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19.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
第 19 章 四边形
学习目标
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. (重、难点)
3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. (重点)
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
长方形
（也叫矩形）
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形的性质
1
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
证一证
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
A
B
C
D
O
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还有以下性质：
性质1 矩形的四个角都是直角；
性质2 矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
归纳总结
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，∠AOB = 120°，AD = 4 cm .求矩形 ABCD 对角线的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 在Rt △ABD 中，∠ OBA = 30°，AD = 4 cm，
∴ AC = BD = 2AD = 2×4 = 8(cm).
∴ 矩形 ABCD 对角线的长为 8 cm.
∵∠AOB =120° ∴ ∠OAB =∠OBA = = 30°
A
B
C
D
O
∴ OA = OB.
∴ AC = BD，OA = AC，OB = BD，∠DAB = 90°.
例2 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3. ∴ BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
∵ 在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，
∴ 42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5，即 DE＝5.
∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： 图形，对称轴： 条.
轴对称
2
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
练一练
2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的______.
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE∶ ∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵ AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边 AC 有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形斜边上的中线的性质
2
证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD.
∵ AO = OC，BO = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = AC.
∴ BO = BD = AC.
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O
C
B
A
D
证一证
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．
(1) 若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵ AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.
∴ 四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18.
(2) 求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，
∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
即 EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
例5 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明：GF⊥DE.
解：连接 EG，DG.
由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵ 点 G 是 BC 的中点，
∴ EG＝ BC，DG＝ BC.
∴ EG＝DG.
又∵ 点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，从而将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
归纳
如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2) 若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC = _____ cm，
BD = _____ cm.
A
B
C
D
6
10
5
练一练
直角三角形斜边上的中线的性质常见模型
归纳总结
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条
对角线相交所成的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
C
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______．
6
第 4 题图
第 5 题图
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD
相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，
∴ CD = BD = ×8 = 4.
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在 Rt△BCD 中，
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4 + 8)× = .
A
B
C
D
O
E
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形

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