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(共66张PPT)
5.1.2　数列中的递推
新课程标准解读 核心素养
1.了解数列的递推公式，会用数列的递推公式求
前几项 数学运算、数学
抽象
2.理解数列的前n项和的定义，会利用数列的前n
项和公式求通项an 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某剧场有30排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都
比前一排多2个座位（如图）.
【问题】　（1）写出前五排座位数；
（2）第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
知识点一　数列的递推关系
　如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上
的关系都可以用 来表示，则称这个公式为数列的递推关
系（也称为递推公式或递归公式）.
一个公式　
提醒　对数列递推公式的再理解：①并不是所有的数列都有递推公
式.例如 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列
数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式；②递推公式也是给
出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的
恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各
项；③递推公式通过赋值逐项求出数列的项.
1. 符合递推关系式a1＝1，an＝ an－1的数列是（　　）
A. 1，2，3，4，…
解析：　B中相邻的两项，后一项是前一项的 倍，符合递推公
式an＝ an－1.
2. 数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝（　　）
A. －3 B. －11
C. －5 D. 19
解析：　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2
＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原
子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化
学键（　　）
A. 6n个 B. （4n＋2）个
C. （5n－1）个 D. （5n＋1）个
解析：　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6
＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋
3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D.
4. 已知a1＝1，an＝1＋ （n≥2），则a5＝ 　 　.
解析：由a1＝1，an＝1＋ ，得a2＝2，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ .
　
知识点二　数列的前n项和
1. 定义：给定数列{an}，称Sn＝ 为数列{an}
的前n项和.
2. 数列的前n项和Sn与通项an的关系
a1＋a2＋a3＋…＋an　
（1）当 时，a1＝S1；
（2）当 时，an＝Sn－Sn－1.
综上所述：an＝
n＝1　
n≥2且n∈N＋　
提醒　应用数列前n项和公式的易错点：在应用数列的前n项
和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直
接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用
于n≥2的情形.
　已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝ .
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1）
＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，
∴an＝4n－1（n∈N＋）.
4n－1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】　数列{an}中，a1＝1，a2＝3， －anan＋2＝（－1）n，
求{an}的前5项.
解：由 －anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝ ，又∵a1＝
1，a2＝3，∴a3＝ ＝ ＝10，a4＝ ＝ ＝
33，a5＝ ＝ ＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10，
33，109.
通性通法
由递推公式求数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分
的关系，依次代入计算即可；
（2）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面
的项的形式；
（3）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面
的项的形式.
【跟踪训练】
　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N＋，求a2 025.
解：由题意得，
a2＝ ＝ ＝－3，
a3＝ ＝ ＝－ ，
a4＝ ＝ ＝ ，
a5＝ ＝ ＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2.
题型二 由递推公式求通项公式
角度1　累加法求通项公式
【例2】　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋ ，n∈N
＋，求数列的通项公式an.
解：∵an＋1－an＝ ，
∴a2－a1＝ ，a3－a2＝ ，a4－a3＝ ，…，an－an－1＝
，
以上各式累加得，an－a1＝ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
∵a1＝－1，∴an＋1＝1－ ，
∴an＝－ （n≥2）.
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ .
角度2　累乘法求通项公式
【例3】　设数列{an}中，a1＝1，an＝ an－1（n≥2），求数
列的通项公式an.
解：∵a1＝1，an＝ an－1（n≥2），
∴ ＝ ，
an＝ × × ×…× × ×a1
＝ × × ×…× × ×1＝ .
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ .
通性通法
　　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f
（n）或an＋1＝g（n）·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通
项公式，即：
（1）累加法：当an＝an－1＋f（n）时，常用an＝（an－an－1）＋
（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1求通项公式；
（2）累乘法：当 ＝g（n）时，常用an＝ · ·…· ·a1求通
项公式.
【跟踪训练】
1. 如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3
项，则这个数列的一个通项公式为 .
an＝4n＋2　
解析：我们把图案按如下规律分解：这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4（n－1）＝4n＋2.
2. 已知数列{an}中a1＝ ，an＝ an－1（n≥2），求数列{an}的通
项公式.
解：因为an＝ an－1（n≥2），
所以当n≥2时， ＝ ，
所以 ＝ ， ＝ ，…， ＝ ， ＝ ，
以上n－1个式子相乘得 · ·…· · ＝ · ·…· · ，
即 ＝ × ×2×1，又a1＝ ，所以an＝ .
当n＝1时，a1＝ ＝ ，与已知a1＝ 相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝ .
题型三 根据数列的前n项和公式求通项
【例4】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.
（1）Sn＝2n2－3n；
解：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n
－1）]＝4n－5，
由于a1也适合此式，
所以an＝4n－5.
（2）Sn＝3n＋b.
解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此式.
当b≠－1时，a1不适合此式.
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
【母题探究】
　（变条件）本例条件变为“Sn＝ 且a4＝54”问题不变.
解：因为a4＝S4－S3＝ － ＝ （81－27）＝
27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×3n－1.
而2×31－1＝2＝a1，
故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
通性通法
已知Sn求an的步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1
（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；
（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式.如
果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该
分n＝1与n≥2两段来写.
【跟踪训练】
　 已知数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若Sn＝（－1）n＋1·n，求a5＋a6及an；
解：a5＋a6＝S6－S4＝（－6）－（－4）＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1）
＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]＝（－1）n＋1·（2n－1），
又因为a1也适合此式，
所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）.
（2）若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－
1）＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，
所以an＝
题型四 数列的最大（小）项问题
【例5】　已知数列{an}的通项公式是an＝ · ，试问该数
列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说
明理由.
解：法一　an＋1－an＝（n＋2） －（n＋1）· ＝
，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10× .
法二　根据题意，令（n＞1），
即（n＞1），
解得9≤n≤10.
又n∈N＋，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10× .
通性通法
1. 由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数
列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的
定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件.
2. 可以利用不等式组（n＞1）找到数列的最大项；利
用不等式组（n＞1）找到数列的最小项.
【跟踪训练】
　数列{an}满足an＝ ，若ap最大，aq最小，则p＋q
＝ .
解析：an＝ ＝1＋ .由于44＜ ＜45，则当
n≤44时，an＝1－ ＜1且数列{an}递减；当n≥45时，an
＝1＋ ＞1且数列{an}递减.所以a44最小，a45最大，即p
＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89.
89　
1. 已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝ an＋ ，则此数列
的第4项是（　　）
A. 1
解析：　由a1＝1，∴a2＝ a1＋ ＝1，依此类推，a4＝ .
2. 数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则
a3＋a5＝（　　）
解析：　由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，
a1a2a3a4a5＝52，则a3＝ ＝ ，a5＝ ＝ .故a3＋a5＝ .
3. 已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋ ，且a5＝0，则a的值为
（　　）
解析：　由a5＝0倒推可求得a4＝－1，再求a3＝－ ，a2＝－ ，
从而可得a1＝－ .
4. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an
＝ .　
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
　
5. 设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1） －n ＋anan＋1＝
0（n＝1，2，3，…），则通项公式an＝ .
解析：由（n＋1） －n ＋anan＋1＝[（n＋1）an＋1－
nan]·（an＋1＋an）＝0，可得 ＝ ，将 ＝ ， ＝ ，…，
＝ ，叠乘可得an＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5＝（　　）
A. 15 B. 16
C. 31 D. 32
解析：　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1
＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
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2. 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，则a8＝（　　）
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
解析：　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.
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3. 若数列{an}满足an＋1＝ （n∈N＋），且a1＝1，则a17＝
（　　）
A. 13 B. 14
C. 15 D. 16
解析：　由an＋1＝ 得an＋1－an＝ ，a17＝a1＋（a2－a1）＋
（a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋ ×16＝13，故选A.
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4. 已知数列{an}满足：a1＝ ，对于任意的n∈N＋，an＋1＝ an（1－
an），则a2 024－a2 025＝（　　）
解析：　a1＝ ，a2＝ × × ＝ ，a3＝ × × ＝ ，a4＝
× × ＝ ，…，归纳可知，当n＞1时，若n为奇数，an＝ ；若
n为偶数，an＝ ，所以a2 024－a2 025＝ － ＝－ .
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5. （多选）数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是
（　　 ）
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第7项
解析： 　an＝－n2＋11n＝－ ＋ ，
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C.
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6. （多选）若数列{an}满足an＋1＝a1＝ ，
则数列{an}中的项的值可能为（　　）
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解析： 　数列{an}满足an＋1＝a1＝
，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝ ，a3
＝2a2＝ ，a4＝2a3＝ ，a5＝2a4－1＝ ＝a1，…，继续下去会循
环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为 ， ， ，
.故选A、B、C.
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7. 我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶数列的求和问题，如数
列 就是二阶数列.数列 （n∈N＋）的前3项和
是 .
解析：设an＝ ，前3项和S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
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8. 已知数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时， － ＝1，则an
＝ .
解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝
2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋
a1＝2（n－1）＋1＝2n－1，又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1.
2n－1　
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9. 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个
点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N
＋）的前12项，如表所示.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 …
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 …
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按如此规律下去，a2 023＋a2 024＋a2 025＝ .
解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1，
2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋
a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，…，∴a2n＝n，当2n＝2 024
时，a2 024＝1 012，∴a2 023＋a2 024＋a2 025＝1 012.
1 012　
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10. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n.
（1）求an；
解：当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[（n－1）2－9（n－1）]＝2n－10.
注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10＝－8，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10.
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（2）若它的第k项满足5＜ak＜8，求k的值.
解：因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9.
又k∈N＋，所以k＝8.
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11. 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2（n∈N＋），则当n≥2时，下
列不等式成立的是（　　）
A. Sn＞na1＞nan B. Sn＞nan＞na1
C. na1＞Sn＞nan D. nan＞Sn＞na1
解析：　由an＝解得an＝5－4n，a1＝1，
所以na1＝n，所以nan＝5n－4n2，因为na1－Sn＝n－（3n－
2n2）＝2n2－2n＝2n（n－1）＞0（当n≥2时）.Sn－nan＝3n
－2n2－（5n－4n2）＝2n2－2n＞0（当n≥2时）.所以na1＞Sn
＞nan.
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12. 已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝（n＋1）an＋1，若对于任意
的n∈N＋，不等式 ＜2t2－1恒成立，则实数t的取值范围
为 .
∪ 　
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解析：由题意数列{an}中，nan＋1＝（n＋1）an＋1，即nan＋1－
（n＋1）an＝1，则有 － ＝ ＝ － ，则有
＝ ＋ ＋（ － ）＋…＋ ＋
a1＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋2＝3－
＜3，又对于任意的n∈N＋，不等式 ＜2t2－1恒成立，即
3≤2t2－1恒成立，解得t≤－ 或t≥ .
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13. 已知数列{an}满足a1＝ ，anan－1＝an－1－an（n≥2），且
an≠0，求数列{an}的通项公式.
解：∵anan－1＝an－1－an，且an≠0，
∴当n≥2时， － ＝1.
∴ ＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.
∴ ＝n＋1，∴an＝ （n≥2）.
又∵n＝1时，a1＝ ，符合上式，∴an＝ .
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14. （多选）数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐
波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔
子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项
开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，
则下列结论正确的是（　　）
A. S5＝F7－1 B. S5＝S6－1
C. S2 023＝F2 025－1 D. S2 023＝F2 024－1
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解析： 　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2（n≥3），所以S3＝F1
＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝
F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6
－1＝F7－1，…，所以S2 023＝F2 025－1.故选A、C.
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15. 已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝ （a为常数）.
（1）若对于任意的x1≠－1，都有xn＋2＝xn（n∈N＋）成立，求
a的值；
解：∵xn＋2＝ ＝ ＝ ＝xn，
∴a2xn＝（a＋1） ＋xn，即（a2－1）xn＝（a＋1） .
令n＝1，得（a2－1）x1＝（a＋1） ，
要使该式对任意的x1≠－1都成立，
则有解得a＝－1.
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（2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？
请说明理由.
解：数列{xn}是递减数列.
理由如下：∵x1＞0，xn＋1＝ ，
∴xn＞0.
又∵xn＋1－xn＝ －xn＝－ ＜0，
∴数列{xn}是递减数列.
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