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(共62张PPT)
5.4　数列的应用
新课程标准解读 核心素养
掌握数列在实际生活中的应用 数学建模
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 分期还款在数列中的应用
【例1】　随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当
今大学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套
100平方米的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的
年利率为5%.设第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明
数列{an}的特征.　
解：因为每期所还本金为 ＝25 000（元），
因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元.
从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51
250.
可以看出{an}是一个递减的等差数列.
通性通法
　　“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一
期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还
款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利
率.因此：每期还款金额＝ ＋（贷款本金－已还本金总额）
×利率.
【跟踪训练】
刚大学毕业的小李准备向银行贷款10万元购买一辆轿车，小李与银行
约定，每个月还一次款12个月还清所有欠款，且每个月还款的钱数都
相等.贷款的月利率为0.5%，试求出小李每个月所要还款的钱数？
解：设小李每个月还款x元，则x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10
＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12，
∴x＝ ≈8 607（元）.
即小李每个月应还款约8 607元.
题型二 “乘数”效应与数列
【例2】　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填
埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递
增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定
处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃
圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾
总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内
通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则
an＝20（1＋5%）n，
bn＝6＋1.5n，
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）
＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）
＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋
1.5n）
＝ － （7.5＋6＋1.5n）
＝420×1.05n－ n2－ n－420.
当n＝5时，S5≈63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
通性通法
　　在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确
定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正
确区分是求第n项，还是求前n项的和.
【跟踪训练】
　某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的
20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为
（lg 2≈0.301 0）（　　）
A. 5 B. 10
C. 14 D. 15
解析：　设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，
且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－
20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因
为lg 0.8＜0，所以n＞ ，即n＞ ＝ ＝
≈ ≈13.41，故取n＝14.
题型三 数列在实际生活中的应用
【例3】　若某地区2017年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政
策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2018年开始到2027年年底
每年人口比上一年增加0.5万人，从2028年开始到2037年年底每年人
口为上一年的99%.
（1）求实施新政策后该地区第n年的人口总数an的表达式（注：2018
年为第1年）；
解：当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5
的等差数列，
∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n，
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，又∵a10
＝50，∴an＝50×0.99n－10.
因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝
（2）若实施新政策后，从2018年到2037年年底平均每年的人口总数
超过49万，则需调整政策，否则无需调整.试判断到2037年年底
后是否需要调整政策.（附：0.9910≈0.9）
解：设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知，
S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋
×0.5＋ ＝477.5＋4 950×（1－0.9910）
≈972.5，
∵ ＝48.625＜49，
故到2037年年底后不需要调整政策.
通性通法
解决数列应用题需注意的三点
（1）分清该数列是等差数列还是等比数列；
（2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是
Sn；
（3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式.
【跟踪训练】
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有
资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以
后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开
始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设
第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
解：由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2
＝a1（1＋50%）－d＝ a1－d＝4 500－ d，
an＋1＝an（1＋50%）－d＝ an－d.
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，
试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
解：由（1）得an＝ an－1－d＝ －d＝
·an－2－ d－d＝…＝ a1－d ，
整理得an＝ （3 000－d）－2d ＝ ·（3
000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以 （3 000－3d）＋2d＝4 000，
解得d＝ ＝ .
故该企业每年上缴资金d的值为 万元时，经过
m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
1. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，
尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父
亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货
单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸
是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一
个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677
码.则另外一个缺货尺寸是（　　）
A. 28码 B. 29.5码
C. 32.5码 D. 34码
解析：　设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则
an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝
36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝
＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又
因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝
32.5码，故选C.
2. 某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增
长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两
次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是（　　）
A. 40 B. 45
C. 50 D. 55
解析：　经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2
250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋
25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1
800×（1＋50%），解得x＝50.
3. 某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平
方米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该
市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房
中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.
（1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年
为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？
解：设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是
等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋
×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，
所以n≥10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不
少于4 750万平方米.
（2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面
积的比例首次大于85%？
解：设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞
400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n
＝6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住
房面积的比例首次大于85%.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历
了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将
接近（　　）
A. 60万吨 B. 61万吨
C. 63万吨 D. 64万吨
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解析：　设年增长率为x，则2020年为：40（1＋x）10＝50，则
（1＋x）10＝ .2030年为：40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2＝
40× × ＝62.5≈63（万吨）.
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2. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距
的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋
元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中
的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图
所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一
“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（　　）
A. 55 B. 220
C. 285 D. 385
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解析：　“三角形数”的通项公式an＝ ，前n项和公式
为Sn＝1＋3＋6＋…＋ ＝ ＋ ＝
＋ ，当n＝10时，S10＝
＋ ＝220.故选B.
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3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度
的 再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2
时，下面说法正确的是（　　）
A. Sn＜500 B. Sn≤500
C. Sn的最小值为100 D. Sn的最大值为400
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解析：　由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的
再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数
列，公比q＝ ，首项为 ，所以该数列前n项和为 · ，
所以总路程Sn＝100＋ · ，n≥2，化简可得Sn＝500－
400× ，因为400 ＞0，所以Sn＜500.
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4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
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他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三
角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…
这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（　　）
A. 289 B. 1 024
C. 1 225 D. 1 378
解析：　三角形数组成的数列的通项公式an＝ ，正方形
数组成的数列的通项公式bn＝n2，验证知C项符合条件.
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5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今
三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天
比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十
天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（　　）
A. 30尺 B. 90尺
C. 150尺 D. 180尺
解析：　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，
其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝ ＝90，即共织布90尺.
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6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它
对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作
中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其
中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共
年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题
中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（　　）
A. 35 B. 32
C. 23 D. 38
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解析：　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数
列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋ d＝9a1－108＝207，解得a1
＝35.
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7. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分
钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机
后 　45 　分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）.
解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，
令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解
得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）.
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8. 某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多
写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一
天多写 个大字.
解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝
4，a3＝12，设公差为d，则d＝ ＝4.
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9. 有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时
投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时
间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.
如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收
割完这片土地上的小麦需要 小时.
解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，
a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且
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由②得 ＝24n，所以a1＋an＝48.　　③
将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦
需要40小时.
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10. 某人从1月起，每月第一天存入1 000元，到12月最后一天取出全
部本金及其利息，已知月利率是0.35%，应纳税率是20%，那么
实际取出多少钱？
解：1月存入款的利息：1 000×12×0.35%，
2月存入款的利息：1 000×11×0.35%，
…
11月存入款的利息：1 000×2×0.35%，
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12月存入款的利息：1 000×1×0.35%，
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和
S12＝1 000×12×0.35%＋1 000×11×0.35%＋…＋1
000×2×0.35%＋1 000×1×0.35%＝1 000×0.35%×（1＋2＋3
＋…＋12）＝1 000×0.35%× ＝273（元）.
应纳税273×20%＝54.6（元）.
实际取出1 000×12＋273－54.6＝12 218.4（元）.
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11. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是
按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38
石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮
食，则“衰分比”为（　　）
解析：　设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝
或q＝－ （舍去）.
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12. 甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根
据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为 （n2－n＋2），
乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多 .
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
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解：设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量
为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意，
得Sn＝ （n2－n＋2），bn－bn－1＝ （n≥2）.
∴a1＝S1＝p.
当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1），
∴an＝
∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1），
∴bn＝p＋ ＋…＋ ＝ p.
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（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售
量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业
收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出
现？试说明理由.
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解：∵an≥p，bn≥p，∴an＞ bn＞ bn，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，∵ an＞bn p（n－1）＞ p，
∴n＞11－ ，
则当n＝2，3时，经验证，n＜11－ ，
当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－ ＞10，
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∴n＜11－ ，
当n≥11且n∈N＋时，11－ ＜11，
∴必有n≥11，则n＞11－ ，
故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购.
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13. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月
份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每
天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采
取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k＋1（9≤k≤29，
k∈N＋）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
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解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，a1＝30，公差为50，
所以a9＝30＋50×（9－1）＝430，a10＝430－20＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1＋a2＋…＋
a9）＋a10＝ ＋410＝2 480（人）.
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（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11
940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天
的新感染者人数.
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解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n－20.
当k＋1≤n≤30时，an＝（50k－20）－20（n－k）＝－
20n＋70k－20，
因为这30天内的新感染者总人数为11 940人，所以
＋ ＝11 940，
得－35k2＋2 135k－ 9 900＝11 940，即k2－61k＋624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13－20＝630.
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
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14. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累
积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝ （21n－n2－5）（n＝
1，2，…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的
月份是（　　）
A. 5月、6月 B. 6月、7月
C. 7月、8月 D. 8月、9月
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解析：　第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝ （21n－n2－
5）－ [21（n－1）－（n－1）2－5]＝ ；令
＞1.5，即n2－15n＋54＜0，解得6＜n＜9.
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15. 如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大
堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点
正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不
断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木
露在外面的面积之和为Sn，求Sn.
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解：最底层正方体的棱长为1，
则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5；
倒数第2个正方体的棱长为1× ＝ ，
它的侧面积为4× ＝4× ，
倒数第3个正方体的棱长为 × ＝ .
它的侧面积为4× ＝4× ；
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倒数第n个小正方体的棱长为 ，
它的侧面积为4× ＝4× ，
则Sn＝5＋4×［ ＋ ＋ ＋…＋ ］＝5＋
4× ＝9－ ＝9－ .
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