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19.2 平行四边形
第4课时 三角形的中位线
第 19 章 四边形
学习目标
1.理解中位线的概念和性质. (重点)
2.能够利用中位线解决相关问题. (重、难点)
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请
设计合理的解决方案；若平均分给四
个小朋友，要求他们所分的大小都相
同，请设计合理的解决方案．
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
三角形的中位线及其性质
问题1 □ABCD 的对角线交于点 O，过点 O 的直线交 BC 于点 E，交 AD 于点 F .
(1) 如图 ①，点 O 是线段 EF 的中点吗 说出你的理由.
A
B
D
C
O
F
E
①
1
(2) 如图②，若点 E 为边 BC 的中点，则线段 EF 与边 AB 有什么关系 说出你的理由。
A
B
D
C
O
F
E
②
思考 从图② 观察，在△ABC 中，线段 OE 在位置和长度上有何规律。
A
B
C
D
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
E
两层含义：
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
中位线
中点
知识要点
F
D
A
B
C
问题2 (1). 画出△ABC 中所有的中位线.
2. 画出三角形的所有中线，并说出中线和中位线的区别.
E
问题3 你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：将△ADE 绕 AC 边的中点 E 按顺时针方向旋转 180° 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的平行四边形 DBCF.
A
D
E
F
C
B
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猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
A
D
E
F
C
B
DE 和边 BC 的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE 是 BC 的一半
你能说明理由吗
例1 已知：如图，点 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，DE = BC.
E
A
B
C
D
F
证明：延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF.
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
典例精析
在△ADE 和 △CFE 中，
AE = CE，
∠AED =∠CEF，
DE = FE，
∴ DF∥BC，DF = BC.
∴ DE = BC.
∵EF = DE，
∴ CF∥AB.
又∵ AD = BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ CF = BD.
E
A
B
C
D
F
三角形中位线定理：
三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用数学语言表示
∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
A
B
C
D
E
归纳总结
【定理的理解】
(1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时，就要联想到三角形的中位线定理；
(2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系 (平行)，又可以得到线段的数量关系 (倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
三角形的中位线微课
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1. 如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °；若 MN = 12 ，则 BC 长为 .
A
M
B
C
N
61
24
A
D
B
C
E
2. 如右图，△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，当 BC = 10 cm 时，则 DE = cm.
5
练一练
解：S△DEF = S△ABC.
理由如下：由题意得 DE，DF，EF
是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB.
∴ 四边形 ADFE，BDEF，DECF 都是平行四边形.
3. 如图，D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，你能
发现△DEF 的面积与△ABC 的面积有什么关系吗？
●
●
●
A
B
C
D
E
F
∴ S△DEF = S△ADE = S△BDF = S△CEF.
∴ S△DEF = S△ABC.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC，BC = 3，点 D、E 分别是 BC ，AC 边上的中点，求线段 DE 的长.
解：在 Rt ABC 中，由勾股定理，得
AB2 + AC 2 = BC2 .
∵ AB = AC，BC = 3，
∴ 2AB2 = 18. ∴ AB = 3.
∵ 点 D，E 分别是 BC ，AC 边上的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线.
A
B
D
C
E
∴ DE = AB = ×3 = .
例3 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接 AC.
∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴ EF∥AC，
HG∥AC，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
1. 如图，EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF 的长为_____．
10
2. 如图，在△ABC 中，中线 CE、BF 相交于点 O，M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_____________.
平行且相等
3. 如图，A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？
A
B
C
若测得 MN = 360 m，则 AB = m.
M
N
解析：在 AB 外选一点 C，使 C 能
直接到达 A 和 B，连接 AC，BC；
分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N.
720
如果 M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
两次利用中位线，分别取 CM，CN 的中点并测量其距离.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D 是斜边 AB 的中点，E 是 BC 的中点.
（2）若 AB = 10，DE = 4，求△ABC 的面积.
（1）DE⊥BC 吗？为什么？
A
B
C
D
E
∴ DE∥AC.
∵ DE = 4，∴ AC = 8.
∵ AB = 10，AC = 8，∴ BC = 6.
∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，
∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴ DE⊥BC.
你能看懂吗？
趣味数学
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三角形中位线
定 义
连接三角形两边中点的
线段叫作三角形的中位线
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

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