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18.1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
第 18 章 勾股定理
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点)
2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点)
学习目标
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解。
勾股定理
如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中， Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以 △ ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1 ，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积.
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
勾股定理的认识及验证
1
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
1.观察图 (1) ，并填写：
S1 = _____ 个单位面积；
S2 = _____ 个单位面积；
S3 = _____ 个单位面积。
2.观察图 (2) ，并填写：
S1 = _____ 个单位面积；
S2 = _____ 个单位面积；
S3 = _____ 个单位面积。
9
9
18
9
16
25
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
3. 图 (1) ， (2) 中三个正方形面积之间有怎样的关系 用它们的边长 a ，b，c 表示：
a2 + b2 = c2
4. 如图，在几何绘图软件中任意画一个 Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 度量△ABC 的三边长 a ，b，c，猜想 a ，b ，c 有怎样的关系。
GGB 验证猜想
猜想 a2 + b2 = c2
猜想 如图，在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a ，AC = b ，则 a2 + b2 = c2.
a
b
c
A
B
C
a
b
H
G
E
F
a
b
c
c
c
c
b
b
a
a
C1
A1
B1
D1
证明 取 4 个与 Rt △ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如上图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH .
由题意得 A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c .
因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°，
∠A1B1E = ∠D1A1H，
所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°，
∠D1A1B1 = 90°.
同理：∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°.
则四边形 A1B1C1D1，是边长为 c 的正方形.
分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1，的面积为 S正方形EFGH 和 ，
化简，得 a2 +b2 = c2.
则 S正方形EFGH - 4S△ABC =
即 ( a +b )2 - 4× ab = c2.
在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理。
（a、b、c 为正数）
勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
公式变形：
a
b
c
知识要点
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
勾
股
勾2 + 股2 = 弦2
数学小历史
上面的动图形象地验证了勾股定理，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！
定理验证
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧。
a
b
c
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形。
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧。
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab,
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”。
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得：
欧几里得证明勾股定理
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入图
拓展知识
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ ABC 中，两直角边 AC = 5，
BC = 12.求：(1) AB 的长；
(2) 斜边上的高 CD 的长。
解 (1) 在Rt△ ABC 中，
AB 2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169 . 则 AB = 13.
(2) ∵ S△ABC = AC×BC = AB×CD ,
∴
2
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
(1)设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
(2) ∠A = 30°，b = 15，
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152，
解得
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
【变式题2】在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长。
解：由于斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解。
根据标注的面积，求下图中未知边长 x，y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2， 解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
练一练
1. 下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2. 图中阴影部分是一个正方形，
则此正方形的面积为 cm .
8 cm
10 cm
36
3. 在△ABC 中，∠C = 90°.
（1）若 a = 15，b = 8，则 c = ；
（2）若 c = 13，b = 12，则 a = .
4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长
为___________.
17
5
2 或 10
5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角
形的面积。
解：设另一条直角边长是 x cm.
由勾股定理得 152 + x2 = 172，
即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64，
解得 x = ±8（负值舍去）.
所以另一直角边长为 8 cm.
直角三角形的面积是
(cm2).
6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1，求△ABC 的周长。
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°。
在 Rt△ADB 中，∵∠B +∠BAD = 90°，∠B = 45°，
∴∠B =∠BAD = 45°.
∴ BD = AD = 1. ∴ AB = .
在 Rt△ADC 中，∵∠C = 30°，
∴ AC = 2AD = 2.
∴ CD = . ∴ BC = BD + CD = 1 + .
∴△ABC 的周长为 AB + AC + BC = .
解：∵ AE＝BE，
∴ S△ABE= AE·BE= AE2.
又∵ AE2＋BE2＝AB2，∴ 2AE2＝AB2.
∴ S△ABE= AB2 = .
同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.
又∵ AC2＋BC2 ＝ AB2，
∴ 阴影部分的面积为 AB2＝ .
7. 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边 AB＝3，求△ABE 及阴影部分的面积。
能力提升：
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有
a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论

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