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19.1 多边形内角和
第 19 章 四边形
学习目标
1. 了解多边形及有关概念(边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形)；(重点)
2. 经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值；
3. 通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力； (难点)
4. 通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系.
高斯 “ 尺规作图 ” 正十七边形
问题1 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
多边形的认识
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
1
1. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 ( n 为不小于 3 的整数 )；
2. 组成多边形的线段叫作多边形的边。 相邻两边的公共端点叫作多边形的顶点；
3. 多边形中相邻两边组成的角叫作多边形的内角 ，简称多边形的角；
4. 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角.
知识要点
内角
顶点
边
外角
n 边形有 n 个顶点，
n 条边，n 个内角，2n 个外角．
问题2 我们应该如何表示多边形呢？
多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示。
上面三个多边形分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF .
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
问题4 观察下面两个图形，延长两个多边形的边，两个多边形有什么区别？
( 1 )
E
F
G
H
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形 ，而图 (2) 所示的图形就不是凸多边形.
A
C
B
D
( 2 )
多边形的对角线与内角和
探究 我们知道 ，三角形的内角和为 180°，下面来探讨多边形的内角和。
思考 四边形的内角和是多少度呢
(1) 如图 (1) ，连接 AC，能得到四边形 ABCD 的内角和吗
A
C
B
D
(1)
2
(2) 如图 (2) ，在四边形 ABCD 内任取一点 O，连接 OA，OB， OC，OD. 也能得到四边形 ABCD 的内角和吗
四边形的内角和等于 ______________ .
A
C
B
D
O
(2)
你还有其他方法得到四边形的内角和吗
证明方法
360°
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B ， ∠C ，∠D 的度数之比为 11 : 10 : 5 : 10 . 求四边形 ABCD
四个内角的度数.
解 设∠B = ∠D = ( 10x )°，
则 ∠A = (11x)°，∠C =(5x)°.
由题意，得 11x + 10x + 5x + 10x = 360.
解得 x = 10 .
故∠A，∠B，∠C，∠D 的度数分别为 110°，100°，50°，100°.
典例精析
A
B
C
D
E
定义：多边形中连接不相邻两个顶点的线段，
叫作多边形的对角线.
线段 AC 是五边形 ABCDE 的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
三角形
六边形
四边形
八边形
…
五边形
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n 边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n - 3
1
2
3
4
6
n - 2
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出的三角形个数
从多边形一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
（ n -2 ）·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
···
···
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n≥3) 边形共有对角线 条.
定理： n 边形 ( 为不小于 3 的整数 ) 的内角和等于
( n -2 ) × 180°。
归纳总结
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°.
例 2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n - 2) 180 = 360 + 720，解得 n = 8.
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
其内角和为 (8 - 2)×180° = 1080°，
∴ 它每一个内角的度数为 1080°÷8 = 135°．
典例精析
多边形的外角和
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的外角和.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
3
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的
内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180° = 900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°.
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
n 边形的外角和
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2)×180°
= 360°.
= n 个平角和－n 边形的内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
定义：
多边形中，各个角都相等，各条边都相等，这样的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正多边形
4
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
例3 求正六边形每个内角的度数 。
解 正六边形的内角和为
( 6 - 2 ) × 180°= 720°
所以每个内角的度数为
720°÷ 6 = 120°
思考 你能借助多边形的外角和解决这个问题吗
正多边形的边数 每个内角的度数
3
4
5
6
8
n
60°
90°
120°
练一练
(1) 完成表格：
108°
135°
(2) 如果正多边形的一个内角是
120°，那么这是正____边形.
(3) 正 n 边形每个外角的度数是
____.
(4) 已知某正多边形的每个外角
都是 45°，则这个多边形是
正____边形.
六
八
例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得
AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°，
所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
四边形具有不稳定性：
各边的长确定后，图形形状不能确定.
在日常生活中,四边形的不稳定性,有着较为广泛的应用，你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗
可调节书架
缩放仪
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
A
B
C
D
B
2. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
A
3. 九边形的对角线有（ ）
A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
C
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
十三
5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
6
6. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是______米．
150
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和
＝540°.
8
9
多边形的概念
定义
前提条件是在一个平面内
对角线
它是多边形中的重要线段，我们通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的相关问题
正多边形
定义既是判定也是性质
多边形的性质
内角和计算公式
(n - 2)×180°(n≥3，且为整数）
外角和
多边形的外角和等于 360°.
特别注意：与边数无关
正多边形
内角= ，外角=
四边形
具有不稳定性
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
猜想与证明
方法1：如图，连接 AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×2 = 360°.
A
B
C
D
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)
= 180°×3 - 180°
= 360°.
A
B
C
D
E
方法3：如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 E，连接 AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×4 - (∠AEB + ∠AED
+∠CED +∠CEB)
= 720° - 360° = 360°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°.
结论： 四边形的内角和为360°.

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