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第一课时　函数的导数与极值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的
必要条件和充分条件 数学抽象、直观
想象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及
给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大
值、最小值 数学运算
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起
伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的
最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群
山之中的最低处，它却是其附近的最低点.
【问题】　在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点一　函数极值的定义
1. 极大值与极小值
设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任
意不同于x0的x，都有
（1）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值
点，且f（x）在x0处取极大值；
（2）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值
点，且f（x）在x0处取极小值.
＜　
＞　
2. 极值点与极值
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极
值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函
数值最小.
【想一想】
1. 函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，如图中c处的极小值大于f
处的极大值.
2. 函数y＝f（x）在给定区间（a，b）内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内是单调函
数，就没有极值点.
知识点二　函数的极值与导数的关系
1. 如果x0是y＝f（x）的极值点，且f（x）在x0处可导，则必有f'
（x0）＝ .
2. 判断函数y＝f（x）的极值点的方法：
0　
设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）＝0.
（1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，对于x0右侧
附近的任意x，都有f'（x）＜0，那么此时x0是f（x）的
；
极
大值点　
（2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，对于x0右侧
附近的任意x，都有f'（x）＞0，那么此时x0是f（x）的
；
（3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为 （或均
为负号），则x0一定不是y＝f（x）的极值点.
极
小值点　
正号　
【想一想】
1. 导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）
＝x3的极值点.所以，当f'（x0）＝0时，要判断x＝x0是否为f（x）
的极值点，还要看f'（x）在x0两侧的符号是否相反.
2. 若f'（x0）存在，则“f'（x0）＝0”是“x0是y＝f（x）的极值点”
的什么条件？
提示：必要不充分条件.
1. （多选）下列函数在x＝0处取得极小值的是（　　）
A. y＝ sin x B. y＝x2＋1
C. y＝｜x｜ D. y＝2x
解析： 　利用函数图象和极小值的定义可知，选项B、C中的函
数在x＝0处取得极小值.
2. 函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（　　）
A. 极大值5，极小值－27
B. 极大值5，极小值－11
C. 极大值5，无极小值
D. 极小值－27，无极大值
解析：　由y'＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x
＞3时，y'＞0；当－1＜x＜3时，y'＜0.所以当x＝－1时，函数有
极大值5；3 （－2，2），故无极小值.
3. 设f（x）＝xex＋1，则f（x）的极小值点为 .
解析：∵f（x）＝xex＋1的定义域为R，∴f'（x）＝（x＋1）
ex，令f'（x）＞0，可得x＞－1；f'（x）＜0可得x＜－1，∴f
（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递
增，故x＝－1为f（x）极小值点.
－1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　题型一 求函数的极值
角度1　求不含参数的函数的极值
【例1】　求函数f（x）＝x2e－x的极值.
解：函数的定义域为R，
f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）'
＝2xe－x－x2·e－x
＝x（2－x）e－x.
令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e
－2 单调递减
因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0；
当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝ .
角度2　求含参数的函数的极值
【例2】　设函数f（x）＝－ x3＋x2＋（m2－1）x（x∈R），其中
m＞0.
（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的
斜率；
解：当m＝1时，f（x）＝－ x3＋x2，
f'（x）＝－x2＋2x，故f'（1）＝1.
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1.
（2）求函数f（x）的单调区间与极值.
解：f'（x）＝－x2＋2x＋m2－1.
令f'（x）＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞， 1－m） 1－m （1－m， 1＋m） 1＋m （1＋m，
＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f（x）在（－∞，1－m），（1＋m，＋∞）内单调递
减，在（1－m，1＋m）内单调递增.
函数f（x）在x＝1－m处取得极小值f（1－m），且f（1－
m）＝－ m3＋m2－ .
函数f（x）在x＝1＋m处取得极大值f（1＋m），且f（1＋
m）＝ m3＋m2－ .
通性通法
求函数y＝f（x）的极值的步骤
（1）求出函数的定义域及导数f'（x）；
（2）解方程f'（x）＝0，得方程的根x0（可能不止一个）；
（3）用方程f'（x）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区
间，可将x，f'（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在同
一个表格中；
（4）由f'（x）在各个开区间内的符号，判断f（x）在f'（x）＝0的
各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f（x）在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
解：由f'（x）＝1－ ＝ （x＞0）知，
②当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a，
又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，
当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x
＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，
函数f（x）无极值；
题型二 已知函数的极值求参数
【例3】　已知f（x）＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小
值为0，试确定a，b，c的值.
解：f'（x）＝5ax4－3bx2＝x2（5ax2－3b）.
由题意，f'（x）＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f'（x）＝5ax2（x2－1），
①当a＞0，x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－
∞，－
1） －1 （－
1，0） 0 （0，
1） 1 （1，
＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 极大值 单调 递减 无极值 单调递
减 极小值 单调
递增
由表可知
又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.
②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
通性通法
已知函数的极值求参数需注意的问题
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系
数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待
定系数法求解后必须验证充分性.
【跟踪训练】
　函数f（x）＝mln x－ cos x在x＝1处取得极值，则m的值为
（　　）
A. sin 1 B. － sin 1
C. cos 1 D. － cos 1
解析：　因为f'（x）＝ ＋ sin x，由题意得：f'（1）＝m＋ sin 1＝
0，所以m＝－ sin 1.
题型三 函数极值的综合应用
【例4】　已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）.若函数f（x）在
x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交
点，求m的取值范围.
解：因为f（x）在x＝－1处取得极值且f'（x）＝3x2－3a，
所以f'（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，所以a＝1.
所以f（x）＝x3－3x－1，f'（x）＝3x2－3，
由f'（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f'（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0.
所以由f（x）的单调性可知，
f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，
在x＝1处取得极小值f（1）＝－3.
作出f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同
的交点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是
（－3，1）.
【母题探究】
1. （变条件）若本例中条件改为“已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4
在x＝ 处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围.
解：由题意可得f'（x）＝－3x2＋2ax，
由f' ＝0，
可得a＝2，所以f（x）＝－x3＋2x2－4，
则f'（x）＝－3x2＋4x.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝ ，
x （－∞，0） 0
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值－4 单调递增 极大值－
单调递减
作出函数f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不
同的交点，所以m的取值范围是 .
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
2. （变条件）若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结
果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f
（x）的图象有两个不同的交点；当m＜－3或m＞1时，直线y＝
m与y＝f（x）的图象只有一个交点.
通性通法
1. 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，
方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，
方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）的图象的交
点的横坐标.
2. 事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并
能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴
的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问
题提供了方便.
【跟踪训练】
　设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.
（1）求f（x）的极值；
解：令f'（x）＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0；
当x∈（－1，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的极小值为f
（－1）＝a－2，f（x）的极大值为f（1）＝a＋2.
（2）是否存在实数a，使得方程f（x）＝0恰好有两个实数根？若存
在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
解：因为f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，
而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，
所以当极大值等于0时，极小值小于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，
所以a＋2＝0，a＝－2，如图①.
当极小值等于0时，有极大值大于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，
如图②.
综上，当a＝2或a＝－2时方程恰有两个实数根.
　三次函数的极值与零点的关系
利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f（x）的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数f（x）的图象的大致形状吗？它的图象有什么特
点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.
【问题探究】
1. 给定三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），求导得f'
（x）＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f'（x）＝0的根的判别式，有
以下结论：
（1）当Δ＝4（b2－3ac）＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4（b2－3ac）≤0时，无极值点.
（2）函数f（x）的图象存在水平切线，则f'（x）＝0有实数解，
从而Δ＝4（b2－3ac）≥0；
（3）函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4（b2－3ac）≤0.
2. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），为了描述方
便简洁，这里只给出a＞0的情形.令x1，x2为f（x）的极值点，用
Δ表示f'（x）＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点
存在性定理，有如下结论：
（1）y＝f（x）有一个零点 Δ≤0或f（x1）·f（x2）＞0；
（2）y＝f（x）有两个零点
（3）y＝f（x）有三个零点
3. 相应函数图象的情况如下：
（1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同
号，如图①所示；
（2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个
极值点为零点，如图②所示；
（3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图
③所示.
【迁移应用】
1. 已知函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范
围是（　　）
A. [－2，2]
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－2，2）
D. （－∞，－2]∪[2，＋∞）
解析：　∵f（x）＝x3－3x＋m，∴f'（x）＝3x2－3.由f'（x）
＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；由f'（x）＜0，得－1
＜x＜1，此时函数单调递减.即当x＝－1时，函数f（x）取得极大
值；当x＝1时，函数f（x）取得极小值.要使函数f（x）＝x3－
3x＋m只有一个零点，则需满足f（－1）·f（1）＞0，即（m＋
2）·（m－2）＞0，解得m＞2或m＜－2.综上，实数m的取值范
围是m＜－2或m＞2.
2. 若 x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值.
解：令f（x）＝ x3＋ax＋1，则f'（x）＝x2＋a.
由f（x）＝0有两个不同的实数根，得

由Δ＞0，得a＜0，令f'（x）＝0，得x1＝ ，x2＝－ ，
所以f（x1）＝ （ ）3＋a ＋1＝－ （－a ＋1，
则f（x1）·f（x2）＝ · ＝1－ （－
a）3＝0，解得a＝－ .
综上，实数a的值为－ .
3. 若2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x＝0有三个不同的实数根，
求实数a的取值范围.
解：令f（x）＝2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x，则f'（x）
＝6x2＋6（1－2a）x＋6a（a－1）＝6（x－a）（x－a＋1）.
由f（x）＝0有三个不同的实数根，得

Δ＝36＞0，显然成立，令f'（x）＝0，得x1＝a，x2＝a－1，
所以f（x1）＝2a3－3a2＝a2（2a－3），f（x2）＝（a－1）2
（2a－2＋3－6a＋6a）＝（a－1）2（1＋2a），
则f（x1）·f（x2）＝a2（2a－3）（a－1）2（1＋2a）＜0，解得
－ ＜a＜0或0＜a＜1或1＜a＜ .
综上，实数a的取值范围是 ∪（0，1）∪ .
1. 函数f（x）＝x＋2 cos x在 上的极大值点为（　　）
A. 0 B. C. D.
解析：　令f'（x）＝0，即1－2 sin x＝0得x＝ ，且x∈
，f'（x）＞0；x∈ ，f'（x）＜0.
∴x＝ 是f（x）的极大值点.故选B.
2. 设函数f（x）＝ ＋ln x，则（　　）
A. x＝ 为f（x）的极大值点
B. x＝ 为f（x）的极小值点
C. x＝2为f（x）的极大值点
D. x＝2为f（x）的极小值点
解析：　由f'（x）＝－ ＋ ＝ ＝0（x＞0）可得x＝
2.当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f'
（x）＞0，f（x）单调递增.故x＝2为f（x）的极小值点.
3. 函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为
（　　）
A. 1，－3 B. 1，3
C. －1，3 D. －1，－3
解析：　∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－
2，∴∴a＝1，b＝－3.
4. 已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点（1，0），则f
（x）的（　　）
A. 极大值为 ，极小值为0
B. 极大值为0，极小值为
C. 极小值为－ ，极大值为0
D. 极大值为－ ，极小值为0
解析： 　f'（x）＝3x2－2px－q.由函数f（x）的图象与x轴切
于点（1，0），得f（1）＝0，f'（1）＝0，∴p＋q＝1，即q＝1
－p. ①
3－2p－q＝0. ②
联立①②，解得p＝2，q＝－1，∴函数f（x）＝x3－2x2＋x，则
f'（x）＝3x2－4x＋1.令f'（x）＝0得x＝1或x＝ .当x≤ 时，f'
（x）≥0，f（x）单调递增，当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，当x≥1时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，∴f
（x）极大值＝f ＝ ，f（x）极小值＝f（1）＝0.故选A.
5. 函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数
为 .
解析：∵x＞0，f'（x）＝a－ ＝ ，∴当a≤0时，f'（x）＜0
在（0，＋∞）上恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，＋∞）上无极值点.
0　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极
值”的（　　）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若f（x）可导，由f'（x）＝0有实根，则f（x）不一定
有极值，若f（x）有极值，则f'（x）＝0一定有实根.
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2. 函数f（x）＝ x2－ln x的极值点为（　　）
A. 0，1，－1 B.
C. － D. ，－
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解析：　由已知，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝
3x－ ＝ ，令f'（x）＝0，得x＝ （x＝－ 舍去）.当x＞
时，f'（x）＞0；当0＜x＜ 时，f'（x）＜0.所以当x＝
时，f（x）取得极小值，从而f（x）的极小值点为x＝ ，无极
大值点，故选B.
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3. 已知函数f（x）＝ln x＋ ax2－（a＋1）x＋1在x＝1处取得极小
值，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞，1] B. （－∞，1）
C. （1，＋∞） D. （0，＋∞）
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解析：　f（x）的定义域是（0，＋∞），∵f（x）＝ln x＋ ax2
－（a＋1）x＋1，∴f'（x）＝ ＋ax－（a＋1）＝
，令f'（x）＝0，解得x＝ 或x＝1.若f（x）在x＝
1处取得极小值，则0＜ ＜1，解得a＞1.
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4. 若函数f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是
（　　）
A. B.
C. （0，4e2） D. （0，＋∞）
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解析：　令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝2xex＋x2ex＝xex（2＋
x）.令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2，∴g（x）在（－2，0）上
单调递减，在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，∴g
（x）极大值＝g（－2）＝ ，g（x）极小值＝g（0）＝0.又f（x）
＝x2ex－a恰有三个零点，∴0＜a＜ .
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5. （多选）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所
示，则函数y＝f（x）（　　）
A. 在（－∞，0）上单调递减
B. 在x＝0处取极大值
C. 在（4，＋∞）上单调递减
D. 在x＝2处取极小值
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解析：　由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）
时，f'（x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因
此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），
（4，＋∞）上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得
极小值，x＝4处取得极大值，故选B、C、D.
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6. （多选）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的
高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，
即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步
骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝xx（x＞
0），我们可以作变形：f（x）＝xx＝ ＝exln x＝et（t＝xln
x），所以f（x）可看作是由函数f（t）＝et和g（x）＝xln x复
合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等函数.根据以上材料，对
于初等函数h（x）＝ （x＞0）的说法正确的是（　　）
A. 无极小值 B. 有极小值1
C. 无极大值 D. 有极大值
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解析：　根据材料知：h（x）＝ ＝ ＝ （x＞
0），所以h'（x）＝ · '＝ · ＝
（1－ln x），令h'（x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'
（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＞e时，h'（x）＜0，
此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有极大值且为h（e）＝
，无极小值.故选A、D.
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7. 设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的
取值范围是 .
解析：∵y＝ex＋ax，∴y'＝ex＋a.令y'＝ex＋a＝0，则ex＝－
a，∴x＝ln（－a）.又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
（－∞，－1）　
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8. 函数f（x）＝x3－6x2－15x＋2的极大值是 ，极小值是
.
解析：f'（x）＝3x2－12x－15＝3（x－5）（x＋1），在（－
∞，－1），（5，＋∞）上f'（x）＞0，在（－1，5）上，f'（x）
＜0，所以f（x）极大值＝f（－1）＝10，f（x）极小值＝f（5）＝－
98.
10　
－
98　
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9. 已知函数y＝2x3－6x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c
＝ .
解析：设f（x）＝2x3－6x＋c，对f（x）求导可得，f'（x）＝
6x2－6，令f'（x）＝0，可得x＝±1，易知f（x）在（－∞，－
1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减.若f
（1）＝2－6＋c＝0，可得c＝4；若f（－1）＝－2＋6＋c＝0，可
得c＝－4.
－4或4
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10. 设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单
调区间与极值.
解：由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f'（x）＝ex－2，x∈R.
令f'（x）＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值2（1－ln
2＋a） 单调递增
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故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln 2），单调递增区间是（ln
2，＋∞）；f（x）在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）
＝2（1－ln 2＋a），无极大值.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f'（x）
的图象经过点（1，0），（2，0）.如图，则下列说法中正确的是
（　　）
A. 当x＝ 时，函数f（x）取得极小值
B. f（x）有两个极值点
C. 当x＝2时函数取得极小值
D. 当x＝1时函数取得极大值
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解析： 　由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两个极值点，
∴B正确；又x∈（－∞，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0；
x∈（1，2）时，f'（x）＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值
点，故C、D正确.故选B、C、D.
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12. 已知函数f（x）＝6ln x－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3
为f（x）的一个极值点.则a的值为 ；函数f（x）的单调
递减区间为 .
－1　
（1，3）　
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解析：因为f'（x）＝ －2ax－8，所以f'（3）＝2－6a－8＝0，
解得a＝－1.函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由a＝－1知f
（x）＝6ln x＋x2－8x＋b.所以f'（x）＝ ＋2x－8＝
.由f'（x）＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f'（x）＜0可
得1＜x＜3所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，＋
∞），单调递减区间为（1，3）.
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13. 已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点
（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.
（1）求a，b的值；
解：f'（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.
由已知得f（0）＝4，f'（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
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（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.
解：由（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，
f'（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2） .
令f'（x）＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞）时，f'（x）＞
0；当x∈（－2，－ln 2）时，f'（x）＜0.
故f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞）上单调递
增，在（－2，－ln 2）上单调递减.
当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）
＝4（1－e－2）.
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14. （多选）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，则下列结论中正确
的是（　　）
A. x0∈R，f（x0）＝0
B. 函数f（x）可能无极值点
C. 若x0是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0
D. 若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）上单调
递减
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解析： 　函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋
2ax＋b，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）
→＋∞，又当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞
0，又f（x）为连续函数，所以 x0∈R，f（x0）＝0，故A正
确；当a＝b＝0时，f'（x）＝3x2≥0，所以f（x）＝x3＋c在R
上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若x0
是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0，故C正确；
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若x0是f（x）的极小值点，即f'（x0）＝0，则3x2＋2ax＋b＝0必有
两个不相等的实数根，又f'（x）＝3x2＋2ax＋b在（－∞，－ ）
上单调递减，在（－ ，＋∞）上单调递增，当x→－∞时，f'（x）
→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，所以f（x）有极大值点x1
且x1＜x0，此时f（x）在区间（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x0）
上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故D错误.故选A、B、
C.
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15. 已知函数f（x）＝ （a∈R，a≠0）.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的极值；
解：当a＝－1时，f（x）＝ ，f'（x）＝ .
由f'（x）＝0，得x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的极小值为f（2）＝－ ，
函数f（x）无极大值.
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（2）若函数F（x）＝f（x）＋1没有零点，求实数a的取值范围.
解：F'（x）＝f'（x）＝ ＝ ，
令F'（x）＝0，得x＝2.
①当a＜0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） － 0 ＋
F（x） 单调递减 极小值 单调递增
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若使函数F（x）没有零点，当且仅当F（2）＝ ＋1＞0，
解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；
②当a＞0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） ＋ 0 －
F（x） 单调递增 极大值 单调递减
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当x＞2时，F（x）＝ ＋1＞1，
当x＜2时，令F（x）＝ ＋1＜0，
即a（x－1）＋ex＜0，
由于a（x－1）＋ex＜a（x－1）＋e2，
令a（x－1）＋e2≤0，
得x≤1－ ，
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即x≤1－ 时，
F（x）＜0，
所以F（x）总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是（－e2，0）.
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第二课时　函数最值的求法
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函
数极值的定义，回答下列问题.
【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点一　函数的最值点与极值点的关系
1. 如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最
值，则函数的最值点一定是某个 .
2. 如果函数y＝f（x）的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f
（x）在（a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或
b，要么是 .
极值点　
极值点　
【想一想】
　在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想
一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？
提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f
（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f
（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f
（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
知识点二　函数极值与最值之间的关系
1. 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小
值是一个整体性概念.
2. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数
的极值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以
有 ，但最值只能有一个.
3. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必
有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端
点处取得时必定是极值.
极值点　
多个　
1. 函数f（x）＝2x＋ sin x在区间[0，π]上的（　　）
A. 最小值为0，最大值为π＋1
B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π＋1，最大值为2π
D. 最小值为0，最大值为2
解析：　f'（x）＝2＋ cos x＞0，所以f（x）在区间[0，π]上单
调递增，因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝
2π.
2. 函数f（x）＝3x＋ sin x在x∈[0，π]上的最小值为 .
解析：由题意得f'（x）＝3xln 3＋ cos x，当x∈[0，π]时，f'（x）
＞0，所以f（x）在x∈[0，π]上单调递增，所以f（x）在[0，π]
上的最小值为f（0）＝1.
3. 已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函
数f（x）的极大值，求m的取值范围.
解：由题意可知x＝ 为函数的极大值点，且－2＜ ＜－1，解得
－4＜m＜－2.
1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　题型一 求函数的最值
【例1】　（1）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ；
解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.
1　
①当x＞ 时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－ ＝
，当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞
0，所以f（x）min＝f（1）＝2－1－2ln 1＝1；
②当0＜x≤ 时，f（x）＝1－2x－2ln x在 单调递减，
所以f（x）min＝f ＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1.
综上，f（x）min＝1.
（2）已知函数f（x）＝ ＋ln x，求f（x）在 上的最大值和
最小值.
解：f'（x）＝ ＋ ＝ .
由f'（x）＝0，得x＝1.
所以在 上，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x 1 （1，2） 2
f'（x） － 0 ＋
f（x） 1－ln 2 单调递减 极小值0 单调递增 － ＋ln 2
因为f －f（2）＝ －2ln 2＝ （ln e3－ln 16），
而e3＞16，所以f ＞f（2）＞0.
所以f（x）在 上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f
（1）＝0.
通性通法
求函数最值的基本思路
（1）从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极
值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是
极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大
值和最小值；
（2）单调区间取端点：当图象连续不断的函数f（x）在[a，b]上单
调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
【跟踪训练】
函数y＝x＋2 cos x在 上取最大值时，x的值为（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析：　y'＝1－2 sin x，令y'＝0，得 sin x＝ ，∵x∈ ，∴x
＝ . 由y'＞0得 sin x＜ ，∴0≤x＜ ；由y'＜0得 sin x＞ ，∴ ＜
x≤ ，∴原函数在 上单调递增，在 上单调递减.当x＝
0时，y＝2，当x＝ 时，y＝ ，当x＝ 时，y＝ ＋ ，∵ ＋
＞2＞ ，∴当x＝ 时取最大值.故选B.
题型二 含参数的最值问题
【例2】　已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝
2.718 28…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求
函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.
解：因为f（x）＝ex－ax2－bx－1，
所以g（x）＝f'（x）＝ex－2ax－b，
又g'（x）＝ex－2a，
因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
所以①若a≤ ，则2a≤1，g'（x）＝ex－2a≥0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1
－b.
②若 ＜a＜ ，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln（2a）时，g'（x）＝ex－2a＜0，
当ln（2a）＜x＜1时，g'（x）＝ex－2a＞0，
所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，
在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min＝g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.
③若a≥ ，则2a≥e，g'（x）＝ex－2a≤0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，
g（x）min＝g（1）＝e－2a－b.
综上所述，当a≤ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为1－b；
当 ＜a＜ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为2a－2aln（2a）
－b；
当a≥ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为e－2a－b.
【母题探究】
（变条件）若a＝1，b＝－2，求函数g（x）在区间[0，1]上的最
小值.
解：因为a＝1，b＝－2，
g（x）＝f'（x）＝ex－2x＋2，
又g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，
因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也
是最小值，
故g（x）min＝g（ln 2）＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
通性通法
1. 含参数的函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问
题；
（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质
是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不
等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取
得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点
值比较后确定最值.
2. 已知函数最值求参数值（范围）的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆
向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用
参数表示出最值后求参数的值或范围.
【跟踪训练】
　若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a
的值为（　　）
A. e2 B. 2e
C. D.
解析：　f'（x）＝a－ （x＞0）.
（1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f
（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.
（2）当a＞0时，f'（x）＝ .①当0＜a≤ 时， ≥e，此时f'
（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f
（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.②当a＞
时，0＜ ＜e.当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，所以f（x）在 上
单调递减，当 ＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在 上单调
递增，于是f（x）min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2.
故选A.
题型三 与最值有关的恒成立问题
【例3】　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1处都
取得极值.
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
解：由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
因为f'（1）＝3＋2a＋b＝0，f' ＝ － a＋b＝0，解得a
＝－ ，b＝－2，
所以f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
令f'（x）＝0，解得x＝－ 或x＝1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x － 1 （1，＋
∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为 和（1，＋∞）；
单调递减区间为 .
（2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范
围.
解：由（1）知，f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x∈[－1，2]，
当x＝－ 时，f ＝ ＋c为极大值，
因为f（2）＝2＋c，f（－1）＝ ＋c，
所以f（2）＝2＋c为最大值.
要使f（x）＜c2（x∈[－1，2]）恒成立，只需c2＞f（2）＝2
＋c，
解得c＜－1或c＞2.
故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件）若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜
c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成
立”，结果如何？
解：由本例（2）知当x＝1时，f（1）＝c－ 为极小值，
又f（－1）＝ ＋c＞c－ ，
所以f（1）＝c－ 为最小值.
因为存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立，
所以只需c2＞f（1）＝c－ ，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R. 故c的取值范围为R.
2. （变条件）若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒
成立”换为“x∈[－2，0]，不等式f（x）＞－c恒成立”，求c
的取值范围.
解：由题意只需x∈[－2，0]时，f（x）min＞－c即可.
由本例可知f（x）在 上单调递增，f（x）在 上
单调递减.
且f（0）＝c，f（－2）＝－6＋c，
所以f（x）min＝f（－2）＝－6＋c，
所以－6＋c＞－c，所以c＞3.
故c的取值范围为（3，＋∞）.
通性通法
　　恒成立问题向最值转化的方法
（1）要使不等式f（x）＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间
[m，n]上求出函数f（x）的最大值f（x）max，只要h＞f
（x）max，则上面的不等式恒成立；
（2）要使不等式f（x）＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间
[m，n]上求出函数f（x）的最小值f（x）min，只要f（x）min
＞h，则不等式f（x）＞h恒成立.
【跟踪训练】
　设a∈R，已知函数f（x）＝ax3－3x2.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
解：当a＝1时，f（x）＝x3－3x2，则f'（x）＝3x2－6x.
由f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞）；单
调递减区间为（0，2）.
（2）若对任意的x∈[1，3]，都有f（x）＋f'（x）≤0恒成立，求实
数a的取值范围.
解：依题意，对任意的x∈[1，3]，f（x）＋f'（x）＝
ax3－3x2＋3ax2－6x≤0恒成立，
这等价于不等式a≤ ＝ 对任意的x∈[1，3]恒成立.
令h（x）＝ （x∈[1，3]），
则h'（x）＝－ ＝－ ＜0，
所以h（x）在区间[1，3]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（3）＝ ，
所以a≤ ，即实数a的取值范围是 .
　构造函数证明（求解）不等式
　　
1. 证明：当x＞0时，ln（1＋x）＜x.
2. 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.
（1）ex＞1＋x，x≠0；（2）ln x＜x＜ex，x＞0.
【问题探究】
　利用导数证明不等式（或求解不等式）关键是构造函数，构造的函
数类型有如下几种：
（1）对于f'（x）＞g'（x），构造h（x）＝f（x）－g（x），更一
般地，遇到f'（x）＞a（a≠0），即导函数大于某个非零常数
（若a＝0，则无需构造），则可构造h（x）＝f（x）－ax；
（2）对于f'（x）＋g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）＋g（x）；
（3）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝exf（x）；
（4）对于f'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ；
（5）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（6）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ；
（7）对于 ＞0，分类讨论：①若f（x）＞0，则构造h（x）＝
lnf（x）；②若f（x）＜0，则构造h（x）＝ln [－f（x）].
【迁移应用】
1. 函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意的x∈R，f（x）＋
f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex＋1的解集是（　　）
A. {x｜x＞0}
B. {x｜x＜0}
C. {x｜x＜－1或x＞1}
D. {x｜x＜－1或0＜x＜1}
解析：　构造函数g（x）＝exf（x）－ex－1，则g'（x）＝exf
（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1].由已知f（x）＋
f'（x）＞1，可得g'（x）＞0，所以g（x）为R上的增函数.又因
为g（0）＝e0f（0）－e0－1＝0，所以当x＞0时，g（x）＞g
（0）＝0，即exf（x）＞ex＋1.故不等式exf（x）＞ex＋1的解集
为{x｜x＞0}.
2. 若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0
时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　）
A. f（a）＜eaf（0） B. f（a）＞eaf（0）
C. f（a）＝eaf（0） D. 不能确定
解析：　令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝
＞0，从而F（x）＝ 在R上单调递增，于是当a
＞0时，F（a）＝ ＞F（0）＝ ＝f（0），即f（a）
＞eaf（0）.
3. 证明不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立.
证明：令f（x）＝tan x－2x＋ sin x，x∈ ，
则f'（x）＝ '－（2x）'＋（ sin x）'
＝ －2＋ cos x
＝ ＝
＝
＝ .
∵x∈ ，∴1－ cos x＞0， cos x＋ sin 2x＞0，
∴f'（x）＞0，∴f（x）在 上单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝0，即tan x－2x＋ sin x＞0，
故不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立.
1. 函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是
（　　）
A. 12，－8 B. 1，－8
C. 12，－15 D. 5，－16
解析：　y'＝6x2－6x－12，由y'＝0解得x＝－1或x＝2（舍
去）.x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所
以ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2. 若函数f（x）＝a sin x＋ sin 3x在x＝ 处有最值，则a＝（　　）
A. 2 B. 1
C. D. 0
解析：　∵f（x）在x＝ 处有最值，∴x＝ 是函数f（x）的极
值点.又f'（x）＝a cos x＋ cos 3x，∴f' ＝a cos ＋ cos π＝0，
∴a＝2.
3. 设函数f（x）＝x3－ －2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f
（x）＞m，则实数m的取值范围是 .
解析：令f'（x）＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－ .f（－1）＝
，f ＝ ，f（1）＝ ，f（2）＝7，∴m＜ .
　
4. 函数f（x）＝ x－ sin x，x∈[0，π]的最小值为 　 － 　.
解析：f'（x）＝ － cos x，所以x∈ 时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减；x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）min＝f ＝ － .
－ 　
5. 设f（x）＝－ x3＋ x2＋2ax.当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上
的最小值为－ ，求f（x）在该区间上的最大值.
解：令f'（x）＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝ ，x2＝ .
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，
x2）上单调递增.当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2）.
又因为f（4）－f（1）＝－ ＋6a＜0，
即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8a－ ＝－ ，
得a＝1，x2＝2，
从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数f（x）＝ x2＋ln x，则函数f（x）在[1，e]上的最大值
为（　　）
A. B.
C. D. ＋1
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解析： 　因为函数f（x）＝ x2＋ln x，则f'（x）＝x＋ ，显然
在[1，e]上f'（x）＞0，故函数f（x）单调递增，故f（x）max＝f
（e）＝ e2＋ln e＝ ＋1.
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2. 函数f（x）＝2 ＋ ，x∈（0，5]的最小值为（　　）
A. 2 B. 3
C. D. 2 ＋
解析： 　由f'（x）＝ － ＝ ＝0，得x＝1，且x∈（0，
1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f
（x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3.
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3. 函数f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范
围为（　　）
A. [0，1） B. （0，1）
C. （－1，1） D.
解析： 　∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又
∵x∈（0，1），∴0＜a＜1.故选B.
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4. 若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为
10，则其最小值为（　　）
A. －10 B. －71
C. －15 D. －22
解析： 　f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）
＝0，得x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－
27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，
得k＝5，所以f（x）min＝k－76＝－71.
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5. 已知函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，且g
（x）＝x2－ 在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，则实数
a的取值范围是（　　）
A. a＞－2 B. a≥－3
C. －3≤a＜－2 D. －3≤a≤－2
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解析： 　因为函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递
减，所以f'（x）＝－3x2－a≤0对于一切x∈（－∞，－1]恒成
立，得－3x2≤a，所以a≥－3.又因为g（x）＝x2－ 在区间
（1，2]上既有最大值，又有最小值，所以可知g'（x）＝2x＋
在（1，2）上有零点，也就是极值点，即2x＋ ＝0有解，解得a
＝－2x3，可得－16＜a＜－2，所以－3≤a＜－2.
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6. （多选）已知函数f（x）＝ x3＋x2－2在区间（a－2，a＋3）上
存在最小值，则整数a可以取（　　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
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解析： 　f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），f'（x）＝0时，x＝
－2或x＝0，当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0时，f'
（x）＜0，所以函数的单调递增区间是（－∞，－2）和（0，＋
∞），函数的单调递减区间是（－2，0），所以函数的极大值点是
－2，极小值点是0，且f（0）＝－2，那么当 x3＋x2－2＝－2，解
得x＝0或x＝－3，所以函数在区间（a－2，a＋3）上存在最小
值，则解得－1≤a＜2.故选B、C、D.
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7. 当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝ 的值域是 .
解析：由f'（x）＝ ＝ ＝0，得x＝0或2（舍去），f
（－1）＝e，f（0）＝0，f（1）＝ ，所以f（x）的值域为[0，
e].
[0，e]　
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8. 若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别
为m，n，则m－n＝ 　 　.
解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在
（1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝
n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f
（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）
＝20.
20
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9. 设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m
恒成立，则实数m的取值范围是 .
解析：f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝
0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如
下表：
（－∞，0）
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x －2 （－2，
0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－
2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
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10. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1，
f（1））处的切线方程为y＝3x＋1.
（1）求a，b的值；
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解：依题意可知点P（1，f（1））为切点，代入切线
方程y＝3x＋1可得，f（1）＝3×1＋1＝4，
∴f（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，
f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f'（1）＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
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（2）求y＝f（x）在[－3，1]上的最大值.
解：由（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
f'（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），
令f'（x）＝0，得x＝ 或x＝－2.
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
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x －3 （－3，－2） －2
1
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 单调递
增 极大值 单调递
减 极小值 单调递
增 4
∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f ＝ ，
又∵f（－3）＝8，f（1）＝4，
∴f（x）在[－3，1]上的最大值为13.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ x3－4x＋2，下列说法中正确的有
（　　）
A. 函数f（x）的极大值为 ，极小值为－
B. 当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为 ，最小值为－
C. 函数f（x）的单调递减区间为[－2，2]
D. 曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线的方程为y＝－4x＋2
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解析： 　f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝
0，得x＝－2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋
∞）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大
值＝f（－2）＝ ×（－2）3－4×（－2）＋2＝ ，f（x）极小值
＝f（2）＝ ×23－4×2＋2＝－ ，故A正确；
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当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝ ×33－4×3＋2＝
－1，f（4）＝ ×43－4×4＋2＝ ，所以当x∈[3，4]时，f（x）
的最大值为 ，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点
（0，2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故
D正确.
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12. 已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a
＝ 　 　.
解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－
1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则
最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝ ，解得a＝－
；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝
4≠ .综上知，a＝－ .
－
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13. 已知函数f（x）＝ax4ln x＋bx4－c（x＞0）在x＝1处取得极值－
3－c，其中a，b，c为常数.若对任意x＞0，不等式f（x）≥－
2c2恒成立，求c的取值范围.
解：f'（x）＝4ax3ln x＋ax4× ＋4bx3
＝x3（4aln x＋a＋4b）.
∵函数f（x）在x＝1处取得极值－3－c，
∴
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即解得a＝12，b＝－3.
∴f'（x）＝48x3ln x（x＞0），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
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当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ －3－c ↗
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∴当x＝1时，f（x）有极小值为－3－c，
并且该极小值为函数的最小值.
∴要使对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可.
整理得2c2－c－3≥0.解得c≥ 或c≤－1.
∴c的取值范围为（－∞，－1]∪ .
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14. 设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别交于点
M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值为（　　）
A. 1 B.
C. D.
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解析：　因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜
MN｜＝f（x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h'
（x）＝2x－ ＝ ，令h'（x）＝ ＝0，得x＝ 或x＝
－ （舍去），所以h（x）在 上单调递减，在
上单调递增，所以当x＝ 时有最小值，故t＝ .
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15. 已知函数f（x）＝ax2＋bx－ln x（a，b∈R）.
（1）当a＝－1，b＝3时，求函数f（x）在 上的最大值和
最小值；
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解：当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x，
且x∈ ，
f'（x）＝－2x＋3－ ＝－ ＝－ .
当 ＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在 上单调递增，在（1，2）上单调
递减，
所以函数f（x）在区间 上仅有极大值点x＝1，
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故这个极大值点也是最大值点，
即函数在 上的最大值是f（1）＝2.
又f（2）－f ＝（2－ln 2）－ ＝ －2ln 2＝ －
ln 4＜0，
所以f（2）＜f ，
故函数f（x）在 上的最小值为f（2）＝2－ln 2.
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（2）当a＝0时，是否存在正实数b，使x∈（0，e]时，函数f
（x）的最小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明
理由.
解：存在.
当a＝0时，f（x）＝bx－ln x，得f'（x）＝b－ ＝ .
①当0＜b≤ ，即 ≥e，x∈（0，e]时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，
f（x）min＝f（e）＝be－1＜0，不合题意；
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②当b＞ ，即0＜ ＜e，x∈ 时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，
x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f ＝1＋ln b＝3，得b＝e2.
综上所述，存在实数b＝e2使得函数f（x）的最小值是3.
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