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小结与复习
第 19 章 四边形
一、多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
二、平行四边形的性质
对角线互
相平分
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
B
C
D
A
O
两条平行线之间的距离处处相等
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD = BC，AB = DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB = DC，AB∥DC，
三、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OC，OB = OD，
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD∥BC，AB∥DC，
B
C
D
A
O
1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
四、三角形的中位线
用符号语言表示：
∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
E
A
B
C
D
对边 角 对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
五、矩形、菱形、正方形的性质
条件
①定义：有一个角是直角的平行四边形.
②定理1：对角线相等的平行四边形.
③定理2：三个角是直角的四边形.
①定义：一组邻边相等的平行四边形.
②定理1：四条边都相等的四边形.
③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.
①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.
②有一组邻边相等的矩形.
③有一个角是直角的菱形.
六、矩形、菱形、正方形的判定方法
考点一 多边形的内角和与外角和
例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的每个外角的度数为 x，则每个相邻内角的度数为 4x.
则有 x + 4x = 180°，解得 x = 36°.
∴ 这个多边形的边数为 360°÷36° = 10.
1. 一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是 .
6
【解析】因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6.
在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列方程求解.
针对训练
考点二 平行四边形的性质
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD
C．AB = CD D．AC = BC
【解析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得出 A、B、C 项正确，不能推得 AC = BC.
D
方法归纳：本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等的性质.
2. 如图， ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = CE.
证明：在 ABCD 中，∠B =∠D，
AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD.
∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，
∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD，
∴∠EAB = ∠FCD.
针对训练
在△ABE 和△CDF 中，
又 AD = BC，∴ AF = CE．
∴△ABE≌△CDF.
∴ BE = DF．
例3 如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，
∴ OA = OC = AC = 5 cm，OB = OD = BD = 3 cm，
∵∠ODA = 90°，
∴ AD = = 4 cm．
A
主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，解题时还要注意勾股定理的应用.
归纳总结
【解析】在 ABCD 中，∵ AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，
∴ AO = 12 cm，BO = 19 cm，BC = AD = 28 cm.
∴ △BOC 的周长是 12 + 19 + 28 = 59 (cm).
3. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（ 　）
A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm
B
B
C
D
A
O
针对训练
考点三 平行四边形的判定
例4 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD = BC
D．AB = CD，AO = CO
D
B
C
D
A
O
平行四边形的判定方法：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳总结
4. 如图，点 D、C 在 BF 上，AC∥DE，∠A =∠E，BD = CF.
（1）求证：AB = EF；
证明：∵ AC∥DE，∴∠ACB =∠EDF.
∵ BD = CF，
∴ BD + DC = CF + DC，即 BC = DF.
又∵∠A =∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）.
∴ AB = EF.
针对训练
（2）连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并说明理由．
解：四边形 ABEF 为平行四边形.
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠ABF =∠EFB.
∴ AB∥EF.
又∵ AB = EF，
∴四边形 ABEF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
考点四 三角形的中位线
例5 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点. 求证： .
证明：过点 D 作 DH∥BF，交 AC 于点 H.
∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ D 是 BC 的中点.
∴ CH = HF = CF.
∵ E 是 AD 的中点，EF∥DH，
∴ AF = FH.
∴ AF = FC.
A
B
C
D
E
F
H
5. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿.
解析：设三条中位线的长分别为 6x cm，5x cm，4x cm，
则三角形的三条边长分别为 12x cm，10x cm，8x cm，
依题意有 12x＋10x＋8x = 60，
解得 x = 2.
所以最长边长为 12x = 24 (cm).
24 cm
针对训练
例6 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，
∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD (矩形的对角线相等)，
OA = OC = AC，OB = OD = BD
(矩形对角线相互平分).
∴ OA = OD.
A
B
C
D
O
考点五 矩形的性质和判定
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.
又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)，
∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
A
B
C
D
O
6. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°.
∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
针对训练
∴□ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
AB2 + BC2 = AC2，
∴ BC = .
∴ S□ABCD = AB·BC = 4× = .
A
B
C
D
O
7. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：
∵ BE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 CEBO 是平行四边形.
在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°.
∴ 四边形 CEBO 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
D
A
B
C
E
O
例7 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分).
又∵∠BAD = 60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴ AB = BD = 6，
A
B
C
O
D
考点六 菱形的性质和判定
证明：在 △AOB 中，
∵ AB = ，OA = 2，OB = 1.
∴ AB2 = AO2 + OB2.
∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴ AC⊥BD.
∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
8. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证： □ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
针对训练
9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.
A
B
C
D
E
F
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形.
则 S□ABCD = AD · CF = AB ·CE.
由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例8 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC = DC，∠BCE = 90°
（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180° -∠BCE = 180° - 90° = 90°.
A
B
D
C
F
E
考点七 正方形的性质和判定
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，∴△BCE≌△DCF (SAS).
∴ BE = DF，∠CBE =∠CDF.
延长 BE 交 DE 于点 M.
∵∠CDF +∠F = 90°，
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，即 BE⊥DF.
综上可知，BE = DF，且 BE⊥DF.
M
A
B
D
C
F
E
10. 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形 BECF 是正方形.
解析：先由两组平行线得出四边形 BECF 是平行四边形；再由邻边相等，得出平行四边形 BECF 是菱形；最后由一个角是直角可得菱形 BECF 是正方形.
F
A
B
E
C
D
针对训练
证明：∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠DCB = 90°.
∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠ DCB，
∴∠EBC =∠ECB = 45°.
∴ EB = EC.
∴ □ BECF 是菱形.
又∠BEC = 90°，
∴ 菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形).
F
A
B
E
C
D
45°
45°
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
(n - 2)×180° (n≥3 且取整数)
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关
正多边形
内角= ，外角=
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判定
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平 行 四 边 形
三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
特殊四边形之间的转化
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）

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