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19.2 平行四边形
第 2 课时 平行四边形对角线的性质
第 19 章 四边形
学习目标
1. 探索并掌握平行四边形对角线性质; (重点)
2. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
分享蛋糕的故事
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，设它们
相交于点 O.
猜想 OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
OA = OC ，OB = OD.
A
B
C
D
O
平行四边形的对角线的性质
1
A
B
C
D
O
量一量 拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确．
这个方法准确吗？
验一验
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
已知: 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，求证: OB = OD，OA = OC.
证明 在 □ ABCD 中，
AB∥DC，AB∥CD .
∴ ∠OAB = ∠OCD，
∠OBA = ∠ODC .
∴ △ OAB ≌ △OCD .
∴ OB =OD ，OA = OC .
A
C
D
B
O
证一证
A
C
D
B
O
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
归纳总结
1. △ABO ≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ABD ≌ △CDB，
△ABC ≌ △CDA；
2. △ABO、△AOD、△DOC、△COB 的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
A
C
D
B
O
归纳总结
A
C
D
B
O
●
四块蛋糕谁大谁小呢？
其实四块蛋糕是一样大的．
例1 如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于
点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠ABC = 90°.
∴ AO = AC = 2.
∴ BD = 2BO =
典例精析
∴ BC = AD = 5，AO = AC，BD = 2BO．
例2 在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，
则 m 的取值范围是 ( )
B
C
D
A
O
C
A. 24 < m < 39 B. 14 < m < 62
C. 7 < m < 31 D. 7 < m < 12
例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线与 AD，BC 分别相交于点 E、F，求证：OE = OF.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO = BO，AD∥BC.
∴∠ODE =∠OBF.
∴△DOE≌△BOF.
∴ OE = OF.
∵∠DOE =∠BOF，
思考1 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
思考2 上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至其他位置，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
过平行四边形的对角线交点 O 作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，所截得的线段总以点 O 为中点，且这条直线平分平行四边形的面积．
归纳总结
如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线与 AD、BC 分别相交于点 E、F，已知 □ ABCD 的面积是 12 cm2，则图中阴影部分的面积是 .。
6 cm2
O
练一练
1. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC + BD = 16，CD = 6，则△ABO 的周长是（ ）
A. 10 B. 14
C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形
D
3. 如图，在□ ABCD 中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E，AB = 6，EF = 2，则 BC 的长为 .
10
A
B
C
D
E
F
4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴ △ABC 是直角三角形.
又∵ AC⊥BC，
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
又∵ OA = OC，
∴
∴
？
？
？
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE，DF. 求证：BE = DF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OB = OD，OA = OC.
∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点，
A
B
C
D
O
E
F
∴ △BEO≌△DFO (SAS).
∴ OE = OF.
又∵∠BOE =∠DOF，
∴ BE = DF.
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质

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