资源简介

2026年兰州市一诊适应性试卷
初三 数学
一、选择题（本题11小题，每小题3分，共33分．）
1．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ）
A．30° B．57° C．55° D．33°
5．把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）
A．1 B． C． D．
10．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（ ）
A．小明这组共有14名同学
B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本
C．本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本
D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本
11．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题4小题，每小题3分，共12分）
12．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____．
13．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为______．
14．如图，正方形，点E为中点，连接，若，，则线段的长为______．

15．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第15个“立方差友好数”是______
三、解答题（本题9小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
16（5分）．计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
17（5分）．解方程：．
18（5分）．解不等式组，并写出它的所有负整数解。
19（7分）．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求，，，的值；
(2)若点与点关于轴对称，连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
20（7分）．在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
_____________，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
_____________，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（④_____________）．
21（7分）．综合与实践
随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，LED显示屏逐渐以其独特的优势点亮校园的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型LED显示屏．如图，线段的长表示LED显示屏的宽，表示水平地面，于点，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的宽，测量方案及相关数据如下：
第一步：在操场地面上的点处，用测角仪测得LED显示屏的底部点的仰角；
第二步：沿方向走到点处，用测角仪测得显示屏的顶部点的仰角；
第三步：用皮尺测得米，点到正下方点之间的距离即米．（图中各点均在同一竖直平面内）
根据上述测量方案和数据计算LED显示屏的宽（结果精确到米．参考数据，，，，，）．
22（7分）．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：

b．A项指标成绩在这一组的是：
7.2 7.3 7.5 7.67 7.7 7.71 7.75 7.82 7.86 7.9 7.92 7.93 7.97
c．两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
A项指标成绩 7.37 m 8.2
B项指标成绩 7.21 7.3 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量。
23（7分）．综合与实践
问题情境：
某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线：
测量数据：
篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为．
数学建模：
如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点．
（1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：
已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变；
（2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长；
（3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离．
24（8分）．如图，已知⊙O的直径垂直弦于点E，过C点作交延长线于点G，连接并延长交于点，且．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
25（8分）．综合与探究
【问题情境】
如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N．
【猜想验证】
（1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明．
【深入探索】
（2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）连接，如图3，请直接写出的长．
26（9分）．在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”．
(1)如图1，的半径为2．
①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________；
②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标；
(2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围．
2026年兰州市一诊适应性试卷
参考答案
一、单选题
1．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ）
A．30° B．57° C．55° D．33°
【答案】D
5．把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
8．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
9．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
10．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（ ）
A．小明这组共有14名同学
B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本
C．本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本
D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本
【答案】A
11．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
二、填空题
12．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____．
【答案】
13．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为______．
【答案】
14．如图，正方形，点E为中点，连接，若，，则线段的长为______．

【答案】
15．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____．
【答案】 117 665
三、解答题
16．计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
【答案】
解：原式＝3﹣4×﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣2﹣4﹣+1
＝﹣3．
17．解方程：．
【答案】
解：等式两边同乘以得，
，
，
，
，，
经检验：是原方程的增根，舍去；
所以原方程的解为．
18．解不等式组，并写出它的所有负整数解
【答案】
，
由①得，x≥-3，
由②得，x<2，
所以不等式组的解集为：-3≤x<2，
∴负整数解为-3，-2，-1.
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求，，，的值；
(2)若点与点关于轴对称，连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】
（1）解：把代入，得，
反比例函数的表达式为．
把代入，得
．
把点和点代入一次函数，得
，解得
的值为2，的值为，的值为1，的值为1；
（2）解：由（1）可知直线的表达式为，
在中，当时，，
点的坐标为，
又点与点关于轴对称，
，
．
；
（3）解：根据图象知，不等式的解集为或．
20．在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
_____________，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
_____________，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（④_____________）．
【答案】
解：如图所示，就是所求作的图形；
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
21．综合与实践
随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，LED显示屏逐渐以其独特的优势点亮校园的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型LED显示屏．如图，线段的长表示LED显示屏的宽，表示水平地面，于点，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的宽，测量方案及相关数据如下：
第一步：在操场地面上的点处，用测角仪测得LED显示屏的底部点的仰角；
第二步：沿方向走到点处，用测角仪测得显示屏的顶部点的仰角；
第三步：用皮尺测得米，点到正下方点之间的距离即米．（图中各点均在同一竖直平面内）
根据上述测量方案和数据计算LED显示屏的宽（结果精确到米．参考数据，，，，，）．
【答案】
由题意得：米，米，，
在中，,，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
答：显示屏的宽约为米．
22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：

b．A项指标成绩在这一组的是：
7.2 7.3 7.5 7.67 7.7 7.71 7.75 7.82 7.86 7.9 7.92 7.93 7.97
c．两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
A项指标成绩 7.37 m 8.2
B项指标成绩 7.21 7.3 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．
【答案】
解：（1）根据中位数的定义，把50名企业A项指标成绩排序，
可得第25，26两项数据分别是7.82 和 7.86，
∴中位数为（7.82+7.86）÷ 2 =7.84
故m = 7.84.
（2）在此次调研评估中，该企业成绩排名更靠前的指标是B.
理由：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业A项指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名．
（3）根据题意可知，在样本中，由（1）排序知，A项指标成绩在这一组，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是9，A项指标成绩在这一组的数量是17，A项指标成绩在这一组的数量是3
∴9+17+3=29，
∴估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为．
23．综合与实践
问题情境：
某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线：
测量数据：
篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为．
数学建模：
如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点．
（1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：
已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变；
（2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长；
（3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离．
【答案】
解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为，
又出手点距地面，即出手点坐标为，
，解得，
即抛物线表达式为，
所以顶点，抛物线表达式为；
（2）由题意可知，设新抛物线的表达式为，
又过点，
，解得，
即新抛物线的表达式为，
令，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，水平距离的长为；
（3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为
则可设运球后起跳投篮的新抛物线为，
篮筐在距点O水平距离，垂直高度处，
即新抛物线过，
代入得：，
整理得：，
解得或（舍去），
即新抛物线的表达式为，
令，，
整理得，
解得或（舍去），
该球员向篮筐方向沿直线运球．
24．如图，已知⊙O的直径垂直弦于点E，过C点作交延长线于点G，连接并延长交于点，且．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
【答案】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙O的切线；
（2）解：连接，如图，

∵为⊙O的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵直径垂直弦于点E，
∴，
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴；
25．综合与探究
【问题情境】
如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N．
【猜想验证】
（1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明．
【深入探索】
（2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）连接，如图3，请直接写出的长．
【答案】
解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点F为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由旋转性质得，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）如图3，过M作于G，
∵，
∴，
∴，
在中，由
解得，
∵，
∴，
∴，则，
在中，由，
解得，，
∴，
在在，．
26．在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”．
(1)如图1，的半径为2．
①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________；
②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标；
(2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围．
【答案】
（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示：
当为的切线时，，，，
，
，
那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
在点，，，中，
，，，，
，
在点，，，中，的“-旋称点”可以是，；
故答案为：，；
②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示：
弦的长为2，轴，
，
，
，
；
若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件；
延长，使得，同理可算得，满足条件；
综上，点坐标为：或；
（2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示，
同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，
在内部，、、三点都在外部；
将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，
由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2，
，
在的垂直平分线上，
过点作于，
，，
，，，
，，
，
，
；
不妨设，那么，，
，
，
，
或，
点的横坐标大于0且小于2，
，
，
；
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
，
边上不存在关于点，，的“-旋称弦”，
故不符合题意；
当圆心在点时， ，
，
点在的垂直平分线上，
，，
的纵坐标为，
过点作于，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
那么当，即，满足题意；
此时，满足；
综上，，．

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