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19.2 平行四边形
第 3 课时 平行四边形的判定
第 19 章 四边形
学习目标
1.平行四边形判定方法的探究. (重点)
2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用. (难点)
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对角线
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
活动1：将线段 AB 按下图中所给的方向和距离平移成线段 A'B'，连接 AA'，BB'. 得到四边形 ABB'A'，它一定是平行四边形吗 为什么
平行四边形的判定定理1
A
B
A'
B'
1
如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC ，且 AB = DC 。
求证：四边形 ABCD 为平行四边形。
证明：连接 AC.
∵ AB // DC，∴ ∠BAC = ∠DCA.
在 △ABC 和 △CDA 中，
∴ △ABC≌△CDA . ∴∠ACB =∠CAD.
∴ AD // BC . 因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
AB = CD，
∠BAC =∠DCA，
CA = AC，
A
B
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 1
B
D
C
A
常用符号“ ” 表示 “ 平行且相等 ”，“ AB CD ” 读作“AB 平行且等于 CD”.
∥
∥
归纳总结
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
证明：在 □ ABCD 中，
∠B =∠D，AB = CD，∠DAB =∠BCD.
∵ AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，
∴∠BAE =∠DCF = ∠DAB = ∠BCD.
∴△ABE≌△CDF (ASA).
典例精析
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
∴ BE = DF.
则由 BC = DA 可得 CE = AF.
又∵ CE∥AF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
活动2：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20 cm
30 cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
活动2 如图，过点 A 画两条线段 AB， AD，以点 B 为圆心、 AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心、 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C ，连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
平行四边形的判定定理2
2
已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
连接 BD．
在 △ABD 和 △CDB 中，
AB = CD，
BD = DB，
AD = CB，
∴△ABD≌△CDB (SSS).
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 2
B
D
C
A
归纳总结
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 上的两点，且 AF = CE.
求证：四边形 AECF 为平行四边形.
B
A
C
D
F
E
证明：易得 △ABE≌△CDF (SAS).
∴ AE = CF.
又∵ AF = CE，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形的判定定理 3
活动3 如图，作两条直线 l1，l2 交于点 O，在直线 l1上截取 OA = OC，在直线 l2 上截取 OB = OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形 ABCD 的对角线互相平分，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
O
l1
l2
2
已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在△AOB 和 △COD 中，
OA = OC，(已知)
OB = OD，(已知)
∠AOB =∠COD，(对顶角相等)
∴ △AOB≌△COD (SAS).
∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
C
B
O
D
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA = OC，
OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 3
A
C
B
O
D
归纳总结
1. 请你判断下列四边形中哪些是平行四边形：
⑷
A
D
C
B
110°
70°
110°
⑶
⑴
A
B
C
D
O
5 ㎝
5 ㎝
4 ㎝
4 ㎝
4.8 ㎝
B
A
D
C
4.8 ㎝
7.6 ㎝
7.6㎝
A
B
C
D
120°
60°
⑵
5 cm
5cm
(
(
(
(
(
√
√
√
√
练一练
例3 如图，点 E ，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形
证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AE = CF，∴OE = OA - AE = OC - CF = OF .
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
思考：还有其他证法吗
例4 已知：如图，直线 l1，l2 ，l3 互相平行，直线 l4 和 l5 分别交直线 l1，l2 ，l3 于点 A，B，C 和点 A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1 .
证明：过点 B1 作 l6 ∥l4，分别交直线 l1，l3 于点 E，F.
∴ 四边形 ABB1E 和四边形 BCFB1 都是平行四边形.
∴ EB1 = AB，B1F = BC .
∵ AB = BC，
∴ EB1= B1F.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
又∵ l1 ∥l3 ，∴ ∠A1EB1 =∠B1FC1.
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
∴ △A1B1E≌△C1B1F. ∴ A1B1 = B1C1.
∠A1EB1 = ∠C1FB1，
EB1 = FB1，
∠A1B1E = ∠ C1B1F，
在△A1B1E 和△C1B1F 中，
延伸 前面的例题中，将直线 l 向左平移，使点 A1，A 重合，你能发现什么规律
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
且∠A =∠C，∠B =∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
同理得 AB∥CD，
证明：
判定方法：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：∠A :∠B : ∠C :∠D 的值为（ ）
A. 1 : 2 : 3 : 4
B. 1 : 4 : 2 : 3
C. 1 : 2 : 2 : 1
D. 3 : 2 : 3 : 2
D
2. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若 △ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
3. 已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件__________
________.
AD = BC 或
AB∥CD
4. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点. 求证：BE = DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，
AD = BC.
∵ E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴ ED = BF，即 ED BF.
∥
=
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∴ BE = DF（平行四边形的对边分别相等）.
5. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论．
解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下：
∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE.
∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE.
又∵∠AEB =∠FEC，
∴ △ABE≌△FCE（AAS）.
∴ AE = FE．
∴ 四边形 ABFC 是平行四边形．
从边考虑
两组对边分别平行(定义法)
两组对边分别相等(判定定理2)
一组对边平行且相等（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等（定义拓展）
对角线互相平分（判定定理3）

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