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18.1 勾股定理
第 2 课时 勾股定理的应用
第 18 章 勾股定理
学习目标
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点)
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. (难点)
1.什么是勾股定理
2.勾股定理有哪些公式变形
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
( a、b、c 为正数 )
公式变形：
勾股定理的简单实际应用
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图. 已知该消防车高 3 m ，将云梯伸长到 10 m ，在成功救出位于 9 m 高处的受困人后，还要救援位于 12 m 高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 ( 精确到0.1m )
1
解 如图，设 A 是云梯的下端点， AB 是伸长到10 m 后的云梯， B 是第一次救人的地点， D 是第二次救人的地点， 过点 A 的水平线与楼房 ED 的交点为 O .
则 OB = 9 - 3 = 6 (m)，OD = 12 - 3 = 9 (m).
根据勾股定理，得
AO2 = AB2 - OB2 = 102 - 62 = 64.
则 AO = 8 m .
设 AC = x m，则 OC = ( 8 - x ) m.
根据勾股定理，得 OC2 + OD2 = CD 2，
即 ( 8 - x )2 + 92 = 102.
解方程，得 x1≈12.4，x2≈3.6.
∵AC < AO < AB，
∴ x1 不合题意.
∴ x≈3.6.
答:这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约 3.6 m.
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2 m
1 m
A
B
D
C
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5，
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，
所以木板能从门框内通过.
典例精析
1. 湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( )
A
B
C
A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米
130
120

A
练一练
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得
∴ 这条“近路”的长为 5 米.
C
A
B
2. 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.
(1) 求这条“近路”的长；
(2) 他们仅仅少走了几步 (假设 2 步为 1 米)？
别踩我,我怕疼!
(2) 他们仅仅少走了
(3 + 4 - 5)×2 = 4 (步).
A
B
D
C
O
解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1，
∴ OB = 1.
在Rt△COD 中，根据勾股定理得
OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15.
∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，
梯子底端并不是外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m.
例3 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗
例4 我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高 1 尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长. (注:尺为当时的长度单位)
武英殿聚珍版《九章算术》
分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所
示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
A
B
B'
1 尺
5尺
C
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，
52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
解得 x = 12.
答：水池的水深 12 尺.
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
建构
利用
决解
知识要点
例5 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离.
A
2
1
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB.
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
∴ A，B 两点间的距离为 5.
利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL”
2
方法总结：两点间的距离公式：一般地，设平面上有任意两点
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (HL)．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
　　已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =
∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′ ．
　　求证：△ABC≌△A′B′C′．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∠C =∠C′ = 90°，
根据勾股定理得
A
B
C
A
B
C′
′
′
C
B
A
问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？
利用勾股定理求最短距离
3
A
B
蚂蚁从 A→B 的路线
问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？
B
A
将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线.
若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例6 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子 ，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离.
AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得
即梯子最短需 13 米.
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
B
牛奶盒
A
【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路程吗？
6 cm
8 cm
10 cm
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 =102 + (6 + 8)2 = 296，
AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320，
AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360，
解：由题意知有三种展开方法，
如图.
∴ AB1＜AB2＜AB3.
∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为 AB1，长为 .
8
6
6
10
8
由勾股定理得
1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是 ( )
A. 24 m B. 12 m C. m D. m
D
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.
10
2. 如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这支铅笔的长度可能是 (　　)
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
D
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵
的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
A
B
C
解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.
由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)，
答：小鸟至少飞行 10 米.
5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图，连接 AB.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得
AB2 = BC2＋AC2 = 552＋482 = 5329 = 732.
∴ AB = 73 cm.
6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为 108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？
能力提升：
解：如右下图，在 Rt△ABC 中，
AC＝36 cm，BC＝108÷4 ＝27 (cm)．
由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2 ＝362＋272＝2025＝452.
∴ AB＝45 cm.
∴ 整个油纸的长为 45×4＝180 (cm)．
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及最短路径问题
解决“HL”判定方法论证全等的正确性问题

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