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(共28张PPT)
19.3.2 菱形
第 1 课时 菱形的性质
第 19 章 四边形
学习目标
1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系，探索并证明菱形的性质定理. (重点)
2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. (难点)
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频：前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
有一个角是直角
菱形的性质
1
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频：
点击视频开始播放←
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边形数量
有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手
中的图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，
∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证明猜想 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
性质1 菱形的四条边相等.
性质2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
知识要点
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
典例精析
例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴ AE＝AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵ AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵ AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.
∴ AO＝BE.
例3 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
C
2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
第 1 题图
第 2 题图
6 cm
练一练
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= BD·AO + BD·CO
= BD·(AO + CO) = BD·AC = ab.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 已知某菱形的两条对角线长分别为 a ，b ，
求该菱形的面积，
菱形的面积
2
例5 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
菱形的面积计算有如下方法：
① 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积；
② 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
③ 两条对角线长度乘积的一半．
方法归纳
例6 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的
度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求：
(1) 两条对角线的长度；
(2) 菱形的面积．
解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC +∠BAD = 180°.
∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，
∴∠ABC = ×180° = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°.
∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm.
∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm.
∴ BD = 2OB = cm.
= ×2× = （cm2）.
(2) S菱形ABCD = AC BD
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于（ ）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，
那么它的边长是 ______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，
则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是______.
3 cm
30
A
B
C
O
D
5 cm
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角
线长为 11 cm，菱形的周长为_______.
44 cm
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2，
那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
A
B
C
O
D
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中
对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2) 菱形 ABCD 的面积为
∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD，CA 平分∠BCD．
∴∠BCE =∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE (SAS)．
∴∠CBE =∠CDE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD =∠EDC．
∴∠AFD =∠CBE．
A
D
C
B
F
E
6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD
＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作
BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E.
(1) 求 OC 的长；
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
在 Rt△OCD 中，
由勾股定理得 OC＝4 cm.
解：∵ CE∥DB，BE∥AC，
∴ 四边形 OBEC 为平行四边形.
又∵ AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴ 平行四边形 OBEC 为矩形.
∵ OB＝OD＝3 cm，
∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2).
6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD
＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作
BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E.
(2) 求四边形 OBEC 的面积．
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角

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