资源简介

(共60张PPT)
8.1.2　
向量数量积的运算律
新课程标准解读 核心素养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积
的运算律 逻辑推理
2.能利用运算律进行向量数量积的运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校
规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循
一定的规律和法则才能生存.
【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？
知识点　向量数量积的运算律
1. 已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律 a·b＝
数乘向量的数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝

分配律 （a＋b）·c＝
b·a　
λ
（a·b）　
a·c＋b·c　
2. 重要公式
平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2
完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2
提醒　向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 /b＝0
a·b＝b·c（b≠0） a＝c a·b＝b·c（b≠0） /a＝c
｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜ ｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
【想一想】
　式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？
提示：正确.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a·b）·c＝a·（b·c）. （　×）
（2）（a·b）2＝a2·b2.（　×）
（3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0.（　　）√
×
×
√
2. 已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 或2
解析： 　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a
－b｜＝2.
3. 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜， cos ＜m，n＞＝ ，
若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）
A. 4 B. －4
C. D. －
解析： 　由题意知， cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，
所以m·n＝ ｜n｜2＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以
tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 平面向量数量积的运算
【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为
120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）；
解： （2a＋3b）·（3a－2b）
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2
＝6×42＋5×4×7· cos 120°－6×72＝－268.
（2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E
是CD的中点，求 · 的值.
解： · ＝ ·（ － ）＝ －
－ · ＝1－ ×4－ ×2×1× ＝－ .
通性通法
求两向量的数量积的两种常见题型
（1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算
律展开即可求解；
（2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示
出待求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解.
【跟踪训练】
1. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，则（a＋
2b）·（a－3b）＝ .
解析：∵｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝5×2× ＝5，∴（a＋
2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝25－5－24＝－4，故（a＋
2b）·（a－3b）＝－4.
－4　
2. 如图，已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上， ·
＝ · ＝0，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，｜
－ ｜＝2 ，在边DE上有2个不同的点F，G，则 ·（
＋ ）的值为 .
16　
解析：由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形，斜边
长为2 ， ·（ ＋ ）＝ ·（ ＋ ）＝ ·
＋ · ＝ ·（ ＋ ）＋ ·（ ＋ ）＝
·2 ＋ ·2 ＝4 · ＝4×2×2 × ＝16.
题型二 向量的模
【例2】　（1）若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝
1，则｜b｜＝ ；
解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，
结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝
3 .
3 　
（2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB
＝3，BC＝1，CD＝2，求AD的长.
解：由向量的性质，知 ＝ ＋ ＋ ，其中 与 的
夹角为60°， 与 的夹角为30°， 与 的夹角为
90°，
于是｜ ｜2＝｜ ＋ ＋ ｜2
＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋
2 · ＝9＋1＋4＋2×3×1× ＋2×1×2× ＋0＝17＋
2 .
则AD的长为 .
通性通法
向量模的常见求法
　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝ ，但计算两向量
的和与差的长度时则用｜a±b｜＝ ＝
.
【跟踪训练】
1. 已知不共线的向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·（b－
a）＝1，则｜b－a｜＝（　　）
A. B. 2 C. D. 2
解析： 　∵a·（b－a）＝1，∴a·b－a2＝1，即a·b＝1＋
a2＝5，∴｜b－a｜＝ ＝ ＝ .
2. 已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝ ｜a－b｜，向量e是与
a－b同向的单位向量，则向量a在a－b上的投影向量为（　　）
A. e B.
C. e D.
解析： 　∵｜a＋b｜＝ ｜a－b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝2
（a2－2a·b＋b2），∴6a·b＝a2＋b2.∵a，b为单位向量，
∴a·b＝ .∵a·（a－b）＝a2－a·b＝1－ ＝ ，｜a－b｜
＝ ＝ ＝ ，∴ cos ＜a，a－b＞
＝ ＝ ，∴向量a在a－b上的投影向量为（｜a｜ cos
＜a，a－b＞）e＝ e.故选A.
题型三 利用平面向量的数量积证明几何问题
【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足 · ＝
· ＝ · ，则点O是△ABC的（　　）
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
解析： 　因为 · ＝ · ，所以
（ － ）＝ · ＝0，所以
⊥ ，同理 ⊥ ， ⊥ ，所以O是
△ABC的垂心.
（2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝ · ＝－ a2－
a·b＋ b2＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
通性通法
利用向量法证明几何问题的技巧
（1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系；
（2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算；
（3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线
平行，向量的夹角与直线的夹角等.
【跟踪训练】
　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜
｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2.求证：点O是△ABC的
垂心.
证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝c－b， ＝c－a，
＝b－a.
由｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，
得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2，
即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，
整理得c·b＝a· c＝b·a.
∴ · ＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0， · ＝（c－
b）·a＝c·a－b·a＝0， · ＝（c－a）·b＝c·b－a·b
＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即OC⊥AB，OA⊥BC，
OB⊥AC，
∴点O是△ABC的垂心.
1. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
则a与b的夹角是（　　）
A. B.
解析： 　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜
b｜，a·b＝ ｜a｜2，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ，即＜
a，b＞＝ .
C. D.
2. 已知｜p｜＝2 ，｜q｜＝3，p，q的夹角为 ，则以a＝5p＋
2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为
（　　）
A. 15 B.
C. 14 D. 16
解析： 　因为以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，
分别为a＋b，a－b，所以｜a＋b｜＝｜6p－q｜＝
＝ ＝
＝15，
｜a－b｜＝｜4p＋5q｜＝ ＝
＝ .故
选A.
3. 已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋
e2，若a⊥b，则实数k的值为 .
解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2
＋（1－2k） cos ＝0，解得k＝ .
　
4. 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E
是AB上的一点，且AE＝2EB. 求证：AD⊥CE.
证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a，
则 · ＝ ·
＝ · ＋ · ＋ · ＋ ·
＝－a2＋0＋a· a· ＋ · a·
＝－a2＋ a2＋ a2＝0.所以AD⊥CE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝ ，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b的值为（　　）
A. － B.
C. －3 D. 3
解析： 　向量｜a｜＝2，｜b｜＝ ，且向量a与b的夹角为
150°，则a·b＝｜a｜｜b｜ cos 150°＝2× × ＝－3.
故选C.
2. 在△ABC中，∠BAC＝ ，AB＝2，AC＝3， ＝2 ，则
· ＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ，所以 · ＝ ·（ －
）＝ ×32－ ×22＋ · ＝ ＋ ×2×3 cos ＝ .
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3. 已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋
2b｜＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，
则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜
b｜· cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2.
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4. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋
－2 ｜，则△ABC的形状为（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解析： 　 ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ，
－ ＝ ＝ － ，于是｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，
所以｜ ＋ ｜2＝｜ － ｜2，即 · ＝0，从而
AB⊥AC. 故△ABC为直角三角形.
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5. （多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给
出下列结论，其中正确的是（　　）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
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解析： 　根据向量数量积的分配律知A正确；因为
[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－
（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与
c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－
b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正
确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜
2，D正确；故选A、C、D.
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6. 若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝
2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　）
A. 4 B. 10
C. 4或10 D. 2或
解析： 　因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两
个向量的夹角为0或 .再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可
得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10.
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②若任意两个向量的夹角为 ，则a·b＝2×2× cos ＝－2，
a·c＝b·c＝2×6× cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝
＝
＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10.
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7. 如图，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝3，∠DAB＝
60°，则 · ＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝
（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7.
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8. 已知向量a，b，其中｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且（a－b）
⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·（a＋b）＝ .
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝ ，｜b｜
＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜
a｜2－｜a｜｜b｜· cos θ＝3－2 · cos θ＝0，解得 cos θ＝
.又因为0≤θ≤π，所以θ＝ .则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜
a｜｜b｜· cos θ＝3＋2 × ＝6.
　
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9. 已知平面向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝ ，｜b｜＝2，在
△ABC中， ＝2a＋2b， ＝2a－6b，D为BC中点，则｜
｜＝ .
解析：因为 ＝ （ ＋ ）＝ （2a＋2b＋2a－6b）＝2a
－2b，所以｜ ｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×
（3－2×2× × cos ＋4）＝4，则｜ ｜＝2.
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10. 如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点.用向
量法求证：∠ACB＝90°.
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证明：如图，设圆心为O，连接OC，则｜
｜＝ ｜ ｜， ＝ （ ＋ ），所
以｜ ｜2＝ ｜ ｜2， ＝ （ ＋
）2，得｜ ｜2＝（ ＋ ）2，即（ － ）2＝（ ＋ ）2，得 ＋ －2 · ＝ ＋ ＋2 · ，
所以4 · ＝0， · ＝0，所以 ⊥ ，即∠ACB＝90°.
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11. 若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a
与b的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　因为（2a＋b）·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b
＝－ ｜b｜2.设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
＝－ ，而0°≤θ≤180°，故θ＝120°.
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12. （多选）已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜
2a－b｜，则（　　）
A. ｜a｜＜｜2b｜ B. ｜a｜＞｜2b｜
C. ｜b｜＝｜a－b｜ D. ｜a｜＝｜a－b｜
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解析： 　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－
b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos
θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2，化简
得｜a｜＝2｜b｜ cos θ.因为向量a，b不共线，所以 cos θ∈
（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－
b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2
＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误.
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13. 已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时.
（1）求t的值；
解： ｜a＋tb｜2＝a2＋2ta·b＋t2b2，
即｜a＋tb｜2＝b2t2＋2a·bt＋a2，
所以当t＝－ 时，｜a＋tb｜有最小值.
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（2）已知a与b共线同向，求证：b⊥（a＋tb）.
解： 证明：因为a与b共线同向，所以a·b＝｜
a｜｜b｜，
所以t＝－ ＝－ ＝－ ，
所以b·（a＋tb）＝a·b＋t｜b｜2＝｜a｜｜b｜－｜
a｜｜b｜＝0.
所以b⊥（a＋tb）.
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14. （多选）对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：
a*b＝（a，b是任意的两个向量）.
对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确
的是（　　）
A. a*b＝b*a
B. λ（a*b）＝（λa）*b（λ∈R）
C. （a＋b）*c＝a*c＋b*c
D. 若e是单位向量，则｜a*e｜≤｜a｜＋1
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解析： 　当a，b共线时，a*b＝｜a－b｜＝｜b－a｜＝
b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正
确的；当λ＝0，b≠0时，λ（a*b）＝0，（λa）*b＝｜0－
b｜≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不
共线，（a＋b）*c＝｜a＋b－c｜，a*c＋b*c＝a·c＋
b·c，显然｜a＋b－c｜≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e
与a不共线时，｜a*e｜＝｜a·e｜＜｜a｜·｜e｜＜｜a｜＋
1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，｜a*e｜＝｜a－e｜
＝｜ue－e｜＝｜u－1｜≤｜u｜＋1，故D是正确的.
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15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A
为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判
断P，Q在什么位置时， · 有最大值.
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解：∵ ＝ － ， ＝ － ＝－ － ，
∴ · ＝（ － ）·（－ － ）
＝（－ · ）＋ · － ＋ ·
＝ · －r2＋ （ － ）
＝ · －r2＋ ·
＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠BAC－r2＋ ·
＝bc cos ∠BAC－r2＋ · .
当 与 同向时， · 取得最大值，为ra，
即当 与 共线且同向时，
· 有最大值bc cos ∠BAC＋ar－r2.
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