资源简介

四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·绵阳期中）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】先用诱导公式统一角，再逆用两角差的正弦公式化简求值。
2．（2025高一下·绵阳期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由可得，
即，
所以，
解得或，
因，则，
故.
故答案为：A.
【分析】先用三角函数诱导公式化简已知等式，再代入二倍角余弦公式转化为关于cosα的一元二次方程，求解后再次利用二倍角公式计算cos2α。
3．（2025高一下·绵阳期中）已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由向量的线性运算及正六边形的性质可知
.
故答案为：C.
【分析】利用正六边形对边平行且相等的性质，将目标向量分解为从到、到、到的向量和，再通过向量线性运算，把所有向量统一用和表示。
4．（2025高一下·绵阳期中）设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因，，
由可得，解得，则，，
故，
，，
设向量与的夹角为，
则，
因，故.
即向量与的夹角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】先由向量垂直的坐标条件求出，再计算的坐标与模长、的模长及点积，用夹角公式求余弦值，最后由同角三角函数关系求正弦值。
5．（2025高一下·绵阳期中）已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称轴为，
D．在区间上的最小值为
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，，；
由图象可知：最小正周期，，
又，，解得：，
又，，；
A，，不是偶函数，故A错误；
B，，故B错误；
C，令，解得：，的对称轴为，故C正确；
D，当时，，当，即时，，D错误.
故答案为：C.
【分析】先由图像确定振幅A、周期T，进而求出ω，再代入最高点坐标求出φ，得到函数解析式，然后逐一分析选项。
6．（2025高一下·绵阳期中）若，，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可得，
因，则，
又，则，
因，
则，
故
，
因，故.
故答案为：B.
【分析】先根据角的范围求出sin2α和cos(β α)，再利用角的拆分α+β=2α+(β α)，通过余弦和角公式求出cos(α+β)，最后结合α+β的范围确定其值。
7．（2025高一下·绵阳期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
由和正弦定理，
可得，
即，
因，
且，则，可得，故.
如图，因BC边上一点D满足，且AD平分，
则，即①，
又的面积为，即得②，
由①②联立，解得.
故答案为：C.
【分析】先用正弦定理和三角恒等变换求出角A，再由角平分线定理得到边c与b的关系，最后代入三角形面积公式求解b。
8．（2025高一下·绵阳期中）已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
如图，设，的长分别为，
由图知，，
由，
因，代入整理得：，
则由，即得，当且仅当时等号成立，
此时，四边形ABCD的面积，
即四边形ABCD面积的最大值为.
故答案为：A.
【分析】用向量表示，通过点积得到关于邻边x，y的方程，再用基本不等式求出xy的最大值，最后代入平行四边形面积公式得到最大值。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·绵阳期中）已知函数，则（　　）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：易得，当时，，所以函数在上有增有递，故A错误；
B：因为，所以是的一个对称中心，故B正确；
C：的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，，所以，，且，所以当时，，故C正确；
D：因为，作出在上的图象如图所示，
与有且只有三个交点，所以，
又因为时，且，关于直线对称，
所以，所以，
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先将函数化简为，再根据三角函数的单调性、对称性、图像平移及方程解的性质，逐一分析各选项。
10．（2025高一下·绵阳期中）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，所以，又，所以，故A错误；
B：因为，所以与的夹角为，故B正确；
C：，所以，故C正确；
D：在上的投影向量， 故D正确.
故答案为：BCD
【分析】先利用的平方展开式求出，再依次计算夹角、以及投影向量，逐一判断选项。
11．（2025高一下·绵阳期中）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
【答案】B,C
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，由可得，因，代入得：，则，角为钝角，故A错误；
B， 由A得，利用正弦定理，，又，
代入上式，可得，
即，显然两边同时除以，
可得，因，则成立，故B正确；
C，由A项已得，由余弦定理，，化简得：，即，故C正确；
D，因，由B项得，代入可得：，因，，由，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用三角降幂公式化简已知等式，得到b+2a cosC=0，再结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，逐一分析各选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上.
12．（2025高一下·绵阳期中）已知向量，，且，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，且有，
所以，
故答案为：.
【分析】先由向量平行的坐标条件求出tanα，再利用二倍角正弦公式及同角三角函数关系，将sin2α转化为tanα的表达式进行计算。
13．（2025高一下·绵阳期中）已知，，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；半角公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由可得，
因，则，则，，
故.
故答案为：.
【分析】先由诱导公式求出，再根据的范围确定的范围，用半角公式求出和，最后代入和角正弦公式计算。
14．（2025高一下·绵阳期中）如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，
由题意知，
当与重合时，由，得，
当与重合时，同理可得，
所以，
因为，
所以的周长，
令，因为，所以，
又，
所以，且，
所以，所以当时，取得最小值，且，
故答案为：
【分析】设∠AEF=θ，用θ表示出△EFG的三边，将周长转化为关于t=sinθ+cosθ的函数，再求最小值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·绵阳期中）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
（2）若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
【答案】（1）解：（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
，
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）解：由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) (i) 利用向量加法的三角形法则，将表示为，再将用表示，最后转化为和的线性组合。
(ii) 将用和表示，利用三点共线时向量系数和为1的性质求解。
(2) 由可知是中点，故，将转化为关于的二次函数求最大值。
（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
，
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
16．（2025高一下·绵阳期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，且，求的值.
（3）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1）解：
，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）解：由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）解：在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先用三角恒等变换（诱导公式、二倍角公式、辅助角公式）将函数化简为正弦型函数，再根据其性质求周期和单调区间。
(2) 先由已知条件求出，再根据角的范围求出，最后用拆角变换求解。
(3) 由求出，再利用三角形内角和将转化为关于的正弦型函数，结合的范围求取值范围。
（1）
，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
17．（2025高一下·绵阳期中）某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.
（1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.
（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设，求的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低 说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）
【答案】（1）证明：延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
（2）解：①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 通过旋转或截长补短构造全等三角形，将BP+QD=PQ转化为线段相等，再利用全等三角形的角关系证明∠PAQ=4π 。
(2) ① 根据点E、F的边界位置（E与D重合、F与C重合），求出α的最值，从而得到取值范围。
② 将OE+OF表示为α的三角函数，通过换元法转化为关于t=sinα+cosα的函数，利用单调性求最小值，进而得到最低费用。
（1）延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
（2）①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
18．（2025高一下·绵阳期中）在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】（1）解：在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）解：选①，理由如下：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
（3）解：由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 核心思路：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简，求出角B。
(2) ①：利用角平分线性质和面积和公式，结合余弦定理求出ac，再计算面积。
(3) 由正弦定理求出外接圆半径，将ac表示为角的函数，结合锐角三角形条件求ac范围，进而得到高的范围。
（1）在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
19．（2025高一下·绵阳期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
【答案】（1）解：若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2）解：，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）解：因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，，
所以成立，
且，则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用辅助角公式将函数化为单一正弦函数，根据正弦函数的性质求最大值及对应的集合。
(2) 将表示为的形式，代入已知条件，利用三角恒等变换求出。
(3) 先求出的表达式，根据其最大值得到、与、的关系，再将转化为二次函数求最小值，并判断、的关系。
（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
1 / 1四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·绵阳期中）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·绵阳期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·绵阳期中）已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高一下·绵阳期中）设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·绵阳期中）已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称轴为，
D．在区间上的最小值为
6．（2025高一下·绵阳期中）若，，且，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·绵阳期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．4
8．（2025高一下·绵阳期中）已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·绵阳期中）已知函数，则（　　）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
10．（2025高一下·绵阳期中）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
11．（2025高一下·绵阳期中）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上.
12．（2025高一下·绵阳期中）已知向量，，且，则　 　.
13．（2025高一下·绵阳期中）已知，，则　 　.
14．（2025高一下·绵阳期中）如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·绵阳期中）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
（2）若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
16．（2025高一下·绵阳期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，且，求的值.
（3）在中，若，求的取值范围.
17．（2025高一下·绵阳期中）某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.
（1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.
（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设，求的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低 说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）
18．（2025高一下·绵阳期中）在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
19．（2025高一下·绵阳期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】先用诱导公式统一角，再逆用两角差的正弦公式化简求值。
2．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由可得，
即，
所以，
解得或，
因，则，
故.
故答案为：A.
【分析】先用三角函数诱导公式化简已知等式，再代入二倍角余弦公式转化为关于cosα的一元二次方程，求解后再次利用二倍角公式计算cos2α。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由向量的线性运算及正六边形的性质可知
.
故答案为：C.
【分析】利用正六边形对边平行且相等的性质，将目标向量分解为从到、到、到的向量和，再通过向量线性运算，把所有向量统一用和表示。
4．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因，，
由可得，解得，则，，
故，
，，
设向量与的夹角为，
则，
因，故.
即向量与的夹角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】先由向量垂直的坐标条件求出，再计算的坐标与模长、的模长及点积，用夹角公式求余弦值，最后由同角三角函数关系求正弦值。
5．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，，；
由图象可知：最小正周期，，
又，，解得：，
又，，；
A，，不是偶函数，故A错误；
B，，故B错误；
C，令，解得：，的对称轴为，故C正确；
D，当时，，当，即时，，D错误.
故答案为：C.
【分析】先由图像确定振幅A、周期T，进而求出ω，再代入最高点坐标求出φ，得到函数解析式，然后逐一分析选项。
6．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可得，
因，则，
又，则，
因，
则，
故
，
因，故.
故答案为：B.
【分析】先根据角的范围求出sin2α和cos(β α)，再利用角的拆分α+β=2α+(β α)，通过余弦和角公式求出cos(α+β)，最后结合α+β的范围确定其值。
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
由和正弦定理，
可得，
即，
因，
且，则，可得，故.
如图，因BC边上一点D满足，且AD平分，
则，即①，
又的面积为，即得②，
由①②联立，解得.
故答案为：C.
【分析】先用正弦定理和三角恒等变换求出角A，再由角平分线定理得到边c与b的关系，最后代入三角形面积公式求解b。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
如图，设，的长分别为，
由图知，，
由，
因，代入整理得：，
则由，即得，当且仅当时等号成立，
此时，四边形ABCD的面积，
即四边形ABCD面积的最大值为.
故答案为：A.
【分析】用向量表示，通过点积得到关于邻边x，y的方程，再用基本不等式求出xy的最大值，最后代入平行四边形面积公式得到最大值。
9．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：易得，当时，，所以函数在上有增有递，故A错误；
B：因为，所以是的一个对称中心，故B正确；
C：的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，，所以，，且，所以当时，，故C正确；
D：因为，作出在上的图象如图所示，
与有且只有三个交点，所以，
又因为时，且，关于直线对称，
所以，所以，
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先将函数化简为，再根据三角函数的单调性、对称性、图像平移及方程解的性质，逐一分析各选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，所以，又，所以，故A错误；
B：因为，所以与的夹角为，故B正确；
C：，所以，故C正确；
D：在上的投影向量， 故D正确.
故答案为：BCD
【分析】先利用的平方展开式求出，再依次计算夹角、以及投影向量，逐一判断选项。
11．【答案】B,C
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，由可得，因，代入得：，则，角为钝角，故A错误；
B， 由A得，利用正弦定理，，又，
代入上式，可得，
即，显然两边同时除以，
可得，因，则成立，故B正确；
C，由A项已得，由余弦定理，，化简得：，即，故C正确；
D，因，由B项得，代入可得：，因，，由，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用三角降幂公式化简已知等式，得到b+2a cosC=0，再结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，逐一分析各选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，且有，
所以，
故答案为：.
【分析】先由向量平行的坐标条件求出tanα，再利用二倍角正弦公式及同角三角函数关系，将sin2α转化为tanα的表达式进行计算。
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；半角公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由可得，
因，则，则，，
故.
故答案为：.
【分析】先由诱导公式求出，再根据的范围确定的范围，用半角公式求出和，最后代入和角正弦公式计算。
14．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，
由题意知，
当与重合时，由，得，
当与重合时，同理可得，
所以，
因为，
所以的周长，
令，因为，所以，
又，
所以，且，
所以，所以当时，取得最小值，且，
故答案为：
【分析】设∠AEF=θ，用θ表示出△EFG的三边，将周长转化为关于t=sinθ+cosθ的函数，再求最小值。
15．【答案】（1）解：（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
，
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）解：由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) (i) 利用向量加法的三角形法则，将表示为，再将用表示，最后转化为和的线性组合。
(ii) 将用和表示，利用三点共线时向量系数和为1的性质求解。
(2) 由可知是中点，故，将转化为关于的二次函数求最大值。
（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
，
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
16．【答案】（1）解：
，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）解：由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）解：在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先用三角恒等变换（诱导公式、二倍角公式、辅助角公式）将函数化简为正弦型函数，再根据其性质求周期和单调区间。
(2) 先由已知条件求出，再根据角的范围求出，最后用拆角变换求解。
(3) 由求出，再利用三角形内角和将转化为关于的正弦型函数，结合的范围求取值范围。
（1）
，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
17．【答案】（1）证明：延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
（2）解：①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 通过旋转或截长补短构造全等三角形，将BP+QD=PQ转化为线段相等，再利用全等三角形的角关系证明∠PAQ=4π 。
(2) ① 根据点E、F的边界位置（E与D重合、F与C重合），求出α的最值，从而得到取值范围。
② 将OE+OF表示为α的三角函数，通过换元法转化为关于t=sinα+cosα的函数，利用单调性求最小值，进而得到最低费用。
（1）延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
（2）①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
18．【答案】（1）解：在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）解：选①，理由如下：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
（3）解：由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 核心思路：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简，求出角B。
(2) ①：利用角平分线性质和面积和公式，结合余弦定理求出ac，再计算面积。
(3) 由正弦定理求出外接圆半径，将ac表示为角的函数，结合锐角三角形条件求ac范围，进而得到高的范围。
（1）在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
19．【答案】（1）解：若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2）解：，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）解：因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，，
所以成立，
且，则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用辅助角公式将函数化为单一正弦函数，根据正弦函数的性质求最大值及对应的集合。
(2) 将表示为的形式，代入已知条件，利用三角恒等变换求出。
(3) 先求出的表达式，根据其最大值得到、与、的关系，再将转化为二次函数求最小值，并判断、的关系。
（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑