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贵州省六盘水市2024-2025学年八年级下学期期中数学试题　
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025八下·六盘水期中）小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故答案为：符合题意；
C、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
D、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意，
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．（2025八下·六盘水期中）已知，则下列四个不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a+3＞0，∴a＞-3．
A、∴a+1＞﹣3+1，∴a+1＞﹣2，a+1＜0不一定成立，故选项不符合题意；
B、∴a﹣1＞﹣3-1，∴a﹣1＞﹣4，a﹣1＜0不一定成立，故选项不符合题意；
C、∴3a＞-9，∴3a＞-1不一定成立，故选项不符合题意；
D、∴不等式两边同时除以3得：成立，故选项符合题意
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行分析判断即可解答．
3．（2025八下·六盘水期中）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的春节图案不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、 此选项中的春节图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、 此选项中的春节图案该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、 此选项中的春节图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
4．（2025八下·六盘水期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（　　）的交点
A．三边中垂线 B．三条中线
C．三条高 D．三条内角平分线
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边的中垂线．
故选A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
5．（2025八下·六盘水期中）若与关于原点对称，则点落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数，
∴关于原点对称的点为：，
故P点在第三象限，
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得，再利用点坐标与象限的关系可得答案。
6．（2025八下·六盘水期中）如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出的周长即可.
7．（2025八下·六盘水期中）一次函数不经过第三象限，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的值是0．
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．（2025八下·六盘水期中）下列说法错误的是（　　）
A．在直角三角形中，斜边大于直角边
B．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
C．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形
D．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：A. 在直角三角形中，斜边大于直角边，故该选项正确，不符合题意；
B. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，故该选项正确，不符合题意；
C. 将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形不一定是直角三角形，故该选项不正确，符合题意；
D. 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形中大边对大角的判定方法逐项分析判断即可.
9．（2025八下·六盘水期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
10．（2025八下·六盘水期中）如图，在中，，，垂足为D，则与的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出即可.
11．（2025八下·六盘水期中）对于实数a，b，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于x的函数 ，则该函数的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当时，即，，
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
∴时，y有最小值，最小值为；
当时，即，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴时，；
综上所述，该函数的最小值为．
故选：D．
【分析】根据新定义分类讨论，结合一次函数性质即可求出答案.
12．（2025八下·六盘水期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长与交于点E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长与交于点E，先求出，，再利用线段的和差求出AE的长，最后求出即可.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025八下·六盘水期中）用不等式表示“x的4倍小于3”为　 　.
【答案】
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：x的4倍表示为，
列出不等式为：，
故答案为：.
【分析】x的4倍可表示为4x，小于用<表示，据此可列出不等式.
14．（2025八下·六盘水期中）如图，中，，平分，于，，若=2，则的长等于　 　．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵于
∴
又∵，=2
∴
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】先求出∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得，再利用等角对等边的性质可得，再结合，=2，利用含30°角的直角三角形的性质求出，，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
15．（2025八下·六盘水期中）如图，直线和相交于点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点
∴
∴
∴由图象可得，不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先将不等式变形为，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
16．（2025八下·六盘水期中）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵等边，是边上的高，点E是边的中点，
∴，，
∴，两点关于对称，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
∴的最小值是；
故答案为：．
【分析】连接，先证出当三点共线时，的值最小，为的长，最后求出即可.
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八下·六盘水期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得_______；
（2）解不等式②，得_______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为_______．
【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：
．
故答案为：．
（2）解：
．
故答案为：．
（4）解：根据（3）的数轴表示可知：
该不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（3）利用“ 不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求解即可；
（4）结合数轴直接求出解集即可.
（1）解：
．
故答案为：．
（2）解：
．
故答案为：．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）解：根据（3）的数轴表示可知：
该不等式组的解集为：．
故答案为：．
18．（2025八下·六盘水期中）如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为．
请根据图表信息回答有关问题：
（1）请你直接写出点B和点C坐标；
（2）求的面积；
（3）将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________．
【答案】（1），
（2）解：
（3）
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，；
（3）解：如图，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】（1）根据点的位置求出点的坐标即可求出答案.
（2）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（3）根据点的坐标即可求出答案.
（1）解：由图可得，；
（2）解：；
（3）解：如图，
∴点的坐标是，
故答案为：．
19．（2025八下·六盘水期中）尺规作图：已知点和．
（1）画直线；
（2）在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等．
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求；
（2）解：如图所示，点P即为所求；
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用直线的定义及作图方法直接作出图形即可；
（2）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠AOB的角平分线即可.
（1）如图所示，直线即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
20．（2025八下·六盘水期中）如图是等边三角形，，求高的长和的面积．
【答案】解：是等边三角形，是的高，，
，
，
的面积．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
21．（2025八下·六盘水期中）已知，在中，是上一点，交于点，连接．
（1）如图①，．求证：；
（2）如图②，点与点重合，．若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）解：作，如图所示：
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴
∴
∵
∴
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）作，先利用平行线的性质和等量代换可得，，证出为等腰三角形，可得，利用线段的和差求出CM的长，最后求出即可.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）解：作，如图所示：
∵
∴，
∵
∴，
∴，为等腰三角形；
∴
∵
∴
22．（2025八下·六盘水期中）如图，在中，，．
（1）求的长；
（2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的综合；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）作点E关于的对称点，连接，先证出当三点共线且时，最小，即此时最小，再求出，最后求出即可．
（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2025八下·六盘水期中）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示：
　 甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？
【答案】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，
依题意得：，
解得：．
答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件．
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为61，62，63，
共有3种购货方案，
方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件；
方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件；
方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解方程组即可求出答案.
24．（2025八下·六盘水期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A，B两点．与直线yx+b相交于点C（2，m）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求m和b的值；
（3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝ 2；
∴A（ 2，0），B（0，2）；
（2）解：∵点C在直线y＝x＋2上，
∴m＝2＋2＝4，
又点C（2，4）也在直线yx＋b上，
∴×2＋b＝4，
解得b＝5；
（3）解：在yx＋5中，当y＝0时，x＝10，
∴D（10，0），
∴OD＝10，
∵A（ 2，0），
∴OA＝2，
∴AD＝OA＋OD＝12；
①设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，如图，则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴（12 t）×4＝10，
解得t＝7；
②存在，理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图所示：
则CE＝4，OE＝2，
∴AE＝OA＋OE＝4，
∴AC＝＝＝；
①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
∴PD＝AD AP＝4，
∴t＝4；
②当AP＝AC时，如图所示：
则AP1＝AP2＝AC＝，
∴DP2＝12 ，DP1＝12＋，
∴t＝12 或t＝12＋；
③当PC＝PA时，如图3所示：
设EP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，
∴＝m＋4，
解得m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
∴PD＝8，
∴t＝8；
综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12 或12＋或8．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的位置关系将x=0，y=0分别代入解析式即可求出答案.
（2）将点C坐标代入直线 y＝x＋2可得 C（2，4） ，再根据待定系数法将点C坐标代入直线yx＋b即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征可得D（10，0），根据两点间距离可得OD＝10，OA＝2，再根据边之间的关系AD。① 设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，OE＝2，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理可得AC，分情况讨论：①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，②当AP＝AC时，③当PC＝PA时，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝ 2；
∴A（ 2，0），B（0，2）；
（2）解：∵点C在直线y＝x＋2上，
∴m＝2＋2＝4，
又点C（2，4）也在直线yx＋b上，
∴×2＋b＝4，
解得b＝5；
（3）解：在yx＋5中，当y＝0时，x＝10，
∴D（10，0），
∴OD＝10，
∵A（ 2，0），
∴OA＝2，
∴AD＝OA＋OD＝12；
①设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，如图1，则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴（12 t）×4＝10，
解得t＝7；
图1
②存在，理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图1所示：
则CE＝4，OE＝2，
∴AE＝OA＋OE＝4，
∴AC＝＝＝；
①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
∴PD＝AD AP＝4，
∴t＝4；
图1
②当AP＝AC时，如图2所示：
则AP1＝AP2＝AC＝，
∴DP2＝12 ，DP1＝12＋，
∴t＝12 或t＝12＋；
图2
③当PC＝PA时，如图3所示：
设EP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，
∴＝m＋4，
解得m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
∴PD＝8，
∴t＝8；
图3
综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12 或12＋或8．
25．（2025八下·六盘水期中）探究题：
（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）．
②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求四边形的面积．（用，表示）
【答案】（1）①；②；
（2）解：，，理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为等腰中边上的高，
∴，
∴，
∴，
综上所述：，；
（3）解：由（2）可知，，，
∴，
∵，为中边上的高，
∴，
，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）①∵和等边三角形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故填：；
②∵，
∴，
故填：；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再证出，得出，根据三角形内角和定理和对顶角相等得出，即可得出；根据，即可得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，再证出，得出，，根据三角形内角和定理和对顶角相等得出，即可得出，根据等腰直角三角形的性质得出，利用即可得出；
（3）根据，，得出，再根据三角形面积公式求出△ACE和△ABE的面积，利用进行计算，即可得出四边形的面积 ．
（1）解：①∵和等边三角形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
②∵，
∴．
故答案为：；
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为等腰中边上的高，
∴，
∴，
∴，
综上所述：，；
（3）由（2）可知，，，，
∴，
∴，
，
∴．
1 / 1贵州省六盘水市2024-2025学年八年级下学期期中数学试题　
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025八下·六盘水期中）小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
2．（2025八下·六盘水期中）已知，则下列四个不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·六盘水期中）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·六盘水期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（　　）的交点
A．三边中垂线 B．三条中线
C．三条高 D．三条内角平分线
5．（2025八下·六盘水期中）若与关于原点对称，则点落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025八下·六盘水期中）如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．（2025八下·六盘水期中）一次函数不经过第三象限，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·六盘水期中）下列说法错误的是（　　）
A．在直角三角形中，斜边大于直角边
B．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
C．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形
D．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形
9．（2025八下·六盘水期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·六盘水期中）如图，在中，，，垂足为D，则与的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·六盘水期中）对于实数a，b，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于x的函数 ，则该函数的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
12．（2025八下·六盘水期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025八下·六盘水期中）用不等式表示“x的4倍小于3”为　 　.
14．（2025八下·六盘水期中）如图，中，，平分，于，，若=2，则的长等于　 　．
15．（2025八下·六盘水期中）如图，直线和相交于点，则不等式的解集为　 　．
16．（2025八下·六盘水期中）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是　 　．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八下·六盘水期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得_______；
（2）解不等式②，得_______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为_______．
18．（2025八下·六盘水期中）如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为．
请根据图表信息回答有关问题：
（1）请你直接写出点B和点C坐标；
（2）求的面积；
（3）将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________．
19．（2025八下·六盘水期中）尺规作图：已知点和．
（1）画直线；
（2）在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等．
20．（2025八下·六盘水期中）如图是等边三角形，，求高的长和的面积．
21．（2025八下·六盘水期中）已知，在中，是上一点，交于点，连接．
（1）如图①，．求证：；
（2）如图②，点与点重合，．若，求的长．
22．（2025八下·六盘水期中）如图，在中，，．
（1）求的长；
（2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
23．（2025八下·六盘水期中）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示：
　 甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？
24．（2025八下·六盘水期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A，B两点．与直线yx+b相交于点C（2，m）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求m和b的值；
（3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（2025八下·六盘水期中）探究题：
（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）．
②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求四边形的面积．（用，表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故答案为：符合题意；
C、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
D、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意，
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a+3＞0，∴a＞-3．
A、∴a+1＞﹣3+1，∴a+1＞﹣2，a+1＜0不一定成立，故选项不符合题意；
B、∴a﹣1＞﹣3-1，∴a﹣1＞﹣4，a﹣1＜0不一定成立，故选项不符合题意；
C、∴3a＞-9，∴3a＞-1不一定成立，故选项不符合题意；
D、∴不等式两边同时除以3得：成立，故选项符合题意
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行分析判断即可解答．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的春节图案不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、 此选项中的春节图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、 此选项中的春节图案该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、 此选项中的春节图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边的中垂线．
故选A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
5．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数，
∴关于原点对称的点为：，
故P点在第三象限，
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得，再利用点坐标与象限的关系可得答案。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出的周长即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的值是0．
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：A. 在直角三角形中，斜边大于直角边，故该选项正确，不符合题意；
B. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，故该选项正确，不符合题意；
C. 将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形不一定是直角三角形，故该选项不正确，符合题意；
D. 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形中大边对大角的判定方法逐项分析判断即可.
9．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出即可.
11．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当时，即，，
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
∴时，y有最小值，最小值为；
当时，即，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴时，；
综上所述，该函数的最小值为．
故选：D．
【分析】根据新定义分类讨论，结合一次函数性质即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长与交于点E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长与交于点E，先求出，，再利用线段的和差求出AE的长，最后求出即可.
13．【答案】
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：x的4倍表示为，
列出不等式为：，
故答案为：.
【分析】x的4倍可表示为4x，小于用<表示，据此可列出不等式.
14．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵于
∴
又∵，=2
∴
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】先求出∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得，再利用等角对等边的性质可得，再结合，=2，利用含30°角的直角三角形的性质求出，，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点
∴
∴
∴由图象可得，不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先将不等式变形为，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵等边，是边上的高，点E是边的中点，
∴，，
∴，两点关于对称，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
∴的最小值是；
故答案为：．
【分析】连接，先证出当三点共线时，的值最小，为的长，最后求出即可.
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：
．
故答案为：．
（2）解：
．
故答案为：．
（4）解：根据（3）的数轴表示可知：
该不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（3）利用“ 不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求解即可；
（4）结合数轴直接求出解集即可.
（1）解：
．
故答案为：．
（2）解：
．
故答案为：．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）解：根据（3）的数轴表示可知：
该不等式组的解集为：．
故答案为：．
18．【答案】（1），
（2）解：
（3）
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，；
（3）解：如图，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】（1）根据点的位置求出点的坐标即可求出答案.
（2）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（3）根据点的坐标即可求出答案.
（1）解：由图可得，；
（2）解：；
（3）解：如图，
∴点的坐标是，
故答案为：．
19．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求；
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/0f/a0/0fa08574ee7f81f08bdf4f6ad4861e63.png]
（2）解：如图所示，点P即为所求；
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/0f/a0/0fa08574ee7f81f08bdf4f6ad4861e63.png]
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用直线的定义及作图方法直接作出图形即可；
（2）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠AOB的角平分线即可.
（1）如图所示，直线即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
20．【答案】解：是等边三角形，是的高，，
，
，
的面积．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）解：作，如图所示：
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴
∴
∵
∴
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）作，先利用平行线的性质和等量代换可得，，证出为等腰三角形，可得，利用线段的和差求出CM的长，最后求出即可.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）解：作，如图所示：
∵
∴，
∵
∴，
∴，为等腰三角形；
∴
∵
∴
22．【答案】（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的综合；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）作点E关于的对称点，连接，先证出当三点共线且时，最小，即此时最小，再求出，最后求出即可．
（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，
依题意得：，
解得：．
答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件．
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为61，62，63，
共有3种购货方案，
方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件；
方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件；
方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解方程组即可求出答案.
24．【答案】（1）解：在y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝ 2；
∴A（ 2，0），B（0，2）；
（2）解：∵点C在直线y＝x＋2上，
∴m＝2＋2＝4，
又点C（2，4）也在直线yx＋b上，
∴×2＋b＝4，
解得b＝5；
（3）解：在yx＋5中，当y＝0时，x＝10，
∴D（10，0），
∴OD＝10，
∵A（ 2，0），
∴OA＝2，
∴AD＝OA＋OD＝12；
①设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，如图，则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴（12 t）×4＝10，
解得t＝7；
②存在，理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图所示：
则CE＝4，OE＝2，
∴AE＝OA＋OE＝4，
∴AC＝＝＝；
①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
∴PD＝AD AP＝4，
∴t＝4；
②当AP＝AC时，如图所示：
则AP1＝AP2＝AC＝，
∴DP2＝12 ，DP1＝12＋，
∴t＝12 或t＝12＋；
③当PC＝PA时，如图3所示：
设EP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，
∴＝m＋4，
解得m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
∴PD＝8，
∴t＝8；
综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12 或12＋或8．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的位置关系将x=0，y=0分别代入解析式即可求出答案.
（2）将点C坐标代入直线 y＝x＋2可得 C（2，4） ，再根据待定系数法将点C坐标代入直线yx＋b即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征可得D（10，0），根据两点间距离可得OD＝10，OA＝2，再根据边之间的关系AD。① 设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，OE＝2，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理可得AC，分情况讨论：①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，②当AP＝AC时，③当PC＝PA时，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝ 2；
∴A（ 2，0），B（0，2）；
（2）解：∵点C在直线y＝x＋2上，
∴m＝2＋2＝4，
又点C（2，4）也在直线yx＋b上，
∴×2＋b＝4，
解得b＝5；
（3）解：在yx＋5中，当y＝0时，x＝10，
∴D（10，0），
∴OD＝10，
∵A（ 2，0），
∴OA＝2，
∴AD＝OA＋OD＝12；
①设PD＝t，则AP＝12 t，过C作CE⊥AP于E，如图1，则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴（12 t）×4＝10，
解得t＝7；
图1
②存在，理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图1所示：
则CE＝4，OE＝2，
∴AE＝OA＋OE＝4，
∴AC＝＝＝；
①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
∴PD＝AD AP＝4，
∴t＝4；
图1
②当AP＝AC时，如图2所示：
则AP1＝AP2＝AC＝，
∴DP2＝12 ，DP1＝12＋，
∴t＝12 或t＝12＋；
图2
③当PC＝PA时，如图3所示：
设EP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，
∴＝m＋4，
解得m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
∴PD＝8，
∴t＝8；
图3
综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12 或12＋或8．
25．【答案】（1）①；②；
（2）解：，，理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为等腰中边上的高，
∴，
∴，
∴，
综上所述：，；
（3）解：由（2）可知，，，
∴，
∵，为中边上的高，
∴，
，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）①∵和等边三角形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故填：；
②∵，
∴，
故填：；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再证出，得出，根据三角形内角和定理和对顶角相等得出，即可得出；根据，即可得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，再证出，得出，，根据三角形内角和定理和对顶角相等得出，即可得出，根据等腰直角三角形的性质得出，利用即可得出；
（3）根据，，得出，再根据三角形面积公式求出△ACE和△ABE的面积，利用进行计算，即可得出四边形的面积 ．
（1）解：①∵和等边三角形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
②∵，
∴．
故答案为：；
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为等腰中边上的高，
∴，
∴，
∴，
综上所述：，；
（3）由（2）可知，，，，
∴，
∴，
，
∴．
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