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专题2：方程（组）和不等式（组）
方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用.
考点1 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式的值为5，
∴，
解得，
故选：A．
2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则______．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把代入，得，
∴，
∴，
故答案为：2
3．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴，
解得：，
故答案为：4．
4．（2024·上海·中考真题）已知，则___________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
5．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：
．
【答案】
【分析】本题主要考查解方程，掌握解一元一次方程的方法是关键．
根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法求解即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
考点2 解二元一次方程组及其应用
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
【详解】解：
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
该方程组的解为，
∴，，
，
故答案为：1．
4．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴方程的解为．
（2025·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：原方程组可化为，
即，
得，，
解得：．
得，，
解得：．
所以原方程组的解为．
（2024·广西·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程组的解为：.
考点3 解分式方程
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零．
【详解】∵ ，
去分母得，，
，
解得，
检验：当时，，满足条件．
故方程的解为．
故选：B．
2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故选：C
3．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
是该方程的解，
，
解得：，
当时，原分式方程有意义，
故答案为：．
4．（2025·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
利用解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：
，
．
经检验，是原方程的解．
（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
所以方程的解为．
（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
检验：当时，，
故原分式方程的解是．
考点4 根据分式方程解的情况求值
由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围．
【详解】解：，
得，
得，
解得：，
根据题意，解，
即，
解得：，
分母，
即，
即，
解得：，
，
故选：A．
2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
3．（2024·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解．
【详解】解：方程两边乘，得，
解得：，
方程的解是正数，
且，
解得：且，
故选：D．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
6．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
考点5 解一元一次不等式（组）
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集.
将各不等式的解决在数轴上表示出来.
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．
根据不等式的基本性质逐一验证选项即可．
【详解】解：由，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误，
故选：C．
2．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．
【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意；
B、，则，选项错误，不符合题意；
C、，则，选项错误，不符合题意；
D、，则，即，选项正确，符合题意，
故选：D．
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是；
故选：A．
4．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解为．
在数轴上表示为：
（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得，．
原不等式组的解集为：．
（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
考点6 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
（1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
（2）当b=0时，首选直接开平方法；
（3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
（4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
（5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2024·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．
常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
4．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
5．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
利用因式分解法，求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
即或，
解得：，．
6.（2024·广东广州·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的求解方法是解题的关键．用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
．
考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况
根的判别式
（1）求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
（2） 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
（3）利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0;
2）有两个相等的实数根时, =0;
3）没有实数根时, <0.
（4） 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根.
1．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小，
∴，对称轴为直线，
则，
∵，
即，
∴，
故A选项不符合题意；
该函数图象的顶点为，即，
∵，
∵
∵，
∴，
∴
∵，
∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，
故B选项不符合题意；
当该函数图象的顶点位于轴上，
令，则，
∵
∴该函数的最大值为，
当该函数图象的顶点位于第二象限，
此时该函数的最大值大于，
综上该函数的最大值不小于，
故D选项符合题意；
依题意，中的，
∵，
∴，
即
∴方程有两个不相等的实数根
故C选项不符合题意；
故选：D
2．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答．
【详解】解：，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
故选D．
4．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】根据题意得，，
解得，
故答案为：．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
6．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实根，可得，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实根，
，
解得，
故答案为：4．
考点8 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
（1）平方和
（2）倒数和 + =
（3）差的绝对值 | x1 - x2 |=
=
1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，．
【详解】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：C
2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴．
故选：C
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
∴a、b的值为1，，
∴，
故答案为：．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
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专题2：方程（组）和不等式（组）
方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用.
考点1 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则______．
3．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________．
4．（2024·上海·中考真题）已知，则___________．
5．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：
．
考点2 解二元一次方程组及其应用
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______．
4．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
（2025·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
（2024·广西·中考真题）解方程组：
考点3 解分式方程
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________．
4．（2025·陕西·中考真题）解方程：．
（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：．
（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．
考点4 根据分式方程解的情况求值
由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
3．（2024·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
6．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
考点5 解一元一次不等式（组）
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集.
将各不等式的解决在数轴上表示出来.
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
4．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组．
（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
考点6 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
（1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
（2）当b=0时，首选直接开平方法；
（3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
（4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
（5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2024·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______．
5．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：
6.（2024·广东广州·中考真题）解方程：
考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况
根的判别式
（1）求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
（2） 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
（3）利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0;
2）有两个相等的实数根时, =0;
3）没有实数根时, <0.
（4） 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根.
1．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
2．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
6．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______．
考点8 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
（1）平方和
（2）倒数和 + =
（3）差的绝对值 | x1 - x2 |=
=
1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
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