 22 D. 24解析： 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.1234567891011121314153. 已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线斜率为（ ）A. 4C. －4解析： 由S5＝ ＝ ＝55，解得a3＝11.∴P（3，11），Q（4，15），∴k＝ ＝4.故选A.1234567891011121314154. 在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 021，Sk＝S2008，则正整数k为（ ）A. 2 023 B. 2 024C. 2 025 D. 2 026解析： 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及S2 012＝S2 021，Sk＝S2 008，可得＝ ，解得k＝2 025，故选C.1234567891011121314155. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）A. 1.5尺 B. 2.5尺C. 3.5尺 D. 4.5尺123456789101112131415解析： 设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得解得所以小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.1234567891011121314156. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，且S3＝S5＝15，则S7＝（ ）A. 4 B. 7C. 14解析： 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝S5＝15，所以a4＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0.再根据S3＝3a1＋3d＝15，可得a1＝7，d＝－2，则S7＝7a1＋ d＝49＋21×（－2）＝7.1234567891011121314157. 已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝ .解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ①S5＝5a1＋ ×5×（5－1）d＝10， ②由①②联立解得a1＝1，d＝ . 1234567891011121314158. 含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝ ，S偶＝ ，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴ ＝ . 1234567891011121314159. 定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为 ，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为 ，则a2 025＝ .解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为 ＝ ＝ ，可得Sn＝（2n＋1）n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝ －（2×2 0242＋2 024）＝8 099.8 099 12345678910111213141510. 等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.（1）求数列的通项公式；解：设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n.123456789101112131415（2）若Sn＝242，求n.解：由Sn＝na1＋ d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋ ×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11.12345678910111213141511. （多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则（ ）A. a1＋a3＝0 B. a3＋a5＝0C. S3＝S4 D. S4＝S5解析： 由S7＝ ＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.12345678910111213141512. 在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝ ，a100＝ .解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d（m－1），∴ ＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵ ＝135，∴m＝15，∴d＝ ＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.15 101 12345678910111213141513. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.（1）若S5＝5，求S6及a1；解：由题意知S6＝－ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以解得a1＝7.综上，S6＝－3，a1＝7.123456789101112131415（2）求d的取值范围.解：因为S5S6＋15＝0，所以（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，即2 ＋9da1＋10d2＋1＝0，所以（4a1＋9d）2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2 或d≥2 .12345678910111213141514. 一同学在电脑中打出如图所示图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此图案以此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是（ ）A. 12 B. 13C. 14 D. 15解析： S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝ ＋n≤120，所以n（n＋3）≤240，所以n＝14.12345678910111213141515. 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.123456789101112131415解：①③ ②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋ d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以 ＝n ，所以 － ＝（n＋1） －n ＝ （常数），所以数列{ }是等差数列.123456789101112131415①② ③.已知{an}是等差数列，{ }是等差数列.设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ d＝ n2d＋ n.因为数列{ }是等差数列，所以数列{ }的通项公式是关于n的一次函数，则a1－ ＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.123456789101112131415②③ ①.已知数列{ }是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{ }的公差为d，d＞0，则 － ＝ － ＝d，得a1＝d2，所以 ＝ ＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列.123456789101112131415(共56张PPT)第二课时等差数列前n项和的性质及应用目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 等差数列的前n项和性质的应用【例1】 （1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为（ C ）A. 130 B. 170C. 210 D. 260解析：根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210.C（2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝ ，则 ＝ .解析：由等差数列的性质知， ＝ ＝ ＝＝ ＝ . 通性通法等差数列的前n项和常用的性质（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；（2）数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） 数列为等差数列；（3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则 ＝ ；（4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝ ；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝ .【跟踪训练】1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（ ）A. 18 B. 17C. 16 D. 15解析： 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝ ，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得 为整数的正整数n的个数是 .解析：由等差数列前n项和的性质，得 ＝ .由条件可得 ＝，则 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝＝2＋ .要使 为整数，则 必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.5 题型二 等差数列的前n项和最值问题【例2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值.解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得25×17＋ d＝25×9＋ d，解得d＝－2.法一（公式法） Sn＝25n＋ ×（－2）＝－（n－13）2＋169.由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.法二（邻项变号法） ∵a1＝25＞0，由得即12 ≤n≤13 .又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋ ×（－2）＝169.【母题探究】1. （变设问）本例条件不变，试求 的前n项和Tn.解：由本例知Sn＝－n2＋26n，令bn＝ ＝－n＋26，∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，∴Tn＝25n＋ ×（－1）＝－ n2＋ n.2. （变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值.解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，所以a1＝39，Sn＝39n＋ ×（－2）＝40n－n2.当Sn取得最大值时，满足即19 ≤n≤20 .因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.通性通法求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略（1）将Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；（2）邻项变号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值.【跟踪训练】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）A. 6 B. 7C. 8 D. 9解析： 设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋ ×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.题型三 求数列{｜an｜}的前n项和【例3】 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋2）2.（1）求d，an；解：因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.故an＝－n＋11或an＝4n＋6.（2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜.解：因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11.设数列{an}的前n项和为Sn，当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋ n；当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝ n2－ n＋110.通性通法求数列{｜an｜}前n项和的方法 给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0（an＜0）. 一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有：（1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝（2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝【跟踪训练】 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n项和.解：设等差数列{an}的公差为d，则d＝ ＝ ＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63.又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21，所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数.设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和.当0＜n≤20时，Sn'＝－Sn＝－［－60n＋ ］＝－ n2＋n；当n＞20时，Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20＝－60n＋ －2×＝ n2－ n＋1 260.所以数列{｜an｜}的前n项和为Sn'＝1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝（ ）A. 36 B. 18C. 72 D. 9解析： 由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝ ＝36.2. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（ ）A. 12 B. 16C. 9 D. 16或9解析： 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋ ×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9.3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当Sn取得最小值时，n的值是（ ）A. 6 B. 7C. 8 D. 9解析： ∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋ ×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6.4. （多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（ ）A. d＜0B. S11＞0C. S12＜0D. 数列{Sn}中的最大项为S11解析： ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝ （a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.5. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝ ＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ ＝nan＋1，所以 ＝ ＝ ，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.11 7 知能演练·扣课标02课后巩固 核心素养落地1. 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）A. 9 B. 10C. 11 D. 12解析： ∵ ＝ ，∴ ＝ .∴n＝10，故选B.1234567891011121314152. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ的值是（ ）A. －2 B. －1C. 0 D. 1解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.1234567891011121314153. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ）A. 100 B. 101C. 200 D. 201解析： 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝ （a1＋a200）＝100.1234567891011121314154. 已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，则m＝（ ）A. 38 B. 20C. 10 D. 9解析： 根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋am＋1－ ＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得m＝10.1234567891011121314155. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k的值是（ ）A. 6 B. 7C. 8 D. 9解析： ∵等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋ n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝ ＝ .又∵S6＝Sk，∴ ＝ ，解得k＝7.1234567891011121314156. （多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（ ）A. a5＝1 B. Sn的最小值为S3C. S1＝S6 D. Sn存在最大值123456789101112131415解析： 因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误.1234567891011121314157. 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝ .解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.5 1234567891011121314158. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则a6＝ ，Sn的最小值为 .解析：依题意得：解得所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋ ×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的最小值为－9.5 －9 1234567891011121314159. 若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 405 .解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405.40512345678910111213141510. 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋ d＝13n＋ ×（－4）＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an）＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn＝2× －（15n－2n2）＝2n2－15n＋56.∴Tn＝12345678910111213141511. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为（ ）A. 160 B. 180C. 200 D. 220解析： 法一 设数列{an}的公差为d，由题意得解得故S20＝20a1＋ ×d＝180.123456789101112131415法二 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝10×（－8＋26）＝180.12345678910111213141512. （多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）A. a6＞0C. Sn＜0时，n的最小值为14123456789101112131415解析： 依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜0，A选项正确.且解得－＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝ ×13＝13a7＜0，而S12123456789101112131415＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞0， ＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列 中最小项为第7项，D选项正确.故选A、B、D.12345678910111213141513. 在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和.（1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；解：法一 设{an}的公差为d，由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－ a1.∴Sn＝na1＋ × ＝－ a1n2＋ a1n＝－a1（n－12）2＋ a1.∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值.123456789101112131415法二 由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n＝ ＝12时，Sn取得最大值.123456789101112131415（2）若a1＝－46，记bn＝ ，求bn的最小值.解：由（1）及a1＝－46，得d＝－ ×（－46）＝4，∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，Sn＝－46n＋ ×4＝2n2－48n.∴bn＝ ＝ ＝2n＋ －52≥2 －52＝－32，当且仅当2n＝ ，即n＝5时，等号成立.故bn的最小值为－32.12345678910111213141514. 已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1＝ ，a8＝ .3 11 123456789101112131415解析：由题意知，S10＝5×1＋ d1＋5×2＋ d2＝75，故d1＋d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1（k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得 ＜d1＜ ， ＜d2＜ ，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11.12345678910111213141515. 在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题.问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn， ，判断Sn是否存在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.123456789101112131415解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50，则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－1）＝16－2n，当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8，∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0，∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值.123456789101112131415选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0，由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0，∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0，∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最大值.123456789101112131415选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝ ＝＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝ ＝＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0，∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值.123456789101112131415 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第一课时 等差数列的前n项和公式.pptx 第二课时 等差数列前n项和的性质及应用.pptx
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