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(共70张PPT)
第二课时
简单复合函数的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝ sin 2x，不难发现，y＝（3x－
1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝ sin 2x由y＝ sin u及u＝2x复
合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数.
【问题】　怎样求复合函数的导数呢？
知识点　复合函数
1. 复合函数的定义
已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确
定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时
称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝ 为函
数f（u）与g（x）的复合函数，其中 称为中间变量.
f（g（x））　
u　
2. 复合函数的求导法则
如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f
（g（x）），则
（1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝ ＝
；
（2）y'x＝ .
f'（u）·g'（x）　
f'（g
（x））·g'（x）　
y'u·u'x　
【想一想】
1. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）.这
三个函数都是复合函数吗？
提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）是复合函数，函数
y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2. 试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？
提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是
由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间
变量u表示为自变量x的函数.
3. 求复合函数的导数与顺序有关吗？
提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.
1. 函数y＝ cos 2x的导数为（　　）
A. y'＝ sin 2x B. y'＝－ sin 2x
C. y'＝－2 sin 2x D. y'＝2 sin 2x
解析：　y'＝（ cos 2x）'＝－2 sin 2x.
2. 函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为 .
解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'
（0）＝10.
10　
3. 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切
线，则k＝ .
解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，
），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝ ＝ ，
曲线y＝ex－2在点（x1， ）处的切线方程为y－ ＝
（x－x1），即y＝ x＋（1－x1） ，曲线y＝ln x在点
（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝ （x－x2），即y＝ x＋
ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，
所以k＝1或 .
1或 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 简单复合函数求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1）y＝e cos x＋1；
解： 设y＝eu，u＝ cos x＋1，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－ sin x）＝－e cos x＋1 sin x.
（2）y＝log2（2x＋1）；
解： 设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝ ＝ .
（3）y＝2 sin ；
解： 设y＝2 sin u，u＝3x－ ，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝2 cos u×3＝6 cos .
（4）y＝ .
解： 设y＝ ，u＝1－2x，则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）'＝－ ×（－2）＝（1－2x .
通性通法
1. 求复合函数的导数的步骤
2. 求复合函数的导数的注意点
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁.
【跟踪训练】
　求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；
解：令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）'
＝3×103x－2ln 10.
（2）y＝ln（ex＋x2）；
解：令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y'　x＝y'　u·u'　x＝ ·（ex＋x2）'
＝ ·（ex＋2x）＝ .
（3）y＝ sin 4x＋ cos 4x.
解：因为y＝ sin 4x＋ cos 4x
＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x
＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x）
＝ ＋ cos 4x，
所以y'＝ '＝－ sin 4x.
题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例2】　求下列函数的导数：
（1）y＝ ；
解：∵（ln 3x）'＝ ×（3x）'＝ ，
∴y'＝
＝ ＝ .
（2）y＝x ；
解： y'＝（x ）'
＝x' ＋x（ ）'
＝ ＋
＝ .
（3）y＝x cos sin .
解： ∵y＝x cos sin
＝x（－ sin 2x） cos 2x＝－ x sin 4x，
∴y'＝ '
＝－ sin 4x－ cos 4x·4
＝－ sin 4x－2x cos 4x.
通性通法
1. 在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法
则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地
进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
2. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的
复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
【跟踪训练】
　求下列函数的导数：
（1）y＝ sin 2 ；
解： ∵y＝ ，
∴y'＝（ － ）'＝ sin x.
（2）y＝ sin 3x＋ sin x3.
解： y'＝（ sin 3x＋ sin x3）'＝（ sin 3x）'＋（ sin x3）'
＝3 sin 2x cos x＋ cos x3·3x2
＝3 sin 2x cos x＋3x2 cos x3.
题型三 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
【例3】　曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距
离是（　　）
A. B. 2
C. 3 D. 0
解析： 　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x
－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝ ，y ＝ ＝
2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切
点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲
线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 .
【母题探究】
（变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到
直线2x－y＋m＝0的最小距离为2 ”，求m的值.
解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），
∵y＝ln（2x－1），
∴y'＝ ，y ＝ ＝2，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点P（1，0），
∴ ＝2 ，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.
通性通法
　　本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点
是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的
切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝3x＋ cos 2x＋ sin 2x，f'（x）是f（x）的导函
数，且a＝f' ，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程.
解：∵f'（x）＝3－2 sin 2x＋2 cos 2x，∴f' ＝3－2 sin ＋2 cos
＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P
（1，1），
①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k
＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3），
∴切线斜率k＝3t2＝ ，解得t＝－ ，
∴k＝ ，
∴所求切线方程为y－1＝ （x－1），即3x－4y＋1＝0.
综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝
0或3x－4y＋1＝0.
　导函数的奇偶性及周期性探究
　　
1. 若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝
3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3.
2. 若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x.
3. 若f（x）＝ cos x，则f'（x）＝－ sin x.
【问题探究】
　由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立：
（1）奇函数的导数是偶函数；
提示： 设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f
（x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即
－f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为
偶函数，故原命题成立.
（2）偶函数的导数是奇函数；
提示：设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f
（x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－
f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立.
（3）周期函数的导数还是周期函数.
提示：设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周
期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两
边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋
T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命
题成立.
【迁移应用】
　推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对
称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心
对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－
x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'
（2a－x），
因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）.
所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'
（2a－x），
即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C
为常数）.
令x＝a，则有2f（a）＝C. 所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）.
因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.
证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f
（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－
f'（2a－x），
即f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函
数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'
（x）＋f'（2a－x）＝0.
即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C
为常数）.
令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
1. 已知f（x）＝ cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　）
A. －2 sin 2x＋2e2x
B. sin 2x＋e2x
C. 2 sin 2x＋2e2x
D. － sin 2x＋e2x
解析： 　f'（x）＝－ sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2 sin 2x＋
2e2x，故选A.
2. 函数y＝x2 cos 的导数为（　　）
A. y'＝2x cos －x2 sin
B. y'＝2x cos －2x2 sin
C. y'＝x2 cos －2x sin
D. y'＝2x cos ＋2x2 sin
解析： 　y'＝（x2）' cos ＋x2 '
＝2x cos ＋x2 '＝2x cos －
2x2 sin .
3. 设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，
则a＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　y'＝a－ ，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，
所以a－1＝2，解得a＝3.
4. 已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝ .
解析：∵f'（x）＝ ·（3x－1）'＝ ，∴f'（1）＝ .
　
5. 设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则
a＝ .
解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
2　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列求导运算正确的是（　　）
A. （ sin x）'＝－ cos x
B. （log2x）'＝
C. '＝
D. （e2x＋1）'＝2e2x＋1
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解析： 　选项A，（ sin x）'＝ cos x，故A错误；选项B，
（log2x）'＝ ，故B错误；选项C， '＝ ，故C错误；
选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D.
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2. 设函数f（x）＝（1－2x3）10，则f'（1）＝（　　）
A. 0 B. 60
C. －1 D. －60
解析： 　f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10×
（1－2）9×（－6）＝60.
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3. 曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y
＝x围成的三角形的面积为（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析： 　∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线
在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x
＝y＝ ，∴A ，则围成的三角形的面积为 × ×1＝ .
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4. 曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）
A. 2e B. e
C. 2 D. 1
解析： 　由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切
线的斜率为2.
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5. 设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则
x0的值为（　　）
A. B.
C. 1 D.
解析： 　由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝ ，由f'（x0）
＝ ＝1，解得x0＝ .
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6. 函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾
斜角为（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析： 　∵f'（x）＝ ，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象
在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝ ＝1.设函数f
（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角
为θ，则tan θ＝1，∴θ＝ .
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7. 若y＝f（x）＝（2x＋a）2，且f'（2）＝20，则a＝ .　
解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x
＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1.
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8. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0
时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，
∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f
（x）＝－ex＋ ，x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）
＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝
－2e.
－ex＋ 　
－2e　
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9. 已知函数f（x）＝x（1－ax）2（a＞0），且f'（2）＝5，则实数
a的值为 .
解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－
2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1.
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10. 曲线y＝e2x cos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距
离为 ，求直线l的方程.
解：由y'＝（e2x cos 3x）'
＝（e2x）' cos 3x＋e2x（ cos 3x）'
＝2e2x cos 3x＋e2x（－3 sin 3x）
＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），
得y'x＝0＝2.
则切线方程为 y－1＝2（x－0），
即2x－y＋1＝0.
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若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝ ＝ ，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
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11. （多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，
且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函
数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则
称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在 上不是凸函数
的是（　　）
A. f（x）＝ sin x－ cos x B. f（x）＝ln x－2x
C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex
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解析： 　对于A，f'（x）＝ cos x＋ sin x，f″（x）＝－ sin x＋
cos x＝－ sin ，当x∈ 时，－ ＜x－ ＜0，f″
（x）＞0，故f（x）＝ sin x－ cos x不是凸函数；对于B，f'
（x）＝ －2，f″（x）＝－ ＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函
数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈ ，f″（x）
＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x）
＝（x＋1）ex，对任意的x∈ ，f″（x）＝（x＋2）ex＞
0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D.
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12. 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y
＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是 　 .
解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为
偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋
1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x
－y＝0.
2x－y＝0
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13. 设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴
围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；
解： ∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x，
当x＝t时，yx'＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t），
即x＋ety－（t＋1）＝0.
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（2）求S（t）的解析式.
解： 令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t（t＋1）.
∴S（t）＝ （t＋1）·e－t（t＋1）＝ （t＋1）2e－t（t≥0）.
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14. 设函数f（x）＝ cos （ x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若
函数g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导
数）是偶函数，则φ等于（　　）
A. － π B. － π
C. － π D. － π
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解析： 　∵f（x）＝ cos （ x＋φ），∴f'（x）＝－ sin
（ x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝ cos （ x＋φ）
－ sin （ x＋φ）＝2 cos （ x＋φ＋ ）.∵函数g（x）为
偶函数，∴φ＋ ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k∈Z. ∵－π＜φ
＜0，∴φ＝－ .故选A.
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15. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、
航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的
衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足
函数关系P（t）＝P0 ，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含
量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，求
该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需的时间.
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解：由P（t）＝P0 得P'（t）＝－ ·P0· ln 2，因为t＝
15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，即P'（15）＝－
P0＝－ ，解得P0＝18，则P（t）＝18· ，当该放
射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18· ＝
4.5，即 ＝ ，所以－ ＝－2，解得t＝60.
故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天.
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第一课时　函数和、差、积、商的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则
运算法则，求简单函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高
铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f
（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就
是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函
数，如y＝ sin x＋x很难运用定义求导数.
【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？
知识点　函数和、差、积、商的求导法则
1. 条件：f（x），g（x）是可导的.
2. 结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝ ；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ；
（3） ＝ 　 （g（x）≠0）　.
f'（x）±g'（x）　
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
（g（x）≠0）　
【想一想】
1. 若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系
式成立吗？
（1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常
数）；
（2） '＝－ .
提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立.
2. 两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必
可导吗？
提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为
零）必可导.
3. 若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？
提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不
可导.
1. 函数y＝ sin x· cos x的导数是（　　）
A. y'＝ cos 2x＋ sin 2x B. y'＝ cos 2x
C. y'＝2 cos x· sin x D. y'＝ cos x· sin x
解析： 　y'＝（ sin x· cos x）'＝（ sin x）' cos x＋ sin x（ cos x）'
＝ cos 2x－ sin 2x＝ cos 2x.
2. 函数y＝x cos x－ sin x的导数为 .
解析：y'＝（x cos x－ sin x）'＝（x cos x）'－（ sin x）'＝ cos x－x
sin x－ cos x＝－x sin x.
3. 函数f（x）＝x＋ 在x＝1处的导数是 .
解析：因为f'（x）＝ ＝x'＋ ＝1－ ，
所以f'（1）＝1－1＝0.
－x sin x　
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数四则运算法则求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1）y＝x2＋log3x；（2）y＝x3·ex；（3）y＝ .
解： （1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）'
＝2x＋ .
（2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）'
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）.
（3）y'＝ '＝
＝
＝－ .
通性通法
提醒　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，
然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函
数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法
则，减少运算量.
【跟踪训练】
　求下列函数的导数：
（1）y＝ sin x－2x2；
解：y'＝（ sin x－2x2）'＝（ sin x）'－（2x2）'＝ cos x－4x.
（2）y＝ cos x·ln x；
解：y'＝（ cos x·ln x）'＝（ cos x）'·ln x＋ cos x·（ln x）'
＝－ sin x·ln x＋ .
（3）y＝ .
解： y'＝ '＝
＝ ＝ .
题型二 与切线有关的综合问题
【例2】　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0）处的切线，l2
为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程.
解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2），
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－ ，
即b＝－ ，∴B ，
故直线l2的方程为y＝－ x－ .
【母题探究】
　（变设问）若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角
形的面积.
解：解方程组得
∴直线l1和l2的交点坐标为 .
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0）， ，
故所求三角形的面积为S＝ × × ＝ .
通性通法
　　导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜
率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.解决此类问题的方法为先
求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未
知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.
总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.
【跟踪训练】
1. （2023·全国甲卷8题）曲线y＝ 在点（1， ）处的切线方程为
（　　）
A. y＝ x B. y＝ x
C. y＝ x＋ D. y＝ x＋
解析： 　由题意可知y'＝ ＝ ，则曲线y＝
在点（1， ）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝ ，所以曲线y＝
在点（1， ）处的切线方程为y－ ＝ （x－1），即y＝ x＋ ，
故选C.
2. 已知函数f（x）＝ax2＋ln x的导数为f'（x）.
（1）求f（1）＋f'（1）；
解： 由题意，函数的定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝ax2＋ln x，
得f'（x）＝2ax＋ ，
所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1.
（2）若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值
范围.
解： 因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此
时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f'
（x）＝2ax＋ 存在零点，
即f'（x）＝0，所以2ax＋ ＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围
是（－∞，0）.
题型三 利用函数的导数求参数
【例3】　（1）已知曲线y＝f（x）＝aex＋xln x在点（1，ae）处
的切线方程为y＝2x＋b，则（　D　）
A. a＝e，b＝－1 B. a＝e，b＝1
C. a＝e－1，b＝1 D. a＝e－1，b＝－1
D
解析： y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝
f'（1）＝ae＋1，∴ 切线方程为y－ae＝（ae
＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴
即a＝e－1，b＝－1.故选D.
（2）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函
数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为
.
解析： 因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'
（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以
解得故函数f
（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x.
f
（x）＝2x3－9x2＋12x　
通性通法
利用导数求参数的常见题型
　　利用导数求参数，常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意
义）求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的
函数值），这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程
（组）求解参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导
数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时
应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图
象的影响.
【跟踪训练】
　如图有一个图象是函数f（x）＝ x3＋ax2＋（a2－1）x＋1
（a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝（　　）
A. B. －
C. D. － 或
解析：　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）]·[x＋（a－
1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与
题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③
知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a
＝－1.故f（x）＝ x3－x2＋1，所以f（－1）＝－ .
1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　）
A. y'＝2x＋ cos x B. y'＝x2 cos x
C. y'＝2x cos x D. y'＝2x sin x＋x2 cos x
解析： 　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x
＋x2 cos x.
2. 已知物体的运动方程为s＝t2＋ （t是时间，s是位移），则物体
在时刻t＝2时的速度为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　∵s'＝2t－ ，∴s't＝2＝4－ ＝ .
3. （多选）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，其
导函数为f'（x），则（　　）
A. f（0）＝－1 B. f'（0）＝1
C. f（0）＝1 D. f'（0）＝－1
解析： 　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，所以
f（0）＝2－f'（0），因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）· sin x，
所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
4. 设函数f（x）＝ .若f'（1）＝ ，则a＝ .
解析：由于f'（x）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解
得a＝1.
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5. 求下列函数的导数.
（1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）；
解： 法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）·（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2.
法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8，
∴y'＝3x2.
解： y'＝ －2x·ln 2
＝ －2x·ln 2
＝ ＋ ln x－2xln 2.
（2）y＝ －2x.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数y＝ 的导数是（　　）
A. y'＝－ B. y'＝－ sin x
C. y'＝－ D. y'＝－
解析： 　y'＝ '＝ ＝ ＝－
.
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2. 若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）等于
（　　）
A. －1 B. －2
C. 2 D. 0
解析： 　∵f'（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f'（－1）＝－f'
（1）＝－2.
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3. 函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为
（　　）
A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1
C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1
解析： 　法一　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'
（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝
－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B.
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法二　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，f'（1）＝－2，
∴切线的斜率为－2，排除C、D. 又f（1）＝1－2＝－1，∴切线过点
（1，－1），排除A. 故选B.
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4. 已知f（x）＝2 sin x＋x3，则f'（0）＝（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　∵f（x）＝2 sin x＋x3，∴f'（x）＝2 cos x＋3x2，∴f'
（0）＝2 cos 0＋0＝2，故选D.
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5. 已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为（　　）
A. 1 B. ±1
C. －1 D. －2
解析： 　设切点为（x0，y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝a ＋3，
所以3x0＋1＝a ＋3　①.对y＝ax3＋3求导得y'＝3ax2，则3a
＝3，a ＝1　②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
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6. 已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂
直，则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋
2）·e，f'（－1）＝ae－1＝ .由题意有f'（1）f'（－1）＝－1，所
以a＝－1.
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7. 已知函数y＝f（x）的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原
点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件函数y＝f（x）的
解析式为 .
解析：由题意可知：f（0）＝0，f'（0）＝1，取f（x）＝ex－1，
此时f（0）＝e0－1＝0，f'（x）＝ex，f'（0）＝1，故符合.
y＝ex－1（答案不唯一）　
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8. 已知曲线y1＝2－ 与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积
为3，则x0＝ .
解析：由题知y'1＝ ，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处
切线的斜率分别为 ，3 －2x0＋2，所以 ＝3，所以
x0＝1.
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9. 已知函数f（x）＝f' cos x＋ sin x，则f 的值为 .
解析：∵f'（x）＝－f' sin x＋ cos x，∴f' ＝－f' × ＋
，得f' ＝ －1.∴f（x）＝（ －1） cos x＋ sin x.∴f
＝1.
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10. 求下列函数的导数.
（1）y＝ －ln x；（2）y＝（x2＋1）（x－1）；
（3）y＝ ；（4）y＝ .
解：（1）y'＝（ －ln x）'
＝（ ）'－（ln x）'＝ － .
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（2）y'＝[（x2＋1）（x－1）]'
＝（x3－x2＋x－1）'
＝（x3）'－（x2）'＋（x）'－（1）'
＝3x2－2x＋1.
（3）y'＝
＝ .
（4）y'＝
＝ .
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11. （多选）过点A（a，0）作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两
条，则实数a可能的值是（　　）
A. 0 B.
C. －ln e5 D. e
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解析： 　设切点坐标为（x0，x0 ），因为y'＝（x＋1）
ex，所以y ＝（x0＋1） ，所以切线方程为y－x0 ＝
（x0＋1）· （x－x0），将点A（a，0）代入可得－x0 ＝
（x0＋1） （a－x0），化简得 －ax0－a＝0，过点A（a，
0）作曲线C的切线有且仅有两条，即方程 －ax0－a＝0有两个
不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取
值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.－ln e5＝－5ln e＝－5，
所以由选项判断可知B、C、D正确.故选B、C、D.
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12. 曲线y＝ 在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋
4x＋3＝0上的点的最近距离是 .
解析：y'＝－ ，则y'x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－
（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝
2 ，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2 －1.
2 －1　
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13. 已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是
13x－y－32＝0.
（1）求a，b的值；
解： ∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a，
由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－
6，解得a＝1，b＝－16.
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（2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－ x＋3垂
直，求切点坐标与切线的方程.
解： ∵切线与直线y＝－ x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为（x0，y0），
则f'（x0）＝3 ＋1＝4，
∴x0＝±1.
由f（x）＝x3＋x－16，
可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
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14. （多选）对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给
出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″是f'（x）的导
数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函
数y＝f（x）的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心，设函数f（x）＝ x3－ x2＋ ，则以下说法正确的是（　　）
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A. 函数f（x）对称中心
B. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99
C. 函数f（x）对称中心
D. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是1
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解析： 　f（x）＝ x3－ x2＋ f'（x）＝x2－x f″（x）
＝2x－1，令f″（x）＝2x－1＝0，解得x＝ ，f ＝ ×
－ × ＋ ＝1，由题意可知：函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的
对称中心为 ，C正确，D错误；因为函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的对称中心为 ，所以有f（x）＋f（1－x）＝2，
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设S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ， ①
所以有S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ， ②
①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99 S＝99，
即f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99，B正确，D错
误.故选B、C.
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15. 已知函数f（x）＝x－ ，g（x）＝a（2－ln x）.
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜
率相同，求a的值；
解： f'（x）＝1＋ ，g'（x）＝－ ，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，
曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，
由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3.
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（2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点
处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围.
解： 由题意，得1＋ ＝－ （x＞0），
则a＝－x－ ≤－2 ，当且仅当x＝ 时，等号成立，
故实数a的取值范围为（－∞，－2 ].
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