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5.1.1　数列的概念
新课程标准解读 核心素养
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的
概念和表示方法（列表、图象、通项公
式），了解数列是一种特殊函数 数学运算、数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他
们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆
成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当
小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如
图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数
时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等
等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.
【问题】　（1）数列的有关概念是什么？
（2）数列可分为哪几类？
知识点一　数列的概念及分类
1. 数列的概念
2. 数列的分类
类别 含义
有穷数列 的数列
无穷数列 的数列
项数有限　
项数无限　
【想一想】
1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？
提示：不是.
2. 一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷
数列，还是无穷数列？
提示：可以构成数列，且是无穷数列.
1. 下列有关数列的说法正确的是（　　）
A. 同一数列的任意两项均不可能相同
B. 数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D. 数列中的每一项都与它的序号有关
解析：　A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的
各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的
顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个
集合；D是正确的.
2. 数列 ，2 ， ，3 ，…，则该数列的第6项是 　2 　.
解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为 ＝
2 .
2 　
知识点二　数列的通项公式
1. 数列的通项及表示
因为数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般
形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的
第 项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），
称为数列的通项，一般将整个数列简记为{an}.
正整数　
n　
2. 数列的通项公式
如果数列的第n项an与 之间的关系可以用an＝f（n）来表
示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关
系式为这个数列的一个通项公式.
n　
【想一想】
1. 是否所有的数列都有通项公式？
提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似
值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，
它没有通项公式.
2. 如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？
提示：an＝k.
3. 若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？
提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an
＝或an＝ cos （n－1）π.
1. 数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝ .
解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，
所以a2·a3＝20.
20　
2. 若数列{an}的通项满足 ＝n－2，那么15是这个数列的第
项.
解析：由 ＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3（舍去）.
5　
知识点三　数列与函数
1. 数列与函数的关系
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就
是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项
公式也就是相应函数的解析式.
2. 数列的分类
类别 定义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
【想一想】
1. 数列的表示方法有哪些？
提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法.
2. 作出一个数列的图象，其图象有什么特点？
提示：其图象是一些离散的点.
1. 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）
D. 1，2，3，4，…，30
解析：　数列1， ， ， ，…是无穷数列，但它不是递增数
列，而是递减数列；数列 sin ， sin ， sin ， sin ，…是无
穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－
，－ ，－ ，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，
4，…，30是递增数列，但不是无穷数列.
2. 给出以下数列：
①1，－1，1，－1，…；
②2，4，6，8，…，1 000；
③8，8，8，8，…；
④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.
其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列
为 ；递减数列为 ；常数列为 .（填序号）
②④　
①③　
②　
④　
③　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列的概念及分类
【例1】　已知下列数列：
①2 020，2 021，2 022，2 023，2 024，2 025；
②1， ， ，…， ，…；
③1，－ ， ，…， ，…；
④1，0，－1，…， sin ，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列
是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是
.（填序号）
解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无
穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数
列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.
①⑥　
②③④⑤　
①⑤　
②　
⑥　
③
④　
通性通法
　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于
递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析，而有穷和无穷
数列则看项的个数是有限还是无限.
【跟踪训练】
给出下列数列：
①2017～2024年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，
93，105，119，129，130，132，135；
②无穷多个 构成数列 ， ， ， ，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，
16，－32，….
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列
是 ，常数列是 ，摆动数列是 .（填序号）
解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为
常数列；③为摆动数列.
①　
②③　
①　
②　
③　
题型二 数列的通项公式
角度1　由数列的前几项求通项公式
【例2】　（1）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是
；
：an＝
　
解析：数列可写为 ， ， ， ，…，
分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，
分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋
2，…，因此它的一个通项公式为an＝ .
① ， ， ， ，…；
②－3，7，－15，31，…；
③2，6，2，6，….
（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式：
解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因
数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
因此数列的一个通项公式为an＝ .
②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，
各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）.
③为摆动数列，一般求两数的平均数 ＝4，
而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示.
因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝
通性通法
由数列的前几项求通项公式的解题策略
（1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑
分子、分母的关系；
（2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或
（－1）n－1来调控；
（3）熟悉一些常见数列的通项公式；
（4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发
现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成
若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行
归纳.
【跟踪训练】
1. 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为（　　）
解析：　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为
1－ ，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上
面数列对应项的 .故通项公式为an＝ .
2. 如图，星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是
（　　）
A. an＝n2－n＋1
解析：　由图知前四项分别为1，3，6，10，…逐项验证可知C正
确.故选C.
角度2　通项公式的应用
【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
解： a4＝3×16－28×4＝－64，
a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数
列的一项呢？
解： 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2.
因为 N＋，－2 N＋，
所以68不是该数列的项.
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，试探究数列{an}中有多少个负数项？
解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，
4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
2. （变条件，变设问）若本例中的条件“an＝3n2－28n”变为“an
＝ ＋2n”，问253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第
几项？
解：假设253是这个数列中的项，则253＝ ＋2n，解得n＝121.
所以253是这个数列的第121项.
假设153是这个数列中的项，则153＝ ＋2n，解得n＝72 ，这
与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项.
通性通法
求数列的项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就
可以写出数列中的指定项；
（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式
中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否
则该数不是数列的项.
【跟踪训练】
　已知两个数列的前5项如下：
{an}：25，37，49，61，73，…；
{bn}：1，4，9，16，25，….
（1）根据两个数列前5项的特征，分别写出它们的一个通项公式；
解：an＝12n＋13，bn＝n2.
（2）根据（1）的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与
项都相同的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是
第几项.
解：令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去），
所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项.
题型三 数列单调性的判断及应用
【例4】　（1）已知函数f（x） ＝若数
列{an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取
值范围是（　　）
A. （1，3） B. （1，2]
C. （2，3）
解析：　由题意知an＝
因为数列{an}是递增数列，所以
当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；
当n＞10时，a＞1.
且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，
即a2＋10a－24＞0，
即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.
综上可得a的取值范围为（2，3）.
①求证：0＜an＜1；
②判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝ ＜ ＜
＝1，所以0＜an＜1.
②因为an＋1－an＝ －
＝ ＝ .
又因为n∈N＋，且n≥1，
（2）已知数列{an}的通项公式an＝ （n∈N＋），
所以n＋ ≥ ， ≥ ，－ ≤－ .
故－ ＋ ≤－ ＋ ＝－1＜0，
所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列.
通性通法
1. 判断数列{an}单调性的常用方法
（1）图象法：利用数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋
势，从而判断数列的单调性；
（2）作差法：将an＋1－an与0进行比较；
（3）作商法：将 与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是
an＞0）.
2. 利用数列的单调性确定变量的取值范围
数列{an}递增 an＋1＞an（n∈N＋）；
数列{an}递减 an＋1＜an（n∈N＋）.
进而转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的
最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解
不等式（组）来确定变量的取值范围.
【跟踪训练】
1. 已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an
＜an＋1恒成立，则实数λ满足（　　）
A. λ＞0 B. λ＜0
C. λ≥－2 D. λ＞－3
解析：　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是
递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）
＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝
－ ，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.
欲满足上述不等关系，需－ ＜ ，解得λ＞－3.
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，画出它的图象，并判断增
减性.
解：图象如图所示，该数列在{1，
2，3，4}上是递减的，在{5，
6，…}上也是递减的.
　数列单调性的判断及应用
　　
　已知函数f（x）＝ ，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其
中n∈N＋.
（1）求证：0≤an＜1；
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
【问题探究】
函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特
殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质.数列的
单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判断某一项是否为已知
数列中的项等问题时，都有重要的作用.
如何利用数列单调性定义去判断数列的单调性？
提示：①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较.
若an＋1－an＞0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递增数
列；
若an＋1－an＜0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递减数
列；
若an＋1－an＝0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是常数列.
②作商法：即作商 （务必要确定an的符号）后与1进行比较.
对于任意n（n∈N＋），若an＞0，则当 ＞1时，数列{an}是递增
数列；当 ＜1时，数列{an}是递减数列.
对于任意n（n∈N＋），若an＜0，则当 ＜1时，数列{an}是递增
数列；当 ＞1时，数列{an}是递减数列.
对于任意n（n∈N＋），若an≠0，则当 ＝1时，数列{an}是常
数列.
【迁移应用】
　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列
{an}的单调性.
解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－
an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an
（n∈N＋），故数列{an}是递增数列.
法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则 ＝
＝ · ＞1.
又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
（注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小）
法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴
为直线x＝ ， ＜1，则函数y＝3x2－x在 上单调递增，故
数列{an}是递增数列.
　　
1. 有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上
的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式.
其中正确的是（　　）
A. ① B. ①②
C. ③④ D. ②④
解析：　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列
的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，
③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公
式为an＝④错误.故选A.
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中
的项的是（　　）
A. 2 B. 40
C. 56 D. 90
解析：　由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2为正整数，即2是
{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是
{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8为正整数，即56是{an}的
项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10是正整数，即90是{an}的项.
3. 下列四个选项中，正确的是（　　）
B. 数列的图象是一群孤立的点
C. 数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列
解析：　对于A，当通项公式为an＝ 时，a1＝ ≠ ，不符
合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及n∈N＋
可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由
于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选
项C错误；对于D，数列 ， ，…， 是递减数列，故选项D错
误.故选B.
4. 已知数列{an}满足 －an－3＝0，则数列{an}是（　　）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 不能确定
解析：　由条件得 －an＝3＞0，可知 ＞an，所以数列
{an}是递增数列.
5. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代
表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中
隐藏着的世界数学史上的第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，
8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为（　　）
A. 212 B. 200
C. 186 D. 162
解析：　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶
数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第
20项为200.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列 ， ， ，…， ，则0.96是该数列的（　　）
A. 第20项 B. 第22项
C. 第24项 D. 第26项
解析：　由 ＝0.96，解得n＝24.
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2. 数列{an}中，若an＝ ，则a4＝（　　）
D. 8
解析：　因为数列{an}中，an＝ ，所以a4＝ ＝ ，
故选B.
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3. 已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项
之积是（　　）
B. 5
C. 6
解析：　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝
log232＝log225＝5.
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4. 已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝
（　　）
A. 70 B. 28
C. 20 D. 8
解析：　由an＝得a2＝2，a3＝10，所以
a2·a3＝20.
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5. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 数列a，a，a，…是无穷数列
B. 数列{f（n）}就是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，
3，…，n}上的函数值
C. 数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D. 已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
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解析：　A、D显然正确；对于B，因为数列{f（n）}是定义
在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝
f（n），当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所
以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所
以不一定是递减数列.
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6. （多选）满足下列条件的数列{an}（n∈N＋）是递增数列的为
（　　）
B. an＝n2＋n
C. an＝1－2n D. an＝2n＋1
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解析：　A项，因为an＋1－an＝ － ＝－ ＜0，所
以是递减数列；B项，因为an＋1－an＝ －（n2
＋n）＝2n＋2＞0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－
2（n＋1）]－（1－2n）＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为
an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋1）＝2n＞0，所以是递增数列.故
选B、D.
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7. 数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为
.
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得
an＝
an＝
　
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8. 已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整
数n的值为 .
解析：由an＝19－2n＞0，得n＜ .又因为n∈N＋，所以n≤9.
9　
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9. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的
前4项，则这个数列的一个通项公式为 .
解析：设第n幅图中着色的三角形个数为an，由图形可得a1＝1＝
30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，据此可归纳得出该数列
的一个通项公式为an＝3n－1.
an＝3n－1　
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10. 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：
（1）an＝（－1）n＋2；
解：a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①.
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（2）an＝ .
解：（a1＝2，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ .图象如图②.
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11. 设函数f（x）＝an＝f（n）（n∈N＋），
若数列{an}是单调递减数列，则实数k的取值范围为（　　）
A. （－∞，2）
解析：　因为数列{an}是单调递减数列，所以只需k－2＜0且a1
＞a2，即k＜2且k＜ ，故实数k的取值范围为 .
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12. 已知数列{an}的通项公式为an＝n－ ，则an的最小值
为 .
解析：因为an＝n－ ＝ ＝－
，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为
a1，即最小值为1－ .
1－ 　
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13. 已知在数列{an}中，an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且
a≠0）.
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
解：∵an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且
a≠0），a＝－7，
∴an＝1＋ .结合函数f（x）＝1＋ 的单调性，可知
1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）.
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
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（2）若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围.
解：an＝1＋ ＝1＋ .
由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋
的单调性可得5＜ ＜6，∴－10＜a＜－8.
即实数a的取值范围为（－10，－8）.
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14. 对任意的a1∈（0，1），由关系式 ＝f（an）得到的数列满
足 ＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象是（　　）
解析：　据题意，由关系式 ＝f（an）得到的数列{an}满
足 ＞an（n∈N＋），即该函数y＝f（x）的图象上任一点
（x，y）都满足y＞x，结合图象，只有A满足，故选A.
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15. 已知函数f（x）＝ （x≥1），构造数列an＝f（n）（n∈N
＋）.
（1）求证：an＞－2；
解：证明：因为f（x）＝ ＝ ＝－2＋
，所以an＝－2＋ .因为n∈N＋，所以an＞－2.
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（2）数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解：数列{an}为递减数列.
因为an＝－2＋ ，所以an＋1－an＝ －
＝ － ＝ ＜0，
即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列.
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