资源简介

(共70张PPT)
8.2.3　倍角公式
新课程标准解读 核心素养
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和
证明等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字
形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的
“默契”？
　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；
大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖
涡流，提高升力，以达到省力的作用.
【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么
样的数学关系？
（2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三
角函数公式？如何推导？
知识点　二倍角公式
函数 公式 简记符号 β＝α
正弦 sin 2α＝
Sα＋β S2α
余弦 cos 2α＝
＝ ＝ Cα＋β C2α
正切 tan 2α＝ Tα＋β T2α
2 sin α cos
α　
cos 2α－
sin 2α　
2 cos 2α－1　
1－2 sin 2α　
【想一想】
1. 你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2
的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角， 是 的
二倍角等.
2. 二倍角公式有哪些形式的变形？
提示：（1）1＋ cos 2α＝2 cos 2α；
（2）1－ cos 2α＝2 sin 2α；
（3） cos 2α＝ ；
（4） sin 2α＝ ；
（5）（ sin α± cos α）2＝1± sin 2α.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.
（　×　）
（2）3α是 α的2倍角，6α是3α的2倍角. （　√　）
（3） α∈R，使得 sin 2α＝2 sin α成立. （　√　）
（4） α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　）
×
√
√
×
2. 已知 cos α＝ ，则 cos 2α等于 　－ 　.
解析：由 cos α＝ ，得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－
.
3. sin 15° sin 75°的值为 .
解析：原式＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ .
4. 设tan α＝－ ，则tan 2α的值是 　 .
解析：∵tan α＝－ ，∴tan 2α＝ ＝ ＝ .
－ 　
　
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
（1） － cos 2 ；
解： 原式＝ － ＝ － － ＝－ .
（2）2 tan 15°＋tan215°；
解： 原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝
× （1－tan215°）＋tan215°＝1.
（3）tan 15°＋ .
解： 原式＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ ＝4.
通性通法
给角求值问题的解题策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍
角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用
二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公
式的形式.
【跟踪训练】
1. 求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1）原式＝ ＝ ＝2.
（2）原式＝
＝ ＝ ＝tan 60°＝ .
2. 计算： .
解：原式＝ ＝ ＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】　已知 cos α＝－ ， sin β＝ ，α是第三象限角，
β∈ .
（1）求 sin 2α的值；
解： 因为α是第三象限角， cos α＝－ ，
所以 sin α＝－ ＝－ ，
所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× ×（－ ）＝ .
（2）求 cos （2α＋β）的值.
解： 因为β∈ ， sin β＝ ，
所以 cos β＝－ ＝－ ，
cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝ ，
所以 cos （2α＋β）＝ cos 2α cos β－ sin 2α sin β＝
× － × ＝－ .
通性通法
直接应用二倍角公式求值的三种类型
【跟踪训练】
1. 已知 sin α＝3 cos α，那么tan 2α的值为（　　）
A. 2 B. －2
解析： 　因为 sin α＝3 cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝
＝ ＝－ .
2. 已知α∈（0，π），且3 cos 2α－8 cos α＝5，则 sin α＝
（　　）
解析： 　∵3 cos 2α－8 cos α＝5，∴3（2 cos 2α－1）－8 cos
α＝5，∴6 cos 2α－8 cos α－8＝0，∴3 cos 2α－4 cos α－4＝
0，解得 cos α＝2（舍去）或 cos α＝－ .∵α∈（0，π），
∴ sin α＝ ＝ .故选A.
3. 已知α为第一象限角且 cos α＝ ，求 的值.
解：∵ cos α＝ 且α为第一象限角，∴ sin α＝ .
∴ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝－ ， sin 2α＝2 sin α cos α＝
.∴原式＝
＝ ＝ .
题型三 利用二倍角公式化简与证明
【例3】　求证： ＝ sin 2α.
证明：法一　左边＝ ＝
＝ ＝
＝ sin cos cos α＝ sin α cos α＝ sin 2α＝右边.
∴原式成立.
法二　左边＝ ＝ cos 2α· ＝
cos 2α·tan α＝ cos α sin α＝ sin 2α＝右边.
通性通法
证明三角恒等式问题的原则及一般步骤
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都
比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方
面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集
中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【跟踪训练】
1. 化简求值： .
解：
＝
＝
＝ ＝ ＝1.
2. 求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B.
证明：左边＝ －
＝
＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A sin
2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立.
题型四 倍角公式与三角函数性质的综合
【例4】　求函数f（x）＝5 cos 2x＋ sin 2x－4 sin x cos x，
x∈ 的最小值，并判断其单调性.
解：f（x）＝5 · ＋ · －2 sin 2x
＝3 ＋2 cos 2x－2 sin 2x
＝3 ＋4
＝3 ＋4
＝3 ＋4 sin ＝3 －4 sin ，
∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ，
∴ sin ∈ ，
∴当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最小值为3 －2 .
∵y＝ sin 在 上单调递增，
∴f（x）在 上单调递减.
通性通法
求解三角函数综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
1. 已知函数f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x，x∈R，则f（x）是
（　　）
C. 最小正周期为π的奇函数
D. 最小正周期为π的偶函数
解析： 　因为f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x＝2 sin 2x cos 2x＝
sin 22x＝ · ＝ － cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，
且最小正周期为 ＝ .
2. 函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x cos x在区间 上的最大值是
（　　）
B. 1
解析： 　由题意得f（x）＝ ＋ sin 2x＝ ＋ sin
.∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ，∴f（x）max＝ ＋1＝ .
1. （多选）下列各式中，值为 的是（　　）
A. 2 sin 15° cos 15° B. cos 215°－ sin 215°
C. 1－2 sin 215° D. sin 215°＋ cos 215°
解析： 　对A，2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故A错误；
对B， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故B正确；对C，1－
2 sin 215°＝ cos 30°＝ ，故C正确；对D， sin 215°＋ cos 215°
＝1，故D错误.故选B、C.
2. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　）
A. 30°或60° B. 45°
C. 60° D. 30°
解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin
α－1＝0，即（ sin α＋1）·（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，
所以 sin α＝ ，所以α＝30°.
3. 若θ∈ ， sin 2θ＝ ，则 sin θ＝ 　 　.
解析：由θ∈ ，得2θ∈ ，∴ cos 2θ＝－
＝－ ＝－ .∵ cos 2θ＝1－2 sin 2θ， sin θ
＞0，∴ sin θ＝ ＝ .
　
4. 函数f（x）＝2 cos 2 －1的最小正周期为 .
解析：f（x）＝ cos ＝ sin 2x，故f（x）的最小正周期
为π.
π　
5. 求下列各式的值：
（1） cos cos ；（2） － cos 2 ；
解：（1）原式＝
＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）原式＝ ＝－ ＝－ cos ＝－ .
解：因为 ＝ ，
所以 ＝ .
故tan α＝－3，所以tan 2α＝ ＝ ＝ .
（3）已知 ＝ ，求tan 2α.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. ＝（　　）
C. 1 D. －1
解析： 　原式＝ ＝ ＝ .
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2. 若tan α＝3，则 ＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 　 ＝ ＝ ＝2tan α＝6.
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3. 设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　）
D. 4
解析： 　因为f（tan x）＝ ，所以f（2）＝ ＝－ .故
选B.
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4. （多选）已知 sin ＝ ，则 的值可以为（　　）
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解析： 　因为 ＝ ＝ ，由 sin ＝
，得 （ sin θ－ cos θ）＝ ，两边平方得 sin 2θ＝ ，所以
cos 2θ＝± .所以原式＝ ＝± ，故选B、D.
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5. 在△ABC中，若 sin B sin C＝ cos 2 ，则△ABC是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
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解析： 　由 sin B sin C＝ cos 2 得 sin B sin C＝ ，
∴2 sin B sin C＝1＋ cos A，
∴2 sin B sin C＝1＋ cos [π－（B＋C）]＝1－ cos （B＋C），
∴2 sin B sin C＝1－ cos B cos C＋ sin B sin C，
∴ cos B cos C＋ sin B sin C＝1，∴ cos （B－C）＝1.
又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，
∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.
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6. 已知 sin ＝ cos ，则 cos 2α＝（　　）
A. 1
C. 0 D. －1
解析： 　由 sin ＝ cos ，可得 cos α＋ sin α＝
cos α＋ sin α sin α＝ cos α tan α＝1，
cos 2α＝ ＝ ＝0，故选C.
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7. 若 sin x＝－ ，则 cos 2x＝ 　 　.
解析：因为 sin x＝－ ，所以由二倍角公式，得 cos 2x＝1－2 sin
2x＝1－2× ＝ .
　
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8. 已知 sin ＋ cos ＝ ，那么 sin θ＝ 　 　， cos 2θ＝ 　 　.
解析：∵ sin ＋ cos ＝ ，∴ ＝ ，即1＋2 sin
cos ＝ ，∴ sin θ＝ ，∴ cos 2θ＝1－2 sin 2θ＝1－2× ＝
.
　
　
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9. 已知α是第二象限的角，tan（π＋2α）＝－ ，则tan α＝
.
解析：由tan（π＋2α）＝－ ，得tan 2α＝－ ，又tan 2α＝
＝－ ，解得tan α＝－ 或tan α＝2，又α是第二象限的
角，所以tan α＝－ .
－
　
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解： 因为 cos ＝ ，α∈ ，
所以 ＝ ， cos α＋ sin α＝ ，平方化简可得
sin 2α＝－ ，又α∈ ，
所以 sin α＞0， cos α＜0， cos α－ sin α＝－
＝－ ＝－ .
10. 已知 cos ＝ ，α∈ .
求：（1） cos α－ sin α的值；
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解： cos ＝ cos 2α－ sin 2α
＝ （ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）－ sin 2α＝ .
（2） cos 的值.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ 是奇函数，则有（　　）
C. 函数f（x）是奇函数
D. 函数f（x）的最小正周期为π
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解析： 　因为f（x）＝ ＝ ＝－tan x ，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点
对称，故选B、C、D.
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12. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan（β－
α）＝ ，则tan α＝ 　 　，β＝ 　 　.
解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin
α cos α，即2 sin 2α＝ sin α cos α.∵α为锐角，∴ sin α≠0，
∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ .
　
　
法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝ .
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法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝
1.∵β为锐角，∴β＝ .
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13. 已知函数f（x）＝ cos ＋ sin 2x－ cos 2x＋2 sin x
cos x.　
（1）化简f（x）；
解： f（x）＝ cos 2x－ sin 2x－ cos 2x＋ sin 2x
＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin .
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（2）若f（α）＝ ，2α是第一象限角，求 sin 2α.
解： f（α）＝ sin ＝ ，2α是第一象限角，
即2kπ＜2α＜ ＋2kπ（k∈Z），
∴2kπ－ ＜2α－ ＜ ＋2kπ（k∈Z），
∴ cos ＝ ，
∴ sin 2α＝ sin
＝ sin cos ＋ cos sin
＝ × ＋ × ＝ .
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14.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：
“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个
是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那
么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有
两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美
的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为
108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一
个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中， ＝ .根
据这些信息，可得 cos 324°＝ .
　
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解析：由题图知，A＝36°，则 A＝18°， sin 18°＝ × ＝
× ＝ ，∴ cos 36°＝1－2 sin 218＝1－2× ＝
，∴ cos 324°＝ cos （360°－36°）＝ cos 36°＝ .
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15. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于
同一个常数.
cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°；
cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）；
cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）.
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（1）求出这个常数；
解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°
＝2 cos 215°－ sin 215°＝1＋ cos 30°－ （1－ cos
30°）＝1＋ － × ＝ .
同理，其他两式的值是 .
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（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等
式，并证明你的结论.
解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β
－ sin α sin β＝ .
证明： cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β
＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－
α）
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＝ cos 2α＋ － sin α（ cos α－
sin α）
＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos
α sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ .
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