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19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
第 19 章 四边形
学习目标
1.理解平行四边形的定义及有关概念.
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质. (重、难点)
生活中，平行四边形无处不在，那么它有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！
活动1：如果将一个三角形的两边分别按如图的方式平移，会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
平行四边形边的相关概念
1
两组对边都
不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
平行四边形
活动2：观察图形，说出下列图形的对边有什么位置特征.
梯形
1. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2. 记作： ABCD；读作：平行四边形 ABCD.
几何语言：
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
3. 平行四边形中不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 如图中的 AC.
知识要点
找一找 从以下图形中找出平行四边形.
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
想一想：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
平行四边形边和角的性质
2
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形．
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴△ABC≌△CDA.
∴ AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC.
∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2 +∠3，
∴∠BAD =∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
证一证
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等(邻角互补)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
性质1
性质2
归纳总结
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分
∠ ABC 交 AD 于点 E .
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
解 (1) ∵ BE 平分 ∠ ABC，∴ ∠ABE = ∠EBC .
∵ AD // BC ，∴ ∠EBC =∠AEB .
∴ ∠ABE =∠AEB . ∴ AB = AE = 2.
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD = AB = 2.
A
B
C
D
E
典例精析
(2) 由 (1) 知∠ABE =∠AEB = 40°，
∴ ∠A = 180° - ( 40° + 40°) = 100°，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C = ∠A = 100°.
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E.
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
A
B
C
D
E
例2 如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线这三条直线两两相交，得△A'B'C'
求证: △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点 。
分析: 要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'
证明 ∵ AB∥B'C，BC∥AB'.
∴ 四边形 ABCB' 为平行四边形，
∴ AB' = BC .
同理：AC' = BC. ∴ AB' = AC.
同理：BC' = BA'，CA' = CB' .
∴ △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点
A
A'
B
C
B'
C'
D1
D3
D2
A
B
C
练一练：如图，学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
平行线之间的距离
探究 如图，直线 l1∥l2 ，AB，CD 是夹在直线 l1 和 l2 之间的两条平行线段. 由平行四边形的对边相等，可得 AB = CD .
则有如下结论:
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
3
如图，直线 l1∥l2 ，点 A，C 在直线 l1 上，若 AE ⊥l1 ，CF⊥l2，垂足分别为点 E，F. 则 AE = CF.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
因此，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，于是，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线之间的距离处处相等）.
a
b
A
B
C
D
归纳总结
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
例3 如图，在 ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠B = 45°，求直线 AD 和直线 BC 之间的距离，直线 AB 和直线 DC 之间的距离 .
解：过点 A 作 AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为点 E ，F.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 线段 AE 的长为直线 AD 和直线 BC 之间的距离，
线段 AF 的长为直线 AB 和直线 DC 之间的距离.
A
B
C
D
E
F
∵ 在 Rt△ABE 中，∠AEB = 90°，
∠B = 45°，AB = 4 .
∴∠B = ∠BAE，AE2 + BE2 = AB2.
∴ BE = AE . ∴ 2AE2 =16.
∴ AE = 2，同理： AF = .
∴ 直线 AD 和直线 BC 之间的距离为 2，
直线 AB 和直线 DC 之间的距离为 .
A
B
C
D
E
F
思考：若将夹在两平行线间的垂线段改为平行线段呢？它们是否相等呢？
由平行四边形的定义可知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的对边相等的性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
1. 如图，在 □ ABCD 中，
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____°，∠C =_____°，
∠D =_____°.
(2) 若∠A +∠C = 200°，则∠A =_____°，∠B =_____°.
(3) 若∠A :∠B = 5 : 4， 则∠C =_____°，∠D =_____°.
(4) 若 AB = 3，BC = 5，则它的周长为_____.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
100
80
16
2. 在□ ABCD 中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC = 10 cm.
(1) S□ ABCD = cm2；
提示：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，然后利用勾股定理求出高 AE 的值.
40
(2) 若点 P 是□ ABCD 的边 AD 上的任意一点，则△PBC 的面积是 cm2.
20
提示：△PBC 与□ ABCD 同底等高.
解：在 □ ABCD 中，AB = DC，AD = BC. (平行四边形的对边相等)
∵ AB = 8，∴ DC = 8.
又 AB + BC + DC + AD = 24，
∴ 2AD = 24 - 2AB = 8.
∴ AD = BC = 4.
3. 如图，在 ABCD 中，AB = 8，周长等于 24，求其余三条边的长.
B
C
D
A
4. 如图，已知 □ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 任作一条直线分别交 AD，CB 的延长线于点 E，F. 求证：OE = OF.
O
A
D
E
C
B
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，AE∥CF.
∴∠E =∠F.
∵∠EOC =∠FOC，
∴△AOE≌△COF.
∴ OE = OF.
5. 已知点 A (3，0)、B (-1，0)、C (0，2)，以 A、B、C 为顶点画平行四边形，第四个顶点 D 的坐标是多少？
（4，2）
（2，-2）
（-4，2）
O
3
-1
2
x
y
O
3
-1
2
x
y
O
3
-1
2
x
y
平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定义
边、角性质
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
夹在两条平行线间的平行线段处处相等

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