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2026 年中考数学模拟冲刺卷（一）
一．选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，请按答题卷中的要求作答）
1．下列各数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．数据统计显示，小学一年级入学人数达 23 万人，创历史最高峰．数据 23 万用科学记数法表示为（ ）
A．23×104 B．2.3×104 C．2.3×105 D．0.23×106
3．下列计算结果为 a6 的是（ ）
A．a3+a3 B．a3 a2 C．（﹣a2）3 D．a3 a3
4．下列事件是随机事件的是（ ）
A．通常温度降到 0℃以下，纯净的水结冰
B．从地面发射 1 枚导弹，击中空中目标
C．任意画一个三角形，其内角和是 360°
D．太阳从东方升起
5．在正比例函数 y＝mx 中，函数 y 的值随 x 的值增大而减小，则点 Q（m，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠D＝50°，则∠B 的度数是（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
7．某工厂今年 1 月份的产值为 25 万元，2 月份和 3 月份的总产值为 62 万元．若设平均每月增长的百分率
为 x，则列出的方程为（ ）
A．25（1+x）＝62
B．25（1+x）×2＝62
C．25（1+x）2＝62
D．25（1+x）+25（1+x）2＝62
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8．如图，将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转一定角度得到△ADE，使点 B 落在 DE 边上，此时恰好 BC∥AD，
已知∠E＝30°，则∠BAE 为（ ）
A．35° B．25° C．20° D．30°
9．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3）与 x 轴的一个交点 B
（4，0）．有下列结论：①2a+b＝0；②abc＝0；③方程 ax2+bx+c＝0 有两个不等的实数根；④当 y＝0
时，2﹣x＝4．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
10．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
11．如图，是设计师巧妙地在花园边上设计的供游客休息半圆形座椅，根据图中标示的尺寸，可知座椅（图
中阴影部分）的面积为 ．（结果用含π的式子表示）
12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关
系．如表，则 m＝ ．
R/Ω … 4 6 8 …
I/A … 9 6 m …
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13．已知一元二次方程 4x2﹣5x+1＝0 的两个实数根为 x1，x2，则 x1+x2﹣x1x2 的值为 ．
14．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AD＝2，DE＝1．则 AB 的
长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2），B（0，
3），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为 ．
三．解答题（本大题共 8 小题，共 90 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12 分）先化简，再求值：（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x（x+y），其中 x＝（3﹣π）0，y＝3．
17．（12 分）如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
18．（10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
（1）作出∠ABC 的角平分线 BE，交 AD 与 E；在线段 BC 上截取 BF＝BA，连接 EF．（要求：尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所做的图中，判断四边形 ABFE 的形状，并说出理由．
19．（12 分）为了贯彻“减负增效“精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了
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九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图
1，图 2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人．
（2）将图 1 条形统计图补充完整．
（3）求出所抽取的数据的自主学习时间的众数和中位数．
（4）老师从自主学习效果较好的 4 位同学（分别记为 A、B、C、D）随机选择两位进行学习经验交流，
请用列表法或树状图的方法求出同时选中 A，B 两位同学的概率．
20．（10 分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾
稻”轮作模式．某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾 稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润
为 32 元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本
下降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得的利润为 30 元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）已知今年的水稻种植成本为 600 元/亩，稻谷的售价为 2.5 元/kg，且每亩农田收获的稻谷的产量比
每亩农田收获的小龙虾的产量的 6 倍还多 40kg．若该农户今年可获得“虾 稻”轮作的纯收入为 8 万元，
则他家今年每亩农田收获的稻谷和小龙虾的产量分别为多少千克？
21．（10 分）如图，台风中心位于点 P，并沿北偏东 45°方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 千米/
时，受影响区域的半径为 200 千米，A 市位于点 P 的北偏东 75°方向上，距离点 P240 千米处．
（1）说明本次台风会影响 A 市；
（2）求这次台风影响 A 市的时间．
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22．（11 分）如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，其中 BD 平分∠ADC，点 E 是 BD 上满足∠BAE＝∠
CBD 的一点．
（1）若 ，求 的值；
（2）F 是 DE 上的一点，且满足∠FCD+∠ECD＝180°，若 AD＝tCD（2≤t≤3），FD＝t﹣a，求线段
DE 长度的最大值（用 a 表示）．
23．（13 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，AE 与 BF 交于点 P．
（1）【特例感知】如图（a），若四边形 ABCD 是正方形，当∠APB＝∠D 时，则线段 AE 与 BF 的数量
关系是 ．
（2）【深入探究】如图（b），若四边形 ABCD 是菱形，且∠APB＝∠D，则线段 AE 与 BF 满足怎样的
数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二
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如图，在 BC 边上取一点 M 使 AM＝AB，…… 如图，在 CB 的延长线上取一点 N，使 AN
＝AE，…
（3）【类比迁移】如图（c），若四边形 ABCD 是菱形，E 为 BC 的中点，∠APB＝∠C＝60°，请求出
的值．
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参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C． D B B D D D B
二．填空题
10．x＞3．
11． ．
12．4.5．
13．1．
14． ．
15． ．
三．解答题
16．解：原式＝x2﹣2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2﹣2xy
＝﹣4xy，
把 x＝（3﹣π）0＝1，y＝3 代入上式得：
原式＝﹣4×1×3
＝﹣12．
17．证明：由条件可得 AC＝DF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
18．（1）解：利用基本作图作∠ABC 的角平分线，再以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画圆，和 BC
交于 F，如图所示，BE 就是所求的∠ABC 的角平分线．
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（2）证明：四边形 ABFE 为菱形．
理由如下：∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BF＝BA
∴AE＝BF，
∴四边形 ABFE 为平行四边形，
∵BF＝BA，
∴四边形 ABFE 为菱形．
19．解：（1）∵每天自主学习 1 小时的有 12 人，占本次调查的学生人数的 30%，
∴本次调查的学生人数为 12÷30%＝40（人）；
故答案为：40；
（2）自主学习的时间是 1.5 小时的人数有：40×35%＝14（人），
补全统计图如下：
（3）∵40 个数据中 1.5 出现的次数最多，
∴众数是 1.5 小时；
∵40 个数据从小大大排序后最中间的两个数是 1.5 和 1.5，
∴中位数是（1.5+1.5）÷2＝1.5 小时；
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（4）根据题意画出树状图如下：
共 12 种等可能的结果，其中选中 A，B 两位同学的有 2 种，
∴选中 A，B 两位同学的概率为 ．
20．解：（1）设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克 x 元，y 元，
由题意得 ，
解得 ，
答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克 8 元，40 元．
（2）设他家今年每亩农田收获的稻谷 m 千克，小龙虾的产量每亩为 n 千克，
根据题意得： ，
解得： ，
答：他家今年每亩农田收获的稻谷 640 千克，小龙虾的产量每亩为 100 千克．
21．解：（1）如图，作 AD⊥PQ 于点 D．
由题意可得：∠NPQ＝45°，∠NPA＝75°，
∴∠APD＝75°﹣45°＝30°，
∴ ，
∴本次台风会影响 A 市．
（2）如图，当 AT＝AK＝200 时，A 市受到影响的路程为 TK 的长度，
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∵AD⊥PQ，
∴TD＝KD，
∴ 160（千米），
∴KT＝320（千米），
∴这次台风影响 A 市的时间为 （小时）．
22．解：（1）连接 AC，
∵BD 平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠BAC，∠ADB＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAE＝∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD＝∠BCA，
即△EAD 是等腰三角形．
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
过 E 作 EH⊥AD，
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∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）方法一：延长 DC 到点 Q，使得 DQ＝DA，连接 EQ，
在△EAD 和△EQD 中，
，
∴△EAD≌△EQD（SAS）．
∴∠EAD＝∠Q，
由知（1）∠EAD＝∠EDC，
∴∠Q＝∠EAD＝∠FDC，
∵∠ECD+∠FCD＝180°，∠ECD+∠ECQ＝180°，
∴∠FCD＝∠ECQ，
∴△FCD∽△ECQ．
∵AD＝DQ＝tCD，
∴ ，
∴ ，
∵FD＝t﹣a，
∴DE＝（t﹣1）FD＝（t﹣a）（t﹣1），
∵t﹣a＞0，
∴a＜t≤3，
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∴对称轴 ，
即线段 DE 在 2≤t≤3 随着 t 的增大而增大，
当 t＝3 时（ED）max＝6﹣2a．
方法二：在 AD 上截取 AM，使 AM＝CD，连接 EM，
∵AE＝ED，∠EAM＝∠EDC，AM＝CD，
∴△AEM≌△DEC（SAS），
∴∠ECD＝∠AME，
过 F 作 FN∥EM，
∴∠EMD＝∠FND，
∵∠ECD+∠FCD＝180°，∠AME+∠EMD＝180°，
∴∠EMD＝∠FCD＝∠FND，
∴△FND≌△FCD（AAS），
∴CD＝ND＝AM，
（后面的做法和方法一相同）．
23．解：（1）【特例感知】当四边形 ABCD 是正方形，∠APB＝∠D＝90°，
∴∠BAP+∠ABP＝∠ABP+∠EBP＝90°，
∴∠BAP＝∠EBP，
又∵AB＝BC，∠ABC＝∠C，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
（2）【深入探究】AE＝BF；
证明：思路一：四边形 ABCD 是菱形，且∠APB＝∠D，如图 1，在 BC 上取一点 M，使 AB＝AM，则
∠ABM＝∠AMB，
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∴AB∥CD，AB＝BC＝AM，∠ABM+∠C＝180°，∠D＝∠ABE，
∵∠AME+∠AMB＝180°，∠ABM+∠C＝180°，
∴∠AME＝∠C，
∵∠APB＝∠D＝∠ABM＝∠AMB，
∴∠FBC＝∠APB﹣∠AEM＝∠AMB﹣∠AEM＝∠EAM，
在△AEM 和△BFC 中，
，
∴△AEM≌△BFC（ASA），
∴AE＝BF；
思路二：四边形 ABCD 是菱形，且∠APB＝∠D，如图 2，在 CB 延长线上取点 N，使 AN＝AE，则∠ANB
＝∠AEB，
∴∠ABC+∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠C，
又∵∠BAN＝∠ABC﹣∠ANB，∠APB﹣∠AEB＝∠CBF，且∠APB＝∠D＝∠ABC，
∴∠BAN＝∠CBF，
在△ABN 和△BCF 中，
，
∴△ABN≌△BCF（ASA），
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∴AN＝BF，
∴AE＝BF；
（3）【类比迁移】如图 c，延长 AB，使 BG＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠GBC＝∠C＝60°，
∴△BGE 是等边三角形，
∴∠G＝60°， ，
∵∠BAE+∠BEA＝∠GBC，∠PBE+∠BEP＝∠APB，∠APB＝∠C＝60°，
∴∠BAE＝∠PBE，
在△EAG 和△FBC 中，∠GAE＝∠CBF，∠G＝∠C，
∴△EAG∽△FBC，
∴ ．
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