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18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
第 18 章 勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点)
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点)
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
b
c
a
问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c＝5
c＝6.5
c＝8.5
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为 3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 8，15，17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
1
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′ 　　
？
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2.
求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2.
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
知识要点
例1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a = 7，b = 24，c = 25； (2) a = 7，b = 8，c = 11.
解 (1) ∵ 72 + 242 = 252，∴ a2 + b2 = c2 .
△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角 .
(2) ∵ 最大边是 c = 11，c2 = 121，a2 + b2 = 72+82 = 113，
∴ a2 + b2≠c2. ∴ △ABC 不是直角三角形.
典例精析
【变式题1】若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断△ABC 的形状.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
归纳 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是不是直角三角形. 如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰直角三角形.
【变式题2】(1) 若△ABC 的三边 a，b，c，且 a + b = 4， ab = 1，c = ，试说明 △ABC 是直角三角形.
解：∵ a + b = 4，ab = 1，
∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14.
又∵ c2 = 14，
∴ a2 + b2 = c2.
∴ △ABC 是直角三角形.
(2) 若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0，
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5.
则有 a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.
例2 如图，在正方形ABCD中，F 是 CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：
设正方形的边长为 4a，
则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；
在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；
在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
∴ 在 △AEF 中，AE2＝EF2＋AF2．
∴ △AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边．
∴ ∠AFE＝90°，即AF⊥EF．
1. 下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是 (　 )
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角
形最长边上的高是 ( )
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，
则△ABC 是________________________.
等腰三角形或直角三角形
练一练
勾股数
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数
概念学习
注意 一组勾股数，都扩大相同的倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数.
2
4.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于较小两数的平方和即可.
练一练
1. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 3，4，7 B. 5，12，13
C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到
的三角形 ( )
A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
B
A
3. 已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式
，则 △ABC 的形状是
________________．
等腰直角三角形
4. 一个三角形的三边长分别为 15 cm、20 cm、25 cm，
则这个三角形最长边上的高是_____cm.
12
5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，
AC = 10，AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积.
∴△ABC 是直角三角形且∠B 是直角.
∴△ADC 是直角三角形且∠D 是直角.
∴ S四边形ABCD =
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是不是直角形三角形
如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
注意
最长边不一定是 c，直角也不一定是∠C
勾股数一定是正整数组

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