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(共67张PPT)
8.1.3　
向量数量积的坐标运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握向量数量积的坐标表示及运算 数学运算
2.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹
角、垂直有关的问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们
拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双
隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插
上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅
膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数
形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究
推向“定量”研究.
【问题】　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的
单位向量，a＝（3，2），b＝（2，1），则a·b的值为多少？
a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝（x1，y1），b＝
（x2，y2），则a·b为多少？
知识点　向量数量积的坐标表示
1. 设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
（1）a·b＝ ；
（2）a⊥b .
x1x2＋y1y2　
x1x2＋y1y2＝0　
2. 三个重要公式
（1）设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2 ｜a｜＝ ；
（2）两点间的距离公式：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜
AB｜＝｜ ｜＝ ；
（3）向量的夹角公式：设a，b都是 向量，a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2），则 cos ＜a，b＞＝
＝ .
　
　
非零　
　
【想一想】
1. 向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？
提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意
坐标的顺序.
2. 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），问a与b夹角θ的
范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？
提示：（1）当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2＞0；
（2）当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
（3）当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2＜0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. （　√　）
（2）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a⊥b x1x2－y1y2＝
0. （　×　）
（3）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－
x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°. （　×　）
√
×
×
2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b等于（　　）
A. 0 B. 10 C. 6 D. －10
解析： 　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.
3. 已知向量a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，则实数x等于
（　　）
A. －7 B. 9 C. 4 D. －4
解析： 　∵a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，∴a·b
＝1×x＋2×（－2）＝0，即x－4＝0，∴x＝4.
4. 已知向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a与b的夹角
为 .
解析：因为向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a·b＝－
6，｜a｜＝2 ，｜b｜＝3，则 cos ＜a，b＞＝ ＝－
，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以a与b的夹角为135°.
135°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 向量数量积的坐标运算
【例1】　（1）已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a－
b）·（2a＋3b）；
解： 法一　因为a＝（1，2），b＝（3，4），
所以a·b＝1×3＋2×4＝11，
（a－b）·（2a＋3b）＝2a2＋a·b－3b2＝2｜a｜2＋a·b
－3｜b｜2＝2（12＋22）＋11－3（32＋42）＝－54.
法二　因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3＋2×4＝
11.
因为a－b＝（1，2）－（3，4）＝（－2，－2），
2a＋3b＝2（1，2）＋3（3，4）＝（2×1＋3×3，2×2＋3×4）＝
（11，16），
所以（a－b）·（2a＋3b）＝－2×11＋（－2）×16＝－54.
（2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，
且 ＝2 ，求 · .
解：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分
别为x轴，y轴，建立直角坐标系.
则B（2，0），E（1，2），C（2，2），F ，
因为 ＝（－1，2）， ＝ .
所以 · ＝2－ ＝ .
通性通法
平面向量数量积坐标运算的两条途径
　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有两条途径：
　　一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
　　二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝ ，
a·（a－b）＝ .
解析：a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，
a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，
2）·（－4，0）＝4.
1　
4　
解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平
面直角坐标系.
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），所以C（2，1）.
因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以E ，F（1，1），
所以 ＋ ＝ ， ＝（－2，1），
所以（ ＋ ）· ＝3×（－2）＋ ×1＝－ .
2. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的
中点，则（ ＋ ）· ＝ .
－ 　
题型二 求向量的模
【例2】　（1）若a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a－b＝（ ，
），则｜2a－b｜＝（　C　）
A. B. C. 2 D. 2
解析： 由已知得（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b
＋4＝5，∴a·b＝0，∴（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0
＋4＝8，∴｜2a－b｜＝2 .
C
（2）若向量 ＝（1，－3），｜ ｜＝｜ ｜， · ＝0，
则｜ ｜＝ 　 　.
解析： 法一　设 ＝（x，y），由｜ ｜＝｜ ｜，
知 ＝ .　①
由题意知 · ＝x－3y＝0.　②
由①②组成方程组，解得或当x＝3，y＝1
时， ＝ － ＝（2，4），则｜ ｜＝2 ；当x＝－
3，y＝－1时， ＝（－4，2），则｜ ｜＝2 .故｜
｜＝2 .
2
法二　由题意知，｜ ｜就是以 ， 对应线段为邻边的正方形
的对角线长，∵｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝ × ＝2 .
【母题探究】
　（变条件）本例（1）中条件变为“设平面向量a＝（1，2），b＝
（－2，y），若a∥b”，求｜2a－b｜.
解：由a∥b，得1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，所以b＝（－
2，－4），所以2a－b＝（4，8），则｜2a－b｜＝4 .
通性通法
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为
向量与向量的数量积问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2
＝x2＋y2，于是｜a｜＝ .
【跟踪训练】
　在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（16，12），B（－5，
15），则｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ .
解析：由题意可得｜ ｜＝ ＝20.｜ ｜＝
＝ ＝15 .
20　
15 　
题型三 向量夹角和垂直问题
【例3】　（1）设平面向量a＝（ cos α， sin α）
（0°≤α≤90°），b＝ .求证：a＋b与a－b垂直；
解： 证明：法一　∵（a＋b）·（a－b）＝（ cos α－
， sin α＋ ）·（ cos α＋ ， sin α－ ）＝（ cos α－
）·（ cos α＋ ）＋ · ＝ cos 2α－
＋ sin 2α－ ＝1－ － ＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
法二　由已知可得a2＝1，b2＝1，
∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝1－1＝0，
∴（a＋b）⊥（a－b）.
（2）平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）.已知点A（16，
12），B（－5，15）.求∠OAB.
解：由 ＝（16，12）， ＝（－5－16，15－12）＝（－21，3），
得｜ ｜＝ ＝20，
｜ ｜＝ ＝15 .
cos ∠OAB＝ cos ＜ ， ＞＝ .
其中 · ＝－ ·
＝－（16，12）·（－21，3）
＝－[16×（－21）＋12×3]＝300.
故 cos ∠OAB＝ ＝ .
∴∠OAB＝45°.
通性通法
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
（1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积；
（2）利用｜a｜＝ 求两向量的模；
（3）代入夹角公式求 cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），c＝a－tb，若b⊥c，
则实数t＝（　　）
A. 1 B. －1
C. D. 2
解析： 　由题意得c＝a－tb＝（2，4）－t（－1，1）＝（2＋
t，4－t）.∵b⊥c，∴b·c＝（－1，1）·（2＋t，4－t）＝－
（2＋t）＋（4－t）＝2－2t＝0，解得t＝1.故选A.
2. 已知平面向量a＝（1，2），b＝（4，2），c＝ma＋b
（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　由题意，得c＝（m＋4，2m＋2）， ＝
，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴m＝2.故选D.
题型四 向量数量积的坐标运算的综合问题
【例4】　在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，P是△ABC所在
平面上的任意一点，则 · ＋ · 的最小值为（　　）
A. 1 B. 2
C. －2 D. －1
解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，使得
点D在原点处，点A在y轴上，则A（0，2）.设点
P的坐标为（x，y），则 ＝（－x，2－y），
＝（－x，－y），故 · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 · ＝2（x2＋y2－2y）＝2[x2＋（y－1）2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以 · ＋ · 的最小值为－2.
通性通法
解决向量数量积的最值或范围问题的方法技巧
（1）“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几
何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据
平面图形的直观特征进行判断；
（2）“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常
建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最
值或范围问题.
【跟踪训练】
在如图所示的矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的
点，则 · 的最小值为（　　）
A. 2 B.
C. D. 4
解析： 　如图所示，以点B为坐标原点，BC所在直线
为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A
（0，2），D（1，2）.设E（x，0）（0≤x≤1），则
＝（x，－2）， ＝（x－1，－2），∴ ·
＝（x，－2）·（x－1，－2）＝x2－x＋4＝ ＋
，又0≤x≤1，故当x＝ 时， · 取得最小值 .
1. 已知｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，则向量a与b夹角的
大小为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，设a，b
夹角为θ，所以 cos θ＝ ＝ ＝ ，又θ∈[0，π]，
所以θ＝ ，所以向量a与b夹角的大小为 .故选C.
2. （多选）设向量a＝（1，0），b＝ ，则下列结论中错误的
是（　　）
A. ｜a｜＝｜b｜ B. a·b＝
C. a－b与b垂直 D. a∥b
解析： 　因为｜a｜＝1，｜b｜＝ ＝ ，所
以｜a｜≠｜b｜，故A错.因为a·b＝1× ＋0× ＝ ，故B错.
因为a－b＝（1，0）－ ＝ ，所以（a－b）·b＝
· ＝ － ＝0，所以a－b与b垂直，故C符合题
意.因为1× －0× ≠0，所以a不平行于b，故D错.故选A、
B、D.
3. 已知向量a＝（1，－1），向量b＝（－1，2），则（2a＋
b）·a＝ .
解析：由向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），得2a＋b＝（1，
0），所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1×1＋0×
（－1）＝1.
1　
4. 已知平面向量a＝（2，2），b＝（x，－1）.
（1）若a∥b，求x；
解： 因为a∥b，
所以－2－2x＝0，可得x＝－1.
（2）若a⊥（a－2b），求a与b所成夹角的余弦值.
解： 依题意a－2b＝（2－2x，4），
因为a⊥（a－2b），所以a·（a－2b）＝0，
即4－4x＋8＝0，解得x＝3，
所以b＝（3，－1）.
所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量a＝（2， ），b＝（－1， ），则向量a在b上的投
影向量为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　∵b＝（－1， ），∴｜b｜＝2.又∵向量a＝（2，
），∴向量a在b的投影的数量为 ＝ ＝ ，所
以向量a在b上的投影向量为｜a｜ cos ＜a，b＞ ＝
· ＝ b＝ .故选A.
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2. 已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b与b垂直，
则｜a｜＝（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 4
解析： 　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－
（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝ ＝2.
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3. （多选）已知a＝（1，1），b＝（0，－2），且ka－b与a＋b的
夹角为120°，则k＝（　　）
A. －1＋ B. －2
C. －1－ D. 1
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解析： 　∵｜ka－b｜＝ ，｜a＋b｜＝
＝ ，∴（ka－b）·（a＋b）＝（k，k＋
2）·（1，－1）＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为
120°，∴ cos 120°＝ ，即－ ＝
，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－
1± .
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4. 设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－
4），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 10
解析： 　因为a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2.由b∥c，得1×
（－4）－2y＝0，所以 y＝－2.所以a＝（2，1），b＝（1，－
2）.所以a＋b＝（3，－1），所以｜a＋b｜＝ ＝
.
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5. （多选）已知向量a＝（3，4），b＝（－4，－3），则下列说法
正确的是（　　）
A. a与b的夹角是直角
B. ｜a＋b｜为2
C. a＋b与a－b的夹角是直角
D. a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
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解析： 　由向量a＝（3，4），b＝（－4，－3），得a·b＝
－24＜0，所以a与b的夹角是钝角，A错误.a＋b＝（－1，1），
所以｜a＋b｜＝ ＝ ，B错误.（a＋b）·（a－
b）＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角，C正确.a在b
上投影的数量为｜a｜ cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，b在a上投
影的数量为｜b｜ cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，D正确.
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6. 在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，E为BC的中点，点F在CD
上，若 · ＝ ，则 · 的值为（　　）
A. B. 2
C. 0 D. 1
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解析： 　建立如图所示的坐标系xAy，可得A
（0，0），B（ ，0），E（ ，1），F
（x，2），则 ＝（ ，0）， ＝（x，
2），于是 · ＝ x＝ ，解得x＝1，因
此F（1，2）， ＝（ ，1）， ＝（1－
，2）， · ＝ （1－ ）＋1×2＝ .故选A.
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7. 已知平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若｜a｜＝2，｜
b｜＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为 ， 的
值为 .
解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝－
6，∴ cos θ＝－1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－
b，∴x1＝－ x2，y1＝－ y2，∴ ＝－ .
180°　
－ 　
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8. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，4），B（－2，3），C
（2，－1），若（ －t ）⊥ ，则实数t＝ .
解析：∵ ＝（－3，－1）， ＝（2，－1），∴ －t ＝
（－3－2t，－1＋t），又（ －t ）⊥ ，∴（－3－2t）
×2＋（－1＋t）·（－1）＝0.∴t＝－1.
－1　
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9. 已知向量a＝（ cos θ， sin θ），向量b＝（ ，0），则｜2a
－b｜的最大值为 .
解析：2a－b＝（2 cos θ－ ，2 sin θ），｜2a－b｜＝
＝
＝ ，当且仅当 cos
θ＝－1时，｜2a－b｜取最大值2＋ .
2＋ 　
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10. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1， ），
b，c为单位向量.
（1）若a∥c，求c的坐标；
解： 设c＝（x，y），由题意，得
解得或
∴c＝ 或c＝ .
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（2）若a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解： 由题意，得（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，∴a·b＝－2.
∴ cos θ＝ ＝－1.而0≤θ≤π，∴θ＝π.
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11. 角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的
终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则 与 夹角的
余弦值为（　　）
A. － B.
C. 或－ D. 或
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解析： 因为tan α＝－2，所以可设P（x，－2x），所以
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，当x＞0时，
cos ＜ ， ＞＝ ，当x＜0时， cos ＜ ， ＞＝－
.故选C.
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12. 已知向量m＝（λ＋2，1），n＝（λ＋1，2），若（m＋n）
⊥（m－n），则向量m，n的夹角的余弦值为 ，m＋n在
n方向上的投影的数量为 .
　
　
解析：由题意知向量m＋n＝（2λ＋3，3），m－n＝（1，－
1），因为（m＋n）⊥（m－n），所以λ＝0.所以m＝（2，
1），n＝（1，2）， cos ＜m，n＞＝ ，m＋n＝（3，3）.m
＋n在n方向上的投影的数量为｜m＋n｜ cos ＜m＋n，n＞＝
＝ .
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13. 已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R.
（1）求λ为何值时， ｜c｜最小？此时b与c的位置关系如何？
解： 由a＝（1，2），b＝（－3，4），
得c＝a＋λb＝（1－3λ，2＋4λ），
｜c｜2＝c2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2
＝25 ＋4，
当λ＝－ 时，｜c｜最小，此时c＝ ，b·c＝0，
所以b⊥c.
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（2）求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系
如何？
解： 设向量a与c的夹角为θ，则
cos θ＝ ＝ ＝ ，
要使向量a与c的夹角最小，则 cos θ最大，
由于θ∈[0， π]，所以 cos θ的最大值为1，此时θ＝0，
＝1，解得λ＝0，c＝（1，2）.
所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.
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14. （多选）在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k），若
△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　）
A. －1 B.
C. D.
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解析： 在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k），①
当A＝90°时， · ＝0，即2×1＋3k＝0，解得k＝－ .②
当B＝90°时， ＝ － ＝（－1，k－3），且 · ＝
0，即2×（－1）＋3×（k－3）＝0，解得k＝ .③当C＝90°
时， · ＝0，即－1＋k（k－3）＝0，整理得k2－3k－1＝
0，解得k＝ .综上知，k的取值为－ 或 或 .
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15. 在△ABC中，满足 ⊥ ，M是BC的中点.
（1）若｜ ｜＝｜ ｜，求向量 ＋2 与向量2 ＋
的夹角的余弦值；
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解： 设向量 ＋2 与向量2 ＋ 的夹角为
θ，｜ ｜＝｜ ｜＝a.
∵ ⊥ ，∴ · ＝0，
∴（ ＋2 ）·（2 ＋ ）＝2 ＋5 · ＋
2 ＝4a2，
｜ ＋2 ｜＝
＝ ＝ a，
同理可得｜2 ＋ ｜＝ a，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ .
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（2）若O是线段AM上任意一点，且｜ ｜＝｜ ｜＝ ，
求 · ＋ · 的最小值.
解： ∵ ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，∴｜
｜＝1.
设｜ ｜＝x（0≤x≤1），则｜ ｜＝1－x，而 ＋
＝2 ，
∴ · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 ·
＝2｜ ｜·｜ ｜· cos π＝－2x（1－x）＝2x2－2x
＝2 － ，
当且仅当x＝ 时， · ＋ · 取得最小值－ .
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