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小结与复习
第 18 章 勾股定理
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，
那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2. 勾股定理的应用条件
一、勾股定理
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2 = c2 - b2，b2 = c2 - a2，
A
B
C
c
a
b
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB
于 D，AC = 20，BC = 15.
（1）求 AB 的长；（2）求 BD 的长．
解:（1）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB = 90°，
（2）方法一：∵ S△ABC = AC BC = AB CD，
∴ 20×15 = 25CD，解得 CD = 12．
∴ 在 Rt△BCD 中，
考点一 勾股定理及其应用
方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x.
解得 x = 9. 即BD = 9.
方法总结 对于类似本题的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示方法来求解；若是同本题 (2) 中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 　 （　 ）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
A
3. 一直角三角形的三边长分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为________.
2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____．
13 或 5
13
针对训练
4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ a + b = 14，
∴ (a + b)2 = 196.
又∵ a2 + b2 = c2 = 100，
∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96．
∴ △ABC 的面积为 ab = 24．
例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设水池的水深 AC 为 x 尺，
则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺．
在 Rt△ABC 中，BC = 5 尺，
由勾股定理得 BC2 + AC2 = AB2,
即 52 + x2 = (x + 1)2，
25 + x2 = x2 + 2x + 1，
2x = 24，
∴ x = 12，x + 1 = 13.
答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺.
D
B
C
A
例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式：
①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1 面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展开成平面图形如下：
解： 在 Rt△ABC1 中，
在 Rt△ACC1 中，
在 Rt△AB1C1 中，
∴沿路径 走路线最短，最短路线长为5.
化折为直：长方体中求表面上两点之间的最短路径，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，路径最短.
5. 现有一长 5 米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是 3 米，则梯子可以到达建筑物的高度是____米．
4
针对训练
方法总结
在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，
∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43.
∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4．
答：卡车可以通过，但要小心．
解：过半圆的圆心 O，作直径的垂线交地面于点 D，在地面取点 C，使 CD＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于点 B ，交半圆于点 A，连接 OA.
6. 如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
7. 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.
（1）此时快艇航行了多少米(即 AB 的长)？
解：根据题意得∠AOC = 30°，
∠COB = 45°，AO = 1000 米，
∴ AC = 500 米，BC = OC.
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得
∴ BC = OC =
北
东
O
A
B
60°
45°
C
（2）此时快艇距离哨所多少米 (即 OB 的长) ？
解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得
北
东
O
A
B
60°
45°
C
例4 在 △ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b， ，2c - b = 12，求 △ABC 的面积．
解：由题意可设 a = 3k，则 b = 4k，c = 5k．
∵ 2c - b = 12， ∴ 10k - 4k = 12．∴k = 2．
∴ a = 6，b = 8，c = 10．
∵ 62 + 82 = 102，∴ a2 + b2 = c2．
∴ △ABC 为直角三角形．
∴ △ABC 的面积为 ×6×8 = 24．
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例5 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的路程为 BM = 16 n mile，
乙船航行的路程为 BP = 30 n mile．
∵ 162 + 302 = 1156，342 =1156，
∴ BM2 + BP2 = MP2．
∴ △MBP为直角三角形，且∠MBP = 90°．
∴ 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的．
8. 下列各组数中，是勾股数的为 （ ）
A．1，2，3 B．4，5，6
C．3，4，5 D．7，8，9
9. 已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形网格的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2) (4)
C
针对训练
10. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 与∠BCD 的关系，并加以证明．
解：猜想∠BAD + ∠BCD = 180°．
证明如下：连接AC.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
∴ AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠D = 90°．
∵∠DAB +∠B +∠BCD +∠D = 360°，
∴∠BAD +∠BCD = 180°．
考点三 勾股定理与折叠问题
例6 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，求 △ABE 的面积.
解：由折叠可知 ED = BE.
设 AE = x cm，则 ED = BE = (9 - x) cm．
在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2，
∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4.
∴△ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2).
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解．
11. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，则 CD 的长为 ．
1.75 cm
针对训练
考点四 本章解题思想方法
方程思想
例7 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 试求 △ABC 的面积．
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2．
设 DC = x，则 BD = 9 + x．
故 172 - (9+x)2 = 102 - x2，解得 x = 6.
∴AD2 = AC2 CD2 = 64．∴ AD = 8.
∴S△ABC = ×9×8 = 36．
解：当高 AD 在 △ABC 内部时，如图①.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得
BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴ BD＝16.
在 Rt△ACD 中，由勾股定理得
CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴ CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25．
∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60．
例8 在 △ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD＝12，求 △ABC 的周长．
分类讨论思想
归纳 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如本题中，易忽视高 AD 在△ABC 外的情形．
当高 AD 在 △ABC 外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴ BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC 的周长为 60 或 42.
例9 有一圆柱体高为 8 cm，底面圆的半径为 2 cm，如图. 在 AA1 上的点 Q 处有一只蜘蛛，QA1 = 3 cm，在 BB1 上的点 P 处有粘住了一只苍蝇，PB = 2 cm. 求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长 (π 取 3).
解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP.
则 PM = 8 - 3 - 2 = 3 (cm)，
QM = A1B1 = ×2×π×2= 6 (cm)．
在 Rt△QMP 中，由勾股定理得
答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm．
转化思想
勾股定理　
直角三角形边
长的数量关系　　
勾股定理
的逆定理　　
直角三角
形的判定　　
互逆定理

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