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19.3.2 菱形
第 2 课时 菱形的判定
第 19 章 四边形
学习目标
1.通过菱形的判定过程，掌握菱形的判定定理. (重点)
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. (难点)
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
1
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
验证猜想
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理：
四边形 ABCD
A
B
C
D
知识要点
1.下列命题中正确的是 （ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 三条边相等的四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形是菱形
D. 四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，
AD = AD，
∴△ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.∴ CD = ED，CF = EF.
又 ∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，
BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴ AC＝DF＝AD＝CF.
∴ 四边形 ACFD 是菱形．
归纳 ：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，依次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】如图，依次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
又∵AC = BD，
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
归纳 ：依次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
思考 我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等（AE = AF），
通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得 AB = AD.
请补充完整的证明过程
E
F
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2
已知：如图，在□ABCD 中，AC⊥BD 于点 O.
求证：□ ABCD 为菱形.
证明 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AO = CO.
∵ DO ⊥ AC，
∴ DA = DC .
∴ □ ABCD 为菱形.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例4 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 8，BD = 6，AB = 5，求 AD 的长，
解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = AC = 4，OB = BD = 3.
又∵ AB = 5，
∴ AB2 = OA2 + OB2，
∴ △AOB 为直角三角形，即 OA⊥OB.
∴ □ABCD 是菱形.
∴ AD = AB = 5.
例5 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
证明：
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例6 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分
线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，
求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，
∴ AO = OC.
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
2.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
练一练
例7 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC.
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.
又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
3
解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴△EBC 是等边三角形.
∴ 菱形的边长为 4，高为 .
∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积.
归纳 ：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．
3.如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD. ∴ 四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
练一练
2. 一边长为 13 cm 的平行四边形，两条对角线的长分别
为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 .
120 cm2
1. 判断下列说法是否正确：
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，
∴ AC∥DE，AC = DE.
∴ 四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，
平行四边形 ACED 是菱形．故选 B．
A
B
C
D
O
E
4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，
CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵ DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ OC = OD.
∴ 四边形 OCED 是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵ DE⊥AC，
∴ 四边形 ADCE 是菱形.
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE =∠FAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.
∴ BE = FA.
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作
∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理

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